彩票真的是一个好的赌注吗？

这里有一个思想挑战给你：假设我从过去九年中选择了一个特定的秒。在2014年11月到今天之间，我正在思考一个特定的（并且完全随机的）年、月、日、小时、分钟和秒。你能猜到吗？没机会？你猜对一个特定秒的可能性比你赢得强力球彩票的可能性更大。

上个月的强力球头条新闻是因为其奖金超过了惊人的17亿美元，是该游戏历史上的第二大奖金（中奖者尚未认领他们的奖金）。每个人都知道你中彩票的几率比渺茫还要渺茫。但是，当累积滚存的头奖达到创纪录的规模时，潜在的巨额奖金是否有可能抵消中奖的稀有性？换句话说，彩票真的是一个好的赌注吗？答案可能会让你感到惊讶，即使是一个好的赌注，从数学角度来看，也可能最终成为一个坏主意。

数学家有时使用一个称为期望值的概念来区分好的赌注和坏的赌注。考虑一下对掷骰子结果下注的例子。选择一个介于一到六之间的数字需要花费 1 美元。如果你猜对了点数，你赢 1 美元；如果你猜错了，你输掉你的 1 美元。你会接受这个赌注吗？这似乎不公平，因为你可能赢得的金额与你可能输掉的金额（1 美元）完全相同，但你更有可能输（六次掷骰子中有五次输）。

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如果玩一次只需花费 1 美元，但如果您猜对了，您将赢得 100 美元呢？突然间，奖金感觉足够大，可以弥补输的可能性。一些概率推理可以准确地告诉我们，什么临界值应该让人感到有玩的冲动，而不是不屑一顾。

显然，相关的变量是：玩一次的成本、你可能赢得的金额以及获胜的概率。赌注的期望值变成一个加权平均值，其中可能的结果（输赢）根据每次发生的概率进行加权

赌注的期望值 = (获胜概率) x (获胜金额) – (失败概率) x (失败金额)

这个方程的解揭示了如果你多次下注，从长远来看，你每次下注可以期望赢得多少钱（或者如果它是负数，则输掉多少钱）。例如，对于我们对掷骰子结果的 1 美元赌注，获胜的概率是 ⅙，而失败的概率是 ⅚，我们可能输或赢 1 美元。

期望值 = (⅙) x (1 美元) – (⅚) x (1 美元) = –.667

如果我们多次进行这个赌注，那么从长远来看，我们预计平均每次赌注会损失约 67 美分。用 100 美元的奖金进行类似的计算，得出的期望值几乎为 16 美元，显然是一个好的赌注。这个框架还允许我们计算一个赔率，在该赔率下，赌注是完全均等的，从长远来看，期望值为 0 美元。对于掷骰子，这个均衡赔率是 5 美元，因为你输的可能性是赢的五倍；因此，比成本大五倍的奖励可以平衡风险。

让我们将期望值视角应用于强力球。头奖从大约 2000 万美元开始，一张彩票仅售 2 美元。中头奖的概率：292,201,338 分之一。计算这些数字，这张彩票的期望值约为 –1.93 美元。如果你用这两美元换成一角钱，你会得到更多的价值。

为了简单起见，此计算忽略了几个微妙之处。首先，它假设你选择年金选项，该选项在 29 年内分期支付你的奖金，而不是一次性现金支付（从长远来看，年金更有价值）。其次，税收确保你永远不会满载而归。赢得大奖会将你纳入最高税级，因此你 37% 的意外之财最终将归于山姆大叔（这不包括州税，各州州税各不相同）。强力球还为部分匹配的号码颁发较小的奖金，而我们只考虑了头奖。我遗漏了一个更重要的考虑因素，我将在下面讨论。但是，将所有这些细节纳入数学计算只会使 –1.93 美元看起来很慷慨——这张彩票实际上价值更低。

尽管如此，2000 万美元的头奖与上个月的 17 亿美元相比仍然相形见绌。如果无人赢得头奖，则累积的总奖金将滚存到下一次开奖。当奖池连续数周持续增长时，肯定会有一个点，巨大的奖金会使中奖的极小机会相形见绌，就像 100 美元的骰子奖励弥补了仅六分之一的猜中机会一样。毕竟，匹配所有六个号码的概率不会改变，彩票的成本也不会增加。事实证明，不仅巨额头奖通常仍然是糟糕的赌注，而且它们也自相矛盾地往往是更糟糕的赌注。

数十亿美元的奖金似乎可以抵消大约三亿分之一的中奖机会，从而使彩票的期望值为正值。事实上，这种说法经常在围绕巨额头奖的媒体热议中流传。但这忽略了一个关键细节：多人可能中头奖，因此会分摊奖金。我们需要在期望值计算中添加更多项，以考虑所有可能的结果，例如（持有唯一中奖彩票的概率）x（头奖）+（与另一张彩票分摊头奖的概率）x（一半头奖）等。

