数学家探索神秘“爱因斯坦瓦片”的内幕

我在2022年11月，一位同事随意地问我正在研究什么。我茫然的回答反映了当时吞噬我所有脑力的各种想法：“实际上，我认为一个重大的未解决问题的答案刚刚落入我的手中。” 在一周前，我收到一封电子邮件，要求我看看一个形状。那是我第一次看到“帽子”，一个不起眼的多边形，结果证明是几十年数学探索的结晶。

这封电子邮件来自大卫·史密斯，我从一个对平铺感兴趣的小型邮件列表中认识他——平铺是排列形状以覆盖平面的不同方式。史密斯不是数学家；他是一位自称的“形状爱好者”，在他位于英格兰约克郡的家中，在业余时间进行几何实验。在史密斯给我发送了他一直在玩的帽子形状后，我们开始定期通信，花费了2022年的剩余时间研究帽子及其属性。2023年，我们联系了另外两位研究人员，数学家查伊姆·古德曼-施特劳斯和软件开发人员约瑟夫·塞缪尔·迈尔斯，他们也都是邮件列表的成员，并且在更广泛的平铺理论领域广为人知。我们四个人继续研究帽子，并在感觉是创纪录的时间内，成功证明该形状是许多人认为不可能存在的长期寻求的目标：一个非周期性单瓦片，也称为爱因斯坦瓦片。

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事实证明，史密斯的帽子只是揭示一系列启示的开始。当我们探索这种形状揭示的新思想领域时，我们多次惊讶于额外的发现，这些发现进一步加深了我们对平铺理论的理解。很快，帽子就引出了“海龟”、“幽灵”和其他奇迹，这些奇迹产生的见解超出了我们最初的预期。

自古代以来，瓦片就让人们着迷，但数学家在20世纪才开始认真研究它们。所谓的平面平铺是无限形状的集合，它们覆盖一个平面，没有间隙，也没有重叠。我将重点关注平铺中无限多的瓦片来自有限数量的不同形状的情况。想象一下，一些模板可以用来从无限量的纸张中切割形状的副本。我们的目标是在无限的桌面安排剪裁件，以便桌面的每一部分都被恰好一层纸覆盖。我们可以通过反射（翻转纸张）、旋转（在原地转动）和平移（在不转动形状的情况下滑动形状）的某种组合将每个剪裁件移动到位。如果我们实现了构造平铺的目标，我们就说这组形状“允许”平铺，更一般地说，这些形状平铺了平面。

并非所有形状集合都允许平铺。正方形产生类似于方格纸的平铺，以及其他图案，因此是单瓦片：它自己平铺平面（作为一个形状集合）。相比之下，正五边形本身不能平铺平面。正八边形也不能，尽管由正八边形和正方形组成的二元素集合确实可以平铺。

我们如何确定给定的形状集合是否可以平铺平面？我们没有算法可以用来回答这个问题，实际上也不可能存在——这个问题在理论计算机科学中被称为“不可判定的”。尽管如此，我们可以研究单个集合，并尝试通过试错法或其他方法构建平铺。在这个过程中，我们经常遇到有趣的例子，说明局部相互作用（两个瓦片可以并排放置的不同方式）如何影响全局行为（平铺在各个方向无限延伸的大尺度结构）。

有多种方法可以弄清楚单个形状是否可以平铺平面。有些人，例如史密斯，甚至会使用计算机控制的切割工具切割形状的物理纸质副本，并在实际的（遗憾的是有限的）桌面上摆弄它们，利用触摸的直接性来增强视觉直觉。在像史密斯这样熟练的探索者手中，形状会在短时间内揭示其平铺秘密。在前帽子时代，形状总是以两种方式之一表现出来。

第一种可能性是形状无法平铺平面。作为一个快速测试，我们可能会尝试用自身的副本完全包围它；如果我们不能，那么该形状肯定不允许任何平铺。例如，正五边形是不可包围的，这立即将其排除为非平铺者。但是，尽管可包围性提供了可平铺性的证据，但它不是确凿的证据：存在欺骗性的非平铺者，它们可以被一个或多个同心层的副本完全包围，然后不可挽回地卡住。1968年，数学家海因里希·海施展示了一个可以被包围一次但不能被包围两次的形状，并询问在一个非平铺者周围可以构建的同心环数量是否存在上限，这个数量现在被称为形状的“海施数”。目前的记录保持者是一个特别难缠的多边形，其海施数为六，由塞尔维亚诺维萨德大学的博扬·巴西奇于2020年发现。

