当我告诉别人我是一名数学家时，最常见的反应之一是：“我真的很喜欢数学课，因为所有事情都是非对即错。没有模棱两可或疑虑。” 我总是结结巴巴地回应。数学并没有被认为是每个人最喜欢的科目，我也不想打击任何人的热情。但数学充满了不确定性——它只是很好地隐藏了它们。
当然，我理解他们的意思。如果你的老师问7是否是质数，答案肯定是“是”。根据定义，质数是大于1的整数，只能被自身和1整除，例如2、3、5、7、11、13等等。世界上任何地方、过去几千年的任何数学老师都会认为你陈述7是质数是对的，而陈述7不是质数是错的。很少有其他学科能达成如此惊人的一致。但是，如果你问100位数学家，是什么解释了数学陈述的真理，你会得到100个不同的答案。数字7可能真的作为一个抽象对象存在，质数是该对象的一个特征。或者它可能只是数学家设计的一个精心设计的游戏的一部分。换句话说，数学家在很大程度上对一个陈述是对还是错达成一致，但他们无法就该陈述究竟是关于什么达成一致。
争议的一个方面是简单的哲学问题：数学是人类发现的，还是我们发明的？也许7是一个真实的对象，独立于我们而存在，数学家正在发现关于它的事实。或者它可能是我们想象力的产物，其定义和属性是灵活的。进行数学运算的行为实际上鼓励了一种双重哲学视角，即将数学既视为发明，又视为发现。
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在我看来，这一切有点像即兴戏剧。数学家发明了一个场景，其中有一些角色或对象，以及一些互动规则，并观察情节如何展开。演员们迅速发展出令人惊讶的个性和关系，完全独立于数学家预期的那些。然而，无论谁导演这部戏，结局总是相同的。即使在混沌系统中，结局可能会千差万别，相同的初始条件也总是会导致相同的终点。正是这种必然性赋予了数学学科如此显著的凝聚力。隐藏在幕后的是关于数学对象的本质和数学知识的获取的难题。
发明
我们如何知道一个数学陈述是否正确？与通常试图从观察中推断自然基本原理的科学家不同，数学家从一系列对象和规则开始，然后严格证明其结果。这种演绎过程的结果称为证明，它通常从更简单的事实构建到更复杂的事实。乍一看，证明似乎是数学家之间令人难以置信的共识的关键。
但是证明只赋予有条件的真理，结论的真理取决于假设的真理。这就是常见的观点——数学家之间的共识源于论证的基于证明的结构——的问题所在。证明有核心假设，其他一切都取决于这些假设——而许多关于数学真理和现实的哲学难题实际上都与这个起点有关。这就引出了一个问题：这些基本对象和想法从何而来？
通常，当务之急是实用性。例如，我们需要数字，以便我们可以计数（例如，牛的数量）和几何对象，例如矩形，以测量例如田地的面积。有时，原因是美学——结果的故事有多有趣或多吸引人？改变初始假设有时会解锁广阔的结构和理论，同时排除其他结构和理论。例如，我们可以发明一种新的算术系统，其中，根据规定，负数乘以负数是负数（缓解数学老师沮丧的解释），但随后数轴的许多其他直观和理想的属性将消失。数学家在更大、一致的数学景观的背景下判断基本对象（例如负数）及其属性（例如将它们相乘的结果）。因此，在证明一个新定理之前，数学家需要观看戏剧的展开。只有这样，理论家才能知道要证明什么：必然的、不变的结论。这赋予了数学运算过程三个阶段：发明、发现和证明。
剧中的角色几乎总是由更简单的对象构成。例如，圆定义为到中心点距离相等的所有点的集合。因此，它的定义依赖于点的定义，点是一种更简单的对象类型，以及两点之间的距离，这是这些更简单对象的属性。类似地，乘法是重复加法，而指数运算是数字自身重复相乘。因此，指数运算的性质是从乘法的性质继承而来的。相反，我们可以通过研究定义它们的更简单的对象来了解复杂的数学对象。这使得一些数学家和哲学家设想数学是一个倒金字塔，其中许多复杂的对象和想法是从狭窄的简单概念基础上推导出来的。
在19世纪末和20世纪初，一群数学家和哲学家开始思考是什么支撑着数学的这个沉重金字塔。他们狂热地担心数学没有基础——没有任何东西可以支撑诸如1 + 1 = 2之类的真理。（一群痴迷的角色，其中几个人与精神疾病作斗争。）经过50年的动荡，这个宏大的项目未能产生一个满足所有最初目标的单一、统一的答案，但它催生了数学和哲学的各个新分支。