我们已经确定中彩票需要克服极低的几率。同一期开奖中出现两个中奖者难道不是意味着超级加倍低的几率吗？有时是这样，但是当售出数亿张彩票时，碰撞实际上可能变得比不碰撞更可能。例如，有史以来第一个达到十亿美元的头奖出现在 2016 年，并且超额完成，达到 15.6 亿美元。围绕新纪录的炒作引发了购买狂潮，售出了超过 6.35 亿张彩票。（这比当年强力球平均开奖售出的彩票数量多 20 倍以上。）由于有如此多的彩票在流通，多个中奖者的概率超过了 60%！事实上，在 2016 年，最终有三位中奖者分摊了巨额奖金。当考虑到玩家总数、预扣税款和部分匹配的二等奖时，即使是这个巨额头奖也没有提供正的期望值。我们在上面对 2000 万美元的强力球期望值计算中省略了分摊奖金的细节，因为较小的头奖吸引的人群较少，并且分摊的概率可以忽略不计。此外，在 –1.93 美元的负期望值下，我们几乎不需要另一个因素来说服我们这是一个糟糕的赌注。

旁注：60% 的数字假设彩票号码是随机选择的，但事实并非如此。即使所有六个彩票号码序列中奖的概率都相同，但许多人会手动选择他们的号码，并且他们倾向于选择对他们有意义的序列，例如生日或周年纪念日（这导致许多数字低于 31）。人们似乎也更喜欢奇数和非 10 的倍数的数字，也许是因为它们看起来更随机。这种行为增加了具有较小随机外观数字的开奖中分摊奖金的机会，但降低了其他开奖中分摊奖金的机会。因此，虽然你不能增加你的号码被抽中的机会，但你可以通过选择大的偶数并包括 10 的倍数来降低你分摊头奖的机会。

自 2016 年以来，购买狂潮已经消退。事实上，彩票历史上两个最大的头奖（上个月和去年）吸引的购买者足够少，即使在调整了税收和分摊奖金等注意事项后，彩票的期望值也转为正值。彩票偶尔会提供我们这里所说的“好的赌注”。较小的州彩票甚至可能是寻找正期望值的更好场所，因为它们往往产生的炒作较少，售出的彩票也较少。

但先别急着清空你的应急资金去最近的便利店。尽管承认彩票的期望值偶尔可能看起来很有吸引力，但我还是要退一步解释为什么我仍然认为彩票是一个糟糕的赌注。

具有正期望值的彩票很少见。而且至关重要的是，你可能无法及时识别出来以下注，因为彩票销售数字不会在开奖前公布。正如我们所见，更大的头奖并不一定意味着更大的期望值。因此，虽然偶尔的彩票提供了一个好的赌注，但预测哪些彩票是一个赌博本身。即使你可以识别出它们，期望值实际上可能不是“好的赌注”的最佳代表。期望值对于中等规模的问题（如 100 美元的掷骰子）很有用，但可能不足以捕捉像彩票这样的极端情况下的所有相关考虑因素。事实证明，有时即使是一个好的赌注也是一个坏主意。

首先，期望值是以长期行为为前提的。当你对我们 100 美元的掷骰子下注时，你实际上并不期望赢得 16 美元。事实上，你不可能赢得 16 美元，你要么输掉 1 美元，要么赢得 100 美元。16 美元是你如果持续重复玩，平均每次下注预期会赢的金额。彩票中奖非常罕见，以至于永远无法实际实现这种长期平均值。其次，随着你不断积累更多，金钱会贬值。你的第二个 5000 万美元不会给你带来像你的第一个 5000 万美元那样多的快乐。期望值分析平等地对待每一美元，并且不考虑边际收益递减。与此相关的是，期望值忽略了个人风险规避。人们往往比喜欢赢钱更不喜欢赔钱。这就是为什么，虽然期望值非常适合对概率系统进行数学评估，但它并不能完全模拟人类心理和决策。

现在回到我对退一步的退一步：一张彩票花费 2 美元。玩家不是在购买一项投资，他们是在购买几天幻想的许可。我们都进行过无聊的购买，而且其中大多数购买都不可能给我们带来财富。花在彩票上的钱也不会只是被倾倒入大海。大部分收入用于资助教育等公共服务。甚至有一些研究表明，玩游戏带来的期待让人快乐，无论结果如何。因此，虽然我不能在数学基础上推荐玩彩票，但幸福的生活不仅仅是数学。或者我是这么被告知的。

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