第二种可能性是形状周期性地平铺平面。在周期性平铺中，瓦片的排列以由无限平行四边形网格确定的规则模式重复。我们可以使用三个信息来描述周期性平铺：一个称为平移单元的有限瓦片簇，以及定义网格中平行四边形边长的两条线段。我们可以将平移单元的副本滑动到网格中的每个顶点，而无需旋转或反射它，并且这些副本将互锁以完成平铺。这种方法提供了一个快速测试形状平铺能力的方法：我们组装候选平移单元，然后查看它们中的任何一个是否通过在规则网格中重复来覆盖平面。与海施数一样，没有人知道形状可能需要的最小平移单元是否存在任何界限，然后才能重复平铺平面。迈尔斯发现了当前的记录保持者，一个形状，其最简单的平移单元包含10个瓦片。

当史密斯开始试验帽子时，引起他注意的是，它拒绝遵守这些选项中的任何一个。帽子显然没有平铺平面：他找不到任何尺寸的平移单元的构建方法。但它也显然没有无法平铺平面：通过努力，他可以用多层副本包围帽子而不会卡住。可以想象，帽子可能是一个具有高海施数的非平铺者，或者是一个具有大型平移单元的周期性单瓦片，但史密斯知道这种情况很少见。他联系我是因为他也知道还有另一种可能性，一种非常特殊，以至于需要充分考虑的可能性。

大约60年前，数学家开始想知道是否存在只能以非周期性方式平铺平面的形状集合——也就是说，有人可以将副本组装成任意大的补丁，而永远不会遇到平移单元。这样的集合称为非周期性的。至关重要的是，非周期性是比非周期性更强的属性。许多形状，包括一个不起眼的 2 × 1 矩形，可以允许周期性平铺以及非周期性平铺。非周期性集合没有可能的周期性平铺。

非周期性的概念最初由郝旺在1960年代初期提出，当时他是哈佛大学的数学教授。他正在研究我们现在所说的王氏瓦片：边缘带有符号标签或颜色的正方形瓦片，必须将其放置成相邻正方形的相邻边缘具有相同的标记。（这些标签是可以用几何方式表达的等效规则的便捷速记。）旺观察到，如果给定一组瓦片，可以找到一个矩形，其顶部和底部边缘具有相同的标签序列，并且其左右边缘也匹配，则该矩形是一个平移单元，因此该集合平铺了平面。然后他推测了逆命题：如果一组王氏瓦片允许平面平铺，那么就必须有可能构建这样的矩形。换句话说，他声称王氏瓦片永远不可能是非周期性的。

根据当时关于平铺的知识，旺的猜想相当合理。然而，几年后，旺的学生罗伯特·伯杰在这一工作的基础上，通过构建第一个非周期性瓦片集合（一个庞大的20,426个王氏瓦片的系统）驳斥了这个猜想。顺便说一句，伯杰推测应该有可能构建更小的非周期性集合，从而开启了一个不可抗拒的数学探索，以了解集合可以有多小。到1971年，加州大学伯克利分校的拉斐尔·M·罗宾逊已经缩减到一组六个修改后的正方形。

然后在1973年，牛津大学数学家罗杰·彭罗斯用一组只有两个瓦片的集合取得了惊人的突破：“风筝”和“飞镖”。

彭罗斯的工作让我们离一个显而易见的终点线只差一步：非周期性单瓦片，一种只允许非周期性平铺的单一形状。这种形状有时也称为“爱因斯坦”，来自德语“ein stein”，意思是“一块石头”。（这是对“爱因斯坦”这个名字的文字游戏，但在其他方面与著名的阿尔伯特无关。）是否存在非周期性单瓦片的问题被称为爱因斯坦问题。

在彭罗斯之后，进展停滞了近50年。又发现了一些大小为二的集合，包括古德曼-施特劳斯发现的一个集合。一些数学家提出了单形状解决方案，但这些解决方案不可避免地需要对游戏规则进行小的修改。例如，索科拉尔-泰勒瓦片是一种修改后的正六边形，可以非周期性地平铺。问题在于，为了使这种六边形的副本串通一气，迫使所有平铺都成为非周期性的，不相邻的瓦片必须就其相对方向达成一致。如果没有引入技巧，例如将六边形挤压成三维或将其分解成不连贯的碎片，就无法将这种限制烘焙到瓦片的轮廓中。