一些数学家希望通过产生一个相对简单的公理集合来解决基础危机，从中可以推导出所有数学真理。然而，数学家库尔特·哥德尔在 1930 年代的工作通常被解释为证明这种简化为公理是不可能的。首先，哥德尔证明，任何合理的候选公理系统都是不完备的：存在该系统既不能证明也不能证伪的数学陈述。但最致命的打击来自哥德尔关于数学不完备性的第二个定理。任何基础公理系统都应该是自洽的——意味着，没有既可以证明又可以证伪的陈述。（如果我们能证明7是质数，而7不是质数，那么数学就没那么令人满意了。）此外，该系统应该能够证明——在数学上保证——其自身的自洽性。哥德尔的第二个定理指出，这是不可能的。
寻找数学基础的探索确实导致了对基本公理系统的惊人发现，该系统被称为策梅洛-弗兰克尔集合论，从中可以推导出大多数有趣且相关的数学。这些公理基于集合或对象集合，不是一些历史上的数学家和哲学家所希望的理想化基础，但它们非常简单，并且确实支撑着大部分数学。
在整个 20 世纪，数学家们一直在争论是否应该用一个附加规则来扩充策梅洛-弗兰克尔集合论，该规则被称为选择公理：如果您有无限多个对象集合，那么您可以通过从每个集合中选择一个对象来形成一个新集合。想象一下一排桶，每个桶都包含一系列球，以及一个空桶。从排中的每个桶中，您可以选择一个球并将其放入空桶中。选择公理将允许您对无限排的桶执行此操作。它不仅具有直观的吸引力，而且对于证明几个有用且理想的数学陈述也是必要的。但它也暗示了一些奇怪的事情，例如巴拿赫-塔斯基悖论，该悖论指出，您可以将一个实心球分成五块，并将这些碎片重新组装成两个新的实心球，每个球的大小与第一个球相同。换句话说，您可以将球体翻倍。基础假设由它们产生的结构来判断，选择公理暗示了许多重要的陈述，但也带来了额外的包袱。如果没有选择公理，数学似乎缺少关键事实，但有了它，数学包括一些奇怪且可能不受欢迎的陈述。
现代数学的大部分使用了一套随着时间推移而形成的定义和约定。例如，数学家过去认为 1 是质数，但现在不再这样认为。然而，他们仍然争论是否应该将 0 视为自然数（自然数有时称为计数数，自然数定义为 0,1,2,3... 或 1,2,3...，取决于你问谁）。哪些角色或发明成为数学规范的一部分通常取决于结果戏剧的精彩程度——观察到这一点可能需要数年时间。从这个意义上说，数学知识是累积的。旧理论可能会被忽视，但很少被推翻，就像自然科学中经常发生的那样。相反，数学家只是选择将注意力转向一组新的起始假设，并探索展开的理论。
发现
如前所述，数学家通常会定义具有特定应用的对象和公理。然而，这些对象一次又一次地在数学过程的第二阶段——发现阶段——让他们感到惊讶。例如，质数是乘法的构建块，是最小的乘法单位。如果一个数不能写成两个较小数的乘积，则该数是质数，所有非质数（合数）都可以通过将一组唯一的质数相乘来构造。
1742 年，数学家克里斯蒂安·哥德巴赫假设，每个大于 2 的偶数都是两个质数之和。如果你选择任何偶数，所谓的哥德巴赫猜想预测你可以找到两个质数，它们的和等于那个偶数。如果你选择 8，这两个质数是 3 和 5；选择 42，即 13 + 29。哥德巴赫猜想令人惊讶，因为尽管质数被设计为相乘，但它表明偶数和质数的和之间存在惊人的、偶然的关系。
大量证据支持哥德巴赫猜想。在他最初观察到的 300 年中，计算机已确认该猜想适用于所有小于 4 × 1018 的偶数。但这个证据不足以让数学家宣布哥德巴赫猜想是正确的。无论计算机检查多少偶数，都可能存在一个反例——一个不是两个质数之和的偶数——潜伏在角落里。
想象一下计算机正在打印其结果。每次它找到两个质数，它们的和等于一个特定的偶数时，计算机都会打印出该偶数。到现在为止，这是一个非常长的数字列表，您可以将其呈现给朋友，作为相信哥德巴赫猜想的令人信服的理由。但是你聪明的朋友总是能够想到一个不在列表中的偶数，并问你怎么知道哥德巴赫猜想对于那个数字是真的。所有（无限多个）偶数都不可能出现在列表中。只有数学证明——从基本原理出发，证明哥德巴赫猜想对于每个偶数都成立的逻辑论证——才足以将猜想提升为定理或事实。直到今天，还没有人能够提供这样的证明。
哥德巴赫猜想说明了数学的发现阶段和证明阶段之间的关键区别。在发现阶段，人们寻求压倒性的数学事实证据——在经验科学中，这通常是最终目标。但数学事实需要证明。
模式和证据帮助数学家筛选数学发现并决定要证明什么，但它们也可能具有欺骗性。例如，让我们构建一个数字序列：121、1211、12111、121111、1211111，依此类推。让我们做一个猜想：序列中的所有数字都不是质数。很容易收集到支持这个猜想的证据。你可以看到 121 不是质数，因为 121 = 11 × 11。同样，1211、12111 和 121111 都不是质数。这种模式持续了一段时间——足够长，你可能会厌倦检查——但随后突然失效。这个序列中的第 136 个元素（即数字 12111...111，其中 136 个“1”跟在“2”之后）是质数。
