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编者注：本文最初发表于1990年4月的《大众科学》，标题为“曼德勃罗集”。我们现在发布这篇文章是为了配合我们本周关于 Benoit Mandelbrot 在哥伦比亚大学关于分形和金融市场的演讲的报道。 为了清晰起见，某些关于日期的引用的措辞已用方括号进行了更改。
谁发现了曼德勃罗集？ 这不是一个棘手的问题，也不是一个微不足道的问题。 该集合（在本杂志中）被称为“数学中最复杂的对象”。 这一点尚有争议，但它几乎可以肯定是最著名的此类对象。 该集合的无限复杂的计算机生成图像是新兴的混沌理论领域的标志，并引起了公众的广泛关注。
该集合以 IBM 托马斯·J·沃森研究中心的数学家 Benoît B. Mandelbrot 的名字命名。 他最出名的是创造了“分形”一词来描述那些在越来越小的尺度上重复其模式的现象（例如海岸线、雪花、山脉和树木）。 Mandelbrot 声称，大约十年前，他独自发现了具有分形特性的曼德勃罗集。 他将它的图像称为他的“签名”。
其他三位数学家对他的说法提出了质疑。 其中两位坚称，他们与 Mandelbrot 大约在同一时间独立发现并描述了该集合。 第三位断言，他对该集合的研究不仅早于 Mandelbrot 的研究，而且还帮助指导了他们的研究。 这些断言长期以来在数学界流传，但最近才出现在印刷品中。
数学家并不以优先权之争而闻名，但自称“害群之马”的 Mandelbrot 经常与同事发生冲突。 波士顿大学的 Robert L. Devaney 表示，他钦佩 Mandelbrot 的工作，“如果没有他的个性，就不会有争议。”
科学风险也很高。 即使是那些鄙视该集合的受欢迎程度的人也承认其数学意义。 纽约城市大学的 Dennis P. Sullivan 称其为测试关于动力（或非线性、或复杂、或混沌）系统行为的“熔炉”。 他说：“这真的非常基础。”
该集合的魅力之一在于它源于如此简单的方程：z2 + c。 项 z 和 c 是复数，由虚数（-1 的平方根的倍数）与实数组合而成。 首先为 c 分配一个固定值，让 z = 0 并计算输出。 然后反复重新计算，或迭代，该方程，用每个新输出替换 z。 当插入此迭代函数时，c 的某些值会产生迅速飙升至无穷大的输出。 c 的其他值会产生在某个边界内永恒地跳动的输出。 后一组 c 值或复数构成了曼德勃罗集。
当绘制在由所有复数组成的图表上时，该集合的成员会聚集成一个独特的形状。 从远处看，它没什么好看的：它被比作一个长满肿瘤的心脏、一只甲虫、一只烧焦的鸡和一个侧放的疣状数字 8。
仔细观察会发现，该集合的边界不是形成清晰的线条，而是像火焰一样闪烁。 对边界的重复放大使人们陷入巴洛克式图像的无底幻境。 某些形式（例如基本的心形）不断出现，但总会有细微的差异。
今天，几乎任何拥有个人电脑的人都可以“发现”该集合。 但 [在 1979 年]，计算机的功能要弱得多，很少有数学家将计算机与严肃的数学联系起来。
甚至 Mandelbrot 也将他在 1979 年首次尝试接触该集合描述为“无聊的乐趣”。 他开始使用计算机来绘制 Julia 集，这些 Julia 集是通过将复数插入迭代函数生成的。 这些集合的特殊性质早在 1906 年就被法国数学家皮埃尔·法图描述过了。 它们后来以加斯顿·朱莉娅的名字命名，朱莉娅成功地声称，他大约在十几年后对这些集合的研究比法图的研究具有更大的意义。 Mandelbrot 出生于 [1924 年] 的波兰，他读过这两位数学家的著作，并在 20 世纪 40 年代师从朱莉娅。