即使数学中的问题尚未解决，数学家之间通常也会对其可能的答案达成广泛的共识。例如，哥德巴赫猜想指出，每个大于二的偶数都是两个奇素数之和。这个猜想尚未证明，但我们掌握的证据压倒性地表明它是正确的。我一直对爱因斯坦问题着迷的一个原因是我没有看到支持或反对它的明确证据（除了50年干旱期的严峻现实）。一些数学家对非周期性单瓦片的不可能性感到无奈，但我对任何结果都持开放态度。如果说有什么不同的话，我怀疑存在性证明可能比非存在性证明更容易处理。前者很可能是一个关于特定形状属性的论证，但后者必然是关于所有形状的陈述。正如我们现在所知，在这种情况下，宇宙中存在某种正义。

史密斯并没有专门着手寻找非周期性单瓦片，但他了解这个问题的历史和意义。他一直在他的探索中寻找非周期性的迹象。正是史密斯在2022年11月24日的一封电子邮件中首次大胆地建议，帽子可能是爱因斯坦瓦片，并谦虚地补充说：“那岂不是很棒吗？”

史密斯和我开始尝试理解帽子的行为。帽子被称为多形体：一种由一些简单单元元素的副本组成的形状。例如，视频游戏俄罗斯方块中的碎片代表了将四个正方形粘合在一起的所有方式。

帽子由八个风筝组成。这些风筝与彭罗斯的风筝不同；史密斯通过将正六边形切成六等份，并用连接相对边缘中点的线段来制作它们。

他知道我最近编写了软件来计算多米诺骨牌（粘合在一起的正方形）、多六边形（正六边形）和多菱形（等边三角形）的海施数，他想知道它是否可以适用于多风筝。幸运的是，在滑铁卢大学本科生艾娃·潘的帮助下，我在前一年添加了对风筝的支持。

我的软件轻松生成了大量的帽子簇，而没有卡住，这加强了我们关于帽子平铺平面的信念。更好的是，这些新的计算机生成的簇成为了原始数据，史密斯和我可以研究这些数据以完善我们的直觉。我们开始以不同的方式对帽子进行分组，通常在数字插图中手动为它们着色，以寻找秩序。重复出现的模式立即跳了出来，围绕着嵌入在更大的未反射帽子区域中的稀疏排列的反射帽子（史密斯在他的纸质实验中也观察到了这一点）组织起来。

然而，这些模式从未形成平移单元。此外，瓦片似乎以多尺度的相关“图案”族的形式构建起来。这种重复出现的层次结构暗示了最终证明帽子是非周期性的最佳情况：我们可以希望找到所谓的替换规则系统。在替换系统中，集合中的每个瓦片形状都配备了一个规则，该规则可以应用于将其替换为瓦片较小副本的集合。有了合适的帽子替换系统，我们或许可以从瓦片的“种子”配置开始，并迭代地应用规则，在进行过程中放大以保持比例。通过这种方式，我们将定义一系列越来越大的帽子簇，这些帽子簇最终将填充整个平面。许多非周期性瓦片集合，包括彭罗斯的集合，都可以证明可以用像这样的替换系统来平铺平面。

在我50岁生日那天，大约在我第一次看到帽子两周后，我找到了一套初步的替换规则。诀窍是避免直接处理“裸露的”或单个的反射帽子，它们必然表现得与未反射的对应物不同。相反，我将每个反射帽子与其三个邻居分组在一起，形成一个不可分割的单元，一个新的“元瓦片”，可以将其视为具有自身替换规则的成熟瓦片形状。我在2022年的剩余时间里完善了元瓦片及其规则，最终得到了一个由四个元瓦片组成的系统，每个元瓦片都是小型帽子簇的示意性表示。

到2023年初，史密斯和我已经完成了一半的非周期性证明，并且可以说这是容易的一半。我们的元瓦片和替换规则保证了帽子是一个单瓦片：它平铺了无限平面，而不是意外地以一个大的但有限的海施数逐渐消失。而且很容易看出，规则生成的平铺是非周期性的。但请记住，非周期性与非周期性相去甚远。也许我们的规则只是构建帽子平铺的一种过于复杂的方式，并且也存在周期性平铺。为了完成证明，我们必须证明帽子的每一种平铺都必然是非周期性的。我对这一步可能会如何发展有一些了解，但我的感觉就像我猜想史密斯在前年11月的感觉一样：接近我的数学专业知识的极限。是时候请求增援了。

2023年1月初，史密斯和我联系了古德曼-施特劳斯，一位数学家，他发表了许多关于平铺理论的重要文章。我认为他是当代研究的权威。他还以数学传播者和动手活动组织者的身份而闻名，当时他正在过渡到纽约市国家数学博物馆的推广数学家的新角色。换句话说，他已经忙得不可开交了。但他提供了宝贵的意见，并坚持我们立即联系迈尔斯。迈尔斯在获得数学领域组合学的博士学位后离开了学术界，但他仍然对平铺感兴趣。特别是，他维护了一个长期项目，以编目多形体的平铺属性。早在2006年，我就为他运行了一些支持计算，并且我正在使用他的软件作为我自己的海施数研究的一部分。