很容易认为现代计算机可以通过让你在序列中测试更多数字来帮助解决这个问题。但是，有一些数学模式的例子，它们在前 1042 个序列元素中成立，然后失效。即使拥有世界上所有的计算能力，你也永远无法测试那么多数字。
即便如此，数学过程的发现阶段仍然非常重要。它揭示了隐藏的联系，例如哥德巴赫猜想。通常，数学的两个完全不同的分支被深入地孤立研究，然后才发现它们之间存在深刻的关系。一个相对简单的例子是欧拉恒等式，eiπ + 1 = 0，它通过数字 e（自然对数的底数）将几何常数 π 与代数上定义为 –1 的平方根的数字 i 连接起来。这些令人惊讶的发现是数学之美和好奇心的一部分。它们似乎指向数学家才刚刚开始理解的深刻的底层结构。
从这个意义上说，数学既感觉是发明，又是发现。研究对象被精确定义，但它们具有了自己的生命，揭示了意想不到的复杂性。因此，数学过程似乎要求将数学对象同时视为真实和发明——既是具有具体的、可发现的属性的对象，又是易于操纵的心灵发明。正如哲学家佩内洛普·马迪所写，然而，这种二元性对数学家的工作方式没有影响，“只要双重思想是可以接受的。”
真实还是虚幻？
数学实在论是一种哲学立场，它似乎在发现阶段占据主导地位：数学研究的对象——从圆和质数到矩阵和流形——是真实的，并且独立于人类的思想而存在。就像天文学家探索遥远的行星或古生物学家研究恐龙一样，数学家正在收集对真实实体的见解。例如，要证明哥德巴赫猜想是正确的，就是要表明偶数和质数通过加法以特定方式相关联，就像古生物学家可能会通过表明一种恐龙的解剖结构与另一种恐龙的解剖结构相关来表明一种恐龙是从另一种恐龙进化而来的一样。
实在论的各种表现形式，例如柏拉图主义（灵感来自希腊哲学家的柏拉图形式理论），很容易解释数学的普遍性和实用性。数学对象具有属性，例如 7 是质数，就像恐龙可能具有飞行能力一样。数学定理，例如两个偶数之和是偶数，之所以为真，是因为偶数确实存在，并且彼此之间存在特定的关系。这解释了为什么不同时代、地域和文化背景的人们通常对数学事实达成一致——他们都参考相同的固定对象。
但是，对实在论有一些重要的反对意见。如果数学对象真的存在，那么它们的属性肯定非常奇特。首先，它们在因果关系上是惰性的，这意味着它们不能成为任何事物的原因，因此您无法真正与它们互动。这是一个问题，因为我们似乎是通过物体的影响来获得关于物体的知识的。恐龙分解成古生物学家可以看到和触摸的骨头，行星可以从恒星前面经过，阻挡恒星的光线进入我们的视野。但是圆是一个抽象对象，独立于空间和时间。π 是圆的周长与直径之比这一事实与苏打水罐或甜甜圈无关；它指的是一个抽象的数学圆，其中距离是精确的，圆上的点是无限小的。这样一个完美的圆在因果关系上是惰性的，而且似乎是无法接近的。那么，如果没有某种特殊的第六感，我们如何了解关于它的事实呢？
这就是实在论的困难之处——它无法解释我们如何了解关于抽象数学对象的事实。所有这一切都可能导致数学家从他们典型的实在论立场退缩，并抓住数学过程的第一步：发明。通过将数学定义为纯粹的形式化思维练习或完全虚构，反实在论很容易避开认识论问题。
形式主义，一种反实在论，是一种哲学立场，它断言数学就像一个游戏，数学家只是在玩游戏的规则。陈述 7 是质数就像陈述骑士是唯一可以以 L 形移动的棋子。另一种哲学立场，虚构主义，声称数学对象是虚构的。那么，陈述 7 是质数就像陈述独角兽是白色的。数学在其虚构的宇宙中是有意义的，但在其之外没有任何实际意义。
存在不可避免的权衡。如果数学只是虚构的，那么它怎么能成为科学的必要组成部分呢？从量子力学到生态学模型，数学都是一种广泛而精确的科学工具。科学家们并不期望粒子按照象棋规则移动，也不期望餐盘上的裂缝模仿汉赛尔和格蕾特的路径——科学描述的负担完全放在数学上，这使它与其他游戏或虚构区分开来。
最后，这些问题并不影响数学的实践。数学家可以自由选择自己对职业的解释。在《数学经验》一书中，菲利普·戴维斯和鲁本·赫什著名地写道：“典型的在职数学家在工作日是柏拉图主义者，在周日是形式主义者。” 通过精确的过程（包括发明和发现）来引导所有分歧，数学家在产生学科共识方面非常有效。