Mandelbrot 早期的计算机图像证实了他对 Julia 集具有分形性质的怀疑。 他说，他在 1979 年末开始制作出曼德勃罗集的可识别图片，这在某种意义上是所有 Julia 集的通用版本。 随后，Mandelbrot 在演讲、论文和书籍中展示了该集合的图像并阐述了其意义。 这一发现以及他在分形方面的其他工作也在媒体上、众多书籍中（尤其是前《纽约时报》记者詹姆斯·格莱克所著的畅销书《混沌》）以及 IBM 的广告中广为宣传。
没有人否认 Mandelbrot 的图片和描述促使其他数学家研究该集合。 两个著名的例子是康奈尔大学的约翰·H·哈伯德和巴黎大学的阿德里安·杜瓦迪。 在 20 世纪 80 年代初，在证明环绕该集合主体的微小“岛屿”通过无限小的细丝与之相连的过程中，他们以 Mandelbrot 的名字命名了该集合。 “曼德勃罗是第一个使用计算机制作出它的图片，并开始对其进行描述的人，”杜瓦迪在 1986 年写道。
然而，杜瓦迪现在表示，他和一些其他数学家开始认为，曼德勃罗将其他人在该集合以及相关混沌领域所做的工作归功于自己太多。 “他喜欢引用自己，”杜瓦迪说，“他非常不愿意引用那些已经去世的人。”
[1989 年秋季]，华盛顿大学的 Steven G. Krantz 在季刊《数学智能者》上表达了其中的一些不满。 他文章的重点是，与 Mandelbrot 相关的分形、计算机生成的图形和其他“流行”的数学现象对数学的实质性贡献很少，尤其是与它们所获得的宣传相比。
这种观点以及与之相反的观点（认为曼德勃罗的“流行”工作一直是数学领域的一种刺激力量）之前就已经表达过了。 然而，克朗茨在辩论中引入了一个新的要素，他指出曼德勃罗集“不是由曼德勃罗发明的，而是在‘曼德勃罗集’一词出现之前几年就明确出现在文献中了。” 他引用了 Robert Brooks 和 J. Peter Matelski 于 1978 年在纽约州石溪举行的会议论文集中发表的论文。
果然，该论文包含著名的 z2 + c 公式和该集合基本图像的粗糙但明确无误的计算机打印输出。 布鲁克斯和马特尔斯基表示，他们实际上并未在 1978 年的会议上展示该论文，但他们在 1979 年初以预印本的形式将其散发。 现在在加州大学洛杉矶分校的布鲁克斯也在那年春天在哈佛大学展示了该论文。 （当时在哈佛大学任职的曼德勃罗表示，他没有听到布鲁克斯的演讲，并且几年后才看到这篇论文。） 然而，该论文直到 1981 年初才发表。
在对克朗茨的文章的反驳中，标题为“一些经不起推敲的‘事实’”，曼德勃罗指出，他在布鲁克斯和马特尔斯基之前“完全发表”了关于曼德勃罗集的文章。 （曼德勃罗的论文发表于 1980 年 12 月 26 日的《纽约科学院年鉴》上，其特点是与现在与曼德勃罗集相关的函数和图像的变体，曼德勃罗直到 1982 年才发表这些内容。）
曼德勃罗还表示，即使布鲁克斯和马特尔斯基的出版物早于他，他们仍然不能被认为是该集合的发现者，因为他们没有意识到它的重要性。“[他们] 接近一些将被证明是特殊的东西，但他们没有考虑过这张图片，”他写道。
布鲁克斯在下一期《智能者》中反驳道：“我不知道他怎么能确定我们考虑过什么，没考虑过什么。” 布鲁克斯表示，他尊重曼德勃罗作为普及者的成就，并且不反对该集合以他的名字命名。 他说，“这比‘带有大型心形线的东西’更有意义，”他回忆起他和马特尔斯基如何称呼该集合。“我只是希望曼德勃罗能更有绅士风度。”
在康涅狄格州哈特福德研究生中心工作的马特尔斯基指出，他和布鲁克斯都没有要求克朗茨将发现曼德勃罗集的功劳归功于他们。 （克朗茨证实，另一位数学家提请他注意他们的论文。） 但是，既然这个问题已经公开，马特尔斯基表示，他和布鲁克斯应该被认为是与曼德勃罗共同的发现者。