我以前没有与迈尔斯进行过如此密切的合作，所以我对他的思维能力、编码技能和该领域的知识结合感到措手不及。他之前在平铺方面的工作使他为这一刻做好了充分的准备。仅仅在被介绍到我们正在进行的工作八天后，迈尔斯就完成了证明，并在1月下旬确认帽子是世界上第一个非周期性单瓦片。

在迈尔斯加入之前，我们已经有了我们的替换规则，并且可以生成平铺；他的任务是证明帽子的所有平铺都必须是非周期性的。在非周期性剧本中，此时的标准步骤是证明任何平铺都带有替换规则的印记。换句话说，他需要证明对于任何任意的帽子平铺，都有一种独特的方式将瓦片分组为元瓦片，将元瓦片分组为超瓦片，依此类推，永远反向工程一个以完整、无限平铺结束的无限替换塔。然后，一个预先存在的数学论证将使我们得出结论，即平铺必须是非周期性的。这种策略的挑战是在任意帽子平铺之上找到这个塔，而帽子平铺的构造在开始时并未被限制为遵守我们的规则。

迈尔斯开发了一种计算机辅助方法来解决这个问题。我们生成了一个详尽的188个小瓦片簇列表，这些瓦片簇可能出现在帽子平铺中。这些簇代表围绕单个帽子的每一种合法排列，以便任何可想象的平铺中的每个瓦片都必须位于这样一个簇的中心。然后，迈尔斯证明了这些簇中的每一个都可以以独特的方式划分为元瓦片的碎片，这意味着任何平铺中的帽子都可以分组以产生元瓦片平铺。最后，他证明，在由元瓦片制成的平铺中，总是可以将元瓦片分组为更大的簇，称为超瓦片，这些超瓦片的行为与更大的元瓦片完全相同。最后一步启动了一种递归：因为超瓦片的行为与元瓦片完全相同，所以相同的分组过程也适用于它们。一旦我们将帽子分组为元瓦片，并将元瓦片分组为超瓦片，层次结构的所有后续级别都将通过一个数学技巧锁定到位。

我们获得了我们的奖品，并在2023年2月初开始撰写一份手稿，与世界分享帽子。如果不是史密斯的数学发现能力，这可能已经是一个神奇故事的结尾。早在2022年12月，他就通过电子邮件给我发送了第二个形状，我们称之为海龟的多风筝，它的行为很像帽子。海龟也散发出一种神秘的非周期性光环。难道史密斯在其他人徒劳地寻找了50年后，在两周内发现了两个革命性的形状吗？我恳求耐心；可以这么说，我的脑子里已经装满了帽子。

但是在解决了帽子的状态之后，迈尔斯开始思考被忽视的海龟。一两周后，他以一个观察结果震惊了我们三个人，即海龟也必然是非周期性的，因为它实际上只是伪装成帽子的形状。事实上，帽子和海龟是连续多边形家族中的两个形状，它们都是非周期性的，并且以相同的方式平铺。

帽子可以被视为边长为 1 和 √3 的多边形（其中两个连续的边长为 1 的边形成一个更长的边）。正如人们可以通过独立改变矩形水平边和垂直边的长度来构造矩形族一样，我们可以选择任意两个数字a和b来替换帽子的边长，并获得一个新的多边形，我们将其称为瓦片(a,b)。使用此符号，帽子是瓦片(1,√3  )，海龟是瓦片(√3  ,1)。迈尔斯表明，几乎所有瓦片(a,b)形式的形状都是非周期性单瓦片，具有相同的平铺。只有三个例外：瓦片(0,1)（“人字形”）、瓦片(1,0)（“彗星”）和等边多边形瓦片(1,1)（从未获得朗朗上口的昵称）。这三种形状都更灵活，既允许周期性平铺，也允许非周期性平铺。

