编者注：去年，基础问题研究所的第三次论文竞赛向物理学家和哲学家提出了以下问题：“现实是数字的还是模拟的？” 组织者期望参赛者站在数字一边。毕竟，量子物理学中的“量子”一词意味着“离散”——因此是“数字”。然而，许多最佳论文认为世界是模拟的。其中一篇是戴维·唐的参赛作品，他获得了二等奖。本文是他的论文的一个版本。
在 19 世纪后期，著名的德国数学家利奥波德·克罗内克宣称：“上帝创造了整数，其余一切都是人的工作。” 他认为整数在数学中起着 фундаментальную роль. 对于今天的物理学家来说，这句话有着不同的共鸣。它与过去几十年来越来越普遍的一种信念有关：自然本质上是离散的——物质和时空的构建基块可以一个接一个地数出来。这个想法可以追溯到古代希腊的原子论者，但在数字时代具有额外的效力。许多物理学家开始将自然世界视为一台巨大的计算机，它由离散的信息位描述，物理定律是一种算法，就像 1999 年电影《黑客帝国》结尾尼奥看到的绿色数字雨。
然而，物理定律真的是这样运作的吗？尽管这似乎与时代精神相悖，但我，以及许多其他人，认为现实最终是模拟的而不是数字的。 在这种观点中，世界是一个真正的连续体。无论你放大多少倍，你都不会找到不可约的构建基块。物理量不是整数，而是实数——连续数，小数点后有无限位数字。 令《黑客帝国》迷们失望的是，已知的物理定律具有没有人知道如何在计算机上模拟的特征，无论其内存有多少字节。理解这些定律的这一方面对于发展完全统一的物理理论至关重要。
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古老的谜题
数字与模拟之间的争论是物理学中最古老的争论之一。原子论者认为现实是离散的，而亚里士多德等其他希腊哲学家则认为现实是连续体。在 17 世纪和 18 世纪的艾萨克·牛顿时代，自然哲学家们在粒子（离散）理论和波动（连续）理论之间左右为难。到了克罗内克时代，原子论的拥护者，如约翰·道尔顿、詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼，能够推导出化学、热力学和气体定律。但许多科学家仍然不相信。
1909 年诺贝尔化学奖获得者威廉·奥斯特瓦尔德指出，热力学定律仅指能量等连续量。同样，麦克斯韦的电磁理论将电场和磁场描述为连续的。后来成为量子力学先驱的马克斯·普朗克在 1882 年完成了一篇有影响力的论文，最后写道：“尽管原子理论迄今为止取得了巨大的成功，但最终它将被放弃，转而采用连续物质的假设。”
连续阵营最强有力的论据之一是离散性的表面上的任意性。例如：太阳系中有多少颗行星？我在学校被告知有九颗。2006 年，天文学家正式将冥王星从行星 A 级名单中降级，只剩下八颗。与此同时，他们引入了矮行星的 B 级名单。如果你包括这些，数量增加到 13 个。简而言之，关于行星数量问题的唯一诚实答案是，这取决于你如何计数。海王星以外的柯伊伯带包含的物体大小从几微米到几千公里不等。只有当你对什么是行星、什么是矮行星以及什么只是一块岩石或冰块做出相当随意的区分时，你才能计算出行星的数量。
量子力学最终改变了数字-模拟辩论。行星的定义可能是任意的，但原子或基本粒子的定义不是。标记化学元素的整数——我们现在知道，这些整数计算的是其组成原子中质子的数量——是客观的。无论物理学发生什么发展，我都很乐意打赌，我们永远不会观察到原子序数为 √500 的元素，它位于钛和钒之间。原子物理学中的整数将永远存在。
另一个例子发生在光谱学中，即研究物质发射和吸收的光。特定类型的原子只能发射非常特定颜色的光，从而为每个原子产生独特的指纹。与人类指纹不同，原子光谱遵循固定的数学规则。而这些规则受整数支配。最早尝试理解量子理论的尝试，最著名的是丹麦物理学家尼尔斯·玻尔，将离散性置于其核心。
涌现的整数
但玻尔的说法不是最终定论。埃尔温·薛定谔在 1925 年开发了一种基于波动思想的量子理论的替代方法。他制定的描述这些波如何演化的方程只包含连续量——没有整数。然而，当你为特定系统求解薛定谔方程时，会发生一点数学魔法。以氢原子为例：电子以非常特定的距离绕质子运行。这些固定的轨道转化为原子的光谱。原子类似于风琴管，即使空气运动是连续的，它也会产生离散的音符系列。至少就原子而言，教训很明确：上帝没有创造整数。他创造了连续数，其余的都是薛定谔方程的工作。