马特尔斯基在《哈特福德新闻报》中被引述说：“您不必完全开发一个大陆的矿产资源才能发现它，”该报于 [1989 年] 12 月报道了这场纠纷。“您所要做的就是跪下来亲吻海滩。”
哈伯德提出了一个略有不同的优先权主张，他现在被认为是世界上研究曼德勃罗集的专家之一。 他解释说，他在 1976 年开始使用计算机来绘制由称为牛顿法的迭代过程生成的复数集合。 哈伯德说，当时他没有意识到，但他已经找到了一种生成曼德勃罗集的不同方法。
1978 年末，哈伯德的一位研究生弗雷德里克·科赫曼在一次会议上找到曼德勃罗，并向他展示了哈伯德的图片。 科赫曼回忆说，曼德勃罗“似乎不是很感兴趣”。 然而，不久之后，曼德勃罗写信邀请哈伯德到 IBM 讨论他的工作。 在哈伯德保留的信中，曼德勃罗写道：“在研究法图和朱莉娅的作品时，我曾想自己做这些事情，但没有鼓起勇气。 尽管如此，我可以声称我一直在等待你的照片很久很久了。”
哈伯德说，他在 1979 年初去了 IBM，并在那里告诉曼德勃罗如何编程计算机来绘制迭代函数的输出。 哈伯德承认，当时他并没有意识到自己图像的全部意义，并且它们只显示了曼德勃罗集的一部分。 他还承认，曼德勃罗开发了一种更好的图像生成方法。 然而，哈伯德说，曼德勃罗在 1980 年的论文和后来的著作中没有给他功劳，他当时和现在都感到“愤怒”。 “这是对数学道德的违背，”他断言道。
曼德尔布罗特回忆说，他曾看到哈伯德“一幅令人印象深刻的早期朱利亚集草图”，但他否认这对他自己的发现有所贡献。针对哈伯德和杜阿迪指责他吝于给予他人功劳的说法，曼德尔布罗特表示，他也曾被指责过度引用。他还补充说，他没有引用布鲁克斯和马特尔斯基的早期发现，或许可以让他们免受因“未能对此做任何事情”而遭受的“嘲讽”。
关于哈伯德、马特尔斯基和布鲁克斯的建议，即曼德尔布罗特集的真正发现者是法图，他是第一个定义这个集合并推测其性质的人，又该如何看待呢？布鲁克斯甚至提出，“如果法图能够使用现代计算设备，他本可以并且会画出与马特尔斯基、曼德尔布罗特和我所画的几乎相同的图片。”曼德尔布罗特称这种推测毫无意义，并坚持认为法图对曼德尔布罗特集的定义不构成发现。“定义毫无意义，”他说，“你必须说明某物为什么重要。”
其他熟悉此事的数学家对此感到有些困惑。“对我来说，为此大惊小怪似乎很奇怪，”普林斯顿大学的约翰·米尔诺评论道。他认为布鲁克斯和马特尔斯基，以及曼德尔布罗特，都没有做出任何具有重要数学意义的事情。“哈伯德和杜阿迪是第一批真正获得一些明确结果的人，”他说，“并让我们对这个集合有所了解。”
米尔诺认为，关于优先权的争议可能源于不同数学文化之间的冲突。“在纯数学中，”他解释道，“有一个传统是让别人赞扬你的工作。”他指出，曼德尔布罗特从事的是应用数学。
“数学的发展不是单枪匹马发生的，”普林斯顿大学的威廉·P·瑟斯顿指出，“而且事物不是以第一个发展它们的人的名字命名是很常见的。曼德尔布罗特集遵循了这一模式。”然而，他认为，如果曼德尔布罗特自己也能更加慷慨地回报，没有人会吝于承认他的成就。“他可以更加宽宏大量一些，”瑟斯顿说。
沙利文，他也因对曼德尔布罗特集的研究而受到赞誉，称自己是“曼德尔布罗特的某种辩护者”。沙利文说，曼德尔布罗特理应以他的名字命名该集合，因为他的努力使该集合引起了公众和纯数学界的关注。
沙利文说，该集合后来被证明具有数学意义只是“巧合”这一事实，丝毫没有减少曼德尔布罗特的成就。“这就是数学的美妙之处，”他补充说，“即使是业余爱好者也可以做出重要贡献。”
那么，到底是谁发现了曼德尔布罗特集？沙利文称这个问题毫无意义。也许是这样。Intelligencer 的编辑谢尔登·阿克塞尔计划发表一封信，指出匈牙利数学家 F. 里斯在 1952 年报告了与该集合相关的工作。
如果继续追究下去，最终的答案似乎很可能会在越来越精细的细节中变得模糊不清。