不久之后，迈尔斯加倍强调了他建立的帽子和海龟之间的联系，基于瓦片(a,b)连续统，开发了帽子非周期性的第二个显著证明。他依赖于反证法的经典技术：他假设存在帽子的周期性平铺，然后，从这种平铺的存在中，他得出了一个荒谬的结论，表明最初的假设（周期性帽子平铺）是不可能的。具体来说，他发现可以拉伸和挤压周期性帽子平铺中的边缘，以获得等效的、周期性的人字形和平铺。但是人字形和彗星都是建立在不同尺度的规则三角形平铺之上的多菱形（等边三角形的并集）。在一个涉及组合学、几何学和少量数论的论证中，迈尔斯证明，由于人字形和彗星平铺起源于同一个假定的周期性帽子平铺，因此它们的底层三角形平铺必须通过数学上不可能的比例因子相互关联。这是证明帽子是非周期性单瓦片的第二种方法。这令人兴奋，不仅因为它支持了帽子非周期性的主张，而且因为它代表了该领域全新的证明方法，这可能对未来分析其他瓦片有用。

我们在2023年3月将我们的手稿在线发布，并收到了数学家和平铺爱好者的热情、压倒性的回应。帽子立即成为艺术家、设计师和谜题创作者的灵感来源（例如，您现在可以在Etsy上购买帽子平铺套装）。重要的是要记住，这项工作尚未从同行评审的考验中脱颖而出，尽管它经受了专家的严格审查，几乎没有留下任何痕迹。

当我们第一次公开帽子时，人们反对我们工作的某一方面比任何其他方面都更频繁：使用反射瓦片。正如史密斯和我早些时候发现的那样，帽子的每个平铺都必须包括稀疏分布的反射帽子。从数学上讲，这种反对意见并没有破坏我们的结果：单瓦片的公认定义始终允许将反射作为平铺中的合法移动。尽管如此，许多人想知道，是否有可能存在一种形状，可以产生“单手”或“手性”非周期性平铺，其中没有瓦片被翻转过来？我们的手稿没有提供对此问题的见解，我们和其他所有人一样准备好等待很长时间直到问题解决。

令人高兴的是，史密斯又给我们带来了一个令人震惊的惊喜。在我们第一份手稿发布不到一周后，他开始通过电子邮件向我们其他人发送关于瓦片(1,1)的消息，瓦片(1,1)是包括帽子和海龟在内的连续形状家族的等边成员。我们知道这个多边形不是非周期性的：它允许混合未反射和反射瓦片的周期性平铺。但是史密斯观察到，如果他故意将自己限制为单手性瓦片（不允许翻转），他会产生有趣的瓦片簇。

我们四个人立即投入到新的合作中。我们计算了瓦片(1,1)未反射副本的大片区域，并研究了它们的模式。我们发现了一种将瓦片分组为重复出现的簇的方法，然后确定了这些簇的替换规则，这些规则产生了具有相同行为的超簇。再一次，这种递归分组保证了唯一的无限替换层次结构的存在，该层次结构迫使所有未反射（单手）平铺都是非周期性的。最后的技巧只是用任意曲线替换瓦片(1,1)的边缘，这保证了瓦片及其反射不能共存于平铺中。结果是一个我们称之为幽灵的形状家族，所有这些形状都被证明是手性非周期性单瓦片。

数学家多年来秘密地研究棘手的问题，最终带着新的成果出现在阳光下，这其中有一种浪漫色彩。这不是我们的故事。尽管我一直对爱因斯坦问题着迷，但我从未直接研究过它——我只是在2022年11月答案交到我手中时才开始研究。帽子或多或少在史密斯手中成型，我很幸运他选择联系我。几个月后，我们有了一个完整的证明，这个证明过程据我所知，对我们四个人来说都是轻松的。也许我们的速度反映了一个事实，即如果你一开始就拥有正确的形状，那么在生成非周期性证明方面有一个清晰的程序可以遵循。我们的轻松感也肯定是我们每个人花了数十年思考爱因斯坦问题和相关问题的结果。这种经验使我们能够很好地认识到帽子可能是解决方案，并知道该如何处理它。

平铺理论中不乏未解决的问题，平铺理论是数学的一个分支，入门门槛低，并且具有很强的视觉吸引力。史密斯加入了一群热情的业余爱好者的行列，他们为该领域做出了重要贡献，通常是在阅读了本杂志上的未解决问题之后。他与罗伯特·阿曼并驾齐驱，后者独立发现了许多与彭罗斯相同的结果，并为平铺理论贡献了其他重要的思想；玛乔丽·赖斯，她发现了新的五边形单瓦片类别；以及琼·泰勒，她是索科拉尔-泰勒瓦片的原创者。我还应该包括艺术家M.C.埃舍尔，他发明了绘制他的镶嵌图案所需的数学，即使他根本不会认为这是数学。

随着我们的非周期性单瓦片的影响向外扩散，我相信它将刺激新的学术研究。但我希望我们也吸引其他可能认为数学令人望而生畏，但现在认识到有玩耍机会的人。