换句话说，整数不是理论的输入，正如玻尔所认为的那样。它们是输出。整数是物理学家所说的涌现量的一个例子。在这种观点中，“量子力学”一词用词不当。从根本上说，该理论不是量子的。在氢原子等系统中，该理论描述的过程从潜在的连续性中塑造出离散性。
也许更令人惊讶的是，原子或任何基本粒子的存在也不是我们理论的输入。物理学家经常教导说，自然的构建基块是离散粒子，如电子或夸克。这是一个谎言。我们理论的构建基块不是粒子，而是场：遍布空间的连续、流体状物体。电场和磁场是熟悉的例子，但也有电子场、夸克场、希格斯场以及更多场。我们称之为基本粒子的物体不是基本的。相反，它们是连续场的涟漪。
怀疑论者可能会说，物理定律确实包含一些整数。例如，这些定律描述了三种中微子、六种夸克（每种夸克都有三种称为颜色的变体），等等。到处都是整数，整数。或者有吗？所有这些例子实际上都在计算标准模型中粒子种类的数量，当粒子相互作用时，这个量非常难以在数学上精确化。粒子可以突变：中子可以分裂成质子、电子和中微子。我们应该将其计为一个粒子还是三个粒子或四个粒子？关于存在三种中微子、六种夸克等等的说法是忽略粒子之间相互作用的产物。
这是物理定律中整数的另一个例子：观察到的空间维度数是三个。或者真的是这样吗？已故著名数学家本华·曼德博指出，空间维数不必是整数。例如，英国的海岸线维度约为 1.3。此外，在许多提出的物理学统一理论中，例如弦理论，空间维度是模糊的。空间维度可以涌现或消解。
我敢说，在所有物理学中可能只出现一个真正的整数。物理定律指的是一个时间维度。如果没有恰好一个时间维度，物理学似乎会变得不一致。
非离散的思想
即使我们当前的理论假设现实是连续的，我的许多物理学家同行也认为，离散现实仍然是连续性的基础。他们指出了连续性如何从离散性中涌现出来的例子。在日常经验的宏观尺度上，玻璃杯中的水看起来是光滑且连续的。只有当你非常非常仔细地观察时，你才会看到原子成分。这种类型的机制是否可能位于物理学的根源？也许如果我们从更深层次观察，标准模型的平滑量子场，甚至时空本身，也会揭示潜在的离散结构。
我们不知道这个问题的答案，但我们可以从 40 年来在计算机上模拟标准模型的努力中获得一些线索。为了执行这样的模拟，首先必须采用用连续量表示的方程，并找到与计算机交易的信息位相容的离散公式。尽管经过数十年的努力，但没有人成功做到这一点。它仍然是理论物理学中最重要但又很少被提及的开放性问题之一。
物理学家开发了一种称为格点场论的量子场的离散化版本。它用一组点替换时空。计算机评估这些点上的量以逼近连续场。然而，该技术具有局限性。困难在于电子、夸克和其他物质粒子，称为费米子。奇怪的是，如果你将费米子旋转 360 度，你不会发现与你开始时相同的物体。相反，你必须将费米子旋转 720 度才能回到同一个物体。费米子抵抗被放在格子上。在 20 世纪 80 年代，哥本哈根尼尔斯·玻尔研究所的霍尔格·贝克·尼尔森和现在日本冈山量子物理研究所的二宫正夫证明了一个著名的定理，即不可能离散化最简单的费米子。
这样的定理仅与其假设一样强大，在 20 世纪 90 年代，理论家，最著名的是华盛顿大学的戴维·卡普兰和罗格斯大学的赫伯特·诺伊伯格，引入了各种创造性的方法将费米子放置在格子上。量子场论有许多可以想象到的变体，每种变体都有不同类型的费米子，现在人们几乎可以在格子上制定每一种变体。只有一类量子场论是人们不知道如何放在格子上的。不幸的是，这一类包括标准模型。我们可以处理各种假设的费米子，但不能处理实际存在的费米子。
标准模型中的费米子具有非常特殊的性质。那些逆时针旋转的费米子感受到弱核力，而那些顺时针旋转的费米子则没有。该理论被称为手征理论。手征理论很微妙。被称为反常的微妙效应总是威胁到使其不一致。到目前为止，这类理论一直抵制在计算机上建模的尝试。
然而，手征性不是标准模型的一个错误，可能会在更深层次的理论中消失；它是一个核心特征。乍一看，基于三种相互关联的力的标准模型似乎是任意构建的。只有在考虑手征费米子时，它的真正美才显现出来。这是一个完美的拼图游戏，三块拼图以唯一可能的方式锁定在一起。标准模型中费米子的手征性质使一切都恰到好处。
科学家们不太确定如何理解我们无法在计算机上模拟标准模型。很难从未能解决问题中得出强烈的结论；很可能这个难题只是一个非常困难的难题，等待着用传统技术来解决。但是问题的某些方面比这更深入。所涉及的障碍与拓扑学和几何学的数学密切相关。将手征费米子放置在格子上的困难可能是在告诉我们一些重要的事情：物理定律本质上不是离散的。我们没有生活在计算机模拟中。