随便问一个人物理世界是由什么构成的，你很可能会被告知是物质和能量。
然而，如果我们从工程学、生物学和物理学中学到了什么，那就是信息也同样是至关重要的组成部分。汽车工厂的机器人配备了金属和塑料，但如果没有大量的指令告诉它哪个零件焊接到哪个零件等等，它就什么也做不了。你身体细胞中的核糖体配备了氨基酸构件，并由 ATP 转化为 ADP 释放的能量驱动，但如果没有细胞核中 DNA 带来的信息，它就无法合成蛋白质。同样，物理学一个世纪的发展告诉我们，信息是物理系统和过程中至关重要的参与者。事实上，普林斯顿大学的约翰·A·惠勒发起了一个当前的趋势，即将物理世界视为由信息构成，而能量和物质只是附带的。
这种观点引发了对古老问题的新审视。硬盘驱动器等设备的信息存储容量一直在飞速增长。这种进步何时停止？一个重量小于一克，可以装入一立方厘米（大致相当于计算机芯片大小）的设备的最终信息容量是多少？描述整个宇宙需要多少信息？这种描述可以装入计算机的内存中吗？正如威廉·布莱克令人难忘地写道，我们能否在一粒沙子中看到一个世界，还是这个想法仅仅是诗意的许可？
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值得注意的是，理论物理学的最新发展回答了其中一些问题，而这些答案可能是最终现实理论的重要线索。通过研究黑洞的神秘特性，物理学家们推导出了空间区域或物质和能量数量可以容纳多少信息的绝对限制。相关结果表明，我们感知到的具有三个空间维度的宇宙，实际上可能被写在一个二维表面上，就像全息图一样。我们日常对世界的三维感知，要么是一种深刻的错觉，要么仅仅是看待现实的两种替代方式之一。一粒沙子可能无法包含我们的世界，但一个平面屏幕可能会。
两种熵的故事
形式信息理论起源于美国应用数学家克劳德·E·香农 1948 年的开创性论文，他介绍了当今最广泛使用的信息内容度量：熵。长期以来，熵一直是热力学的核心概念，热力学是物理学中处理热的分支。热力学熵通常被描述为物理系统中的无序度。1877 年，奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼更精确地用构成一块物质的粒子可能处于的不同的微观状态的数量来描述它，同时仍然看起来像同一块宏观物质。例如，对于您周围房间里的空气，人们会计算单个气体分子可能分布在房间中的所有方式以及它们可能移动的所有方式。
当香农寻找一种量化消息中包含的信息量的方法时，逻辑引导他得出了与玻尔兹曼公式形式相同的公式。消息的香农熵是编码消息所需的二进制数字或比特数。香农熵没有启发我们关于信息价值的认识，信息价值高度依赖于上下文。然而，作为信息量的客观度量，它在科学和技术领域非常有用。例如，从蜂窝电话到调制解调器再到光盘播放器，每一种现代通信设备的设计都依赖于香农熵。
热力学熵和香农熵在概念上是等价的：玻尔兹曼熵计数的排列数量反映了实现任何特定排列所需的香农信息量。然而，这两种熵有两个显著的区别。首先，化学家或制冷工程师使用的热力学熵以能量除以温度的单位表示，而通信工程师使用的香农熵以比特表示，本质上是无量纲的。这种差异仅仅是约定俗成的问题。
然而，即使简化为通用单位，两种熵的典型值在量级上也有很大差异。例如，携带千兆字节数据的硅微芯片的香农熵约为 1010 比特（一个字节是八个比特），远小于芯片的热力学熵，在室温下约为 1023 比特。这种差异的出现是因为熵是针对不同的自由度计算的。自由度是任何可以变化的量，例如指定粒子位置的坐标或其速度的一个分量。芯片的香农熵只关心硅晶体中蚀刻的每个微小晶体管的整体状态——晶体管是打开还是关闭；它是 0 还是 1——一个单一的二进制自由度。
相比之下，热力学熵取决于构成每个晶体管的所有数十亿个原子（及其游离电子）的状态。随着小型化使每个原子将为一个我们存储一位信息的那一天越来越近，最先进的微芯片的有用香农熵将在量级上更接近其材料的热力学熵。当为相同的自由度计算两种熵时，它们是相等的。
什么是最终的自由度？毕竟，原子是由电子和原子核组成的，原子核是质子和中子的聚集体，而质子和中子又是由夸克组成的。今天的许多物理学家认为电子和夸克是超弦的激发态，他们假设超弦是最基本的实体。但是，物理学一个世纪以来的启示告诫我们不要固执己见。在我们宇宙中可能存在比今天的物理学梦想的更多的结构层次。
如果不了解物质的最终组成部分或最深层次的结构（我将其称为 X 层次），就无法计算一块物质的最终信息容量，或者等效地，其真实的热力学熵。（这种模糊性在分析实际热力学时不会引起问题，例如汽车发动机的热力学，因为原子内的夸克可以忽略不计——它们在发动机中相对温和的条件下不会改变状态。）鉴于小型化令人眼花缭乱的进步，人们可以开玩笑地设想有一天夸克将用于存储信息，也许每个夸克存储一位信息。那么，我们的一厘米立方体可以容纳多少信息？如果我们利用超弦甚至更深层次、尚未梦见的层次，又会容纳多少信息？令人惊讶的是，过去三十年引力物理学的发展为这些看似难以捉摸的问题提供了一些明确的答案。
黑洞热力学
这些发展的核心参与者是黑洞。黑洞是广义相对论的结果，广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦 1915 年提出的几何引力理论。在该理论中，引力源于时空弯曲，这使得物体运动起来好像受到力的拉动一样。反过来，曲率是由物质和能量的存在引起的。根据爱因斯坦的方程，足够密集的物质或能量集中会使时空弯曲到极其严重的程度，以至于它会撕裂，形成黑洞。相对论定律禁止任何进入黑洞的东西再次出来，至少在物理学的经典（非量子）描述中是这样。不归路点，称为黑洞的事件视界，至关重要。在最简单的情况下，视界是一个球体，质量越大的黑洞，其表面积越大。
不可能确定黑洞内部是什么。没有详细信息可以跨越视界并逃逸到外部世界。然而，一块物质在永远消失在黑洞中时，确实留下了一些痕迹。它的能量（我们根据爱因斯坦的E = mc2 将任何质量都算作能量）永久地反映在黑洞质量的增量中。如果物质是在绕洞旋转时被捕获的，则其相关的角动量会添加到黑洞的角动量中。黑洞的质量和角动量都可以从它们对黑洞周围时空的影响中测量出来。通过这种方式，黑洞维护了能量守恒定律和角动量守恒定律。另一条基本定律，热力学第二定律，似乎被违反了。
热力学第二定律总结了熟悉的观察，即自然界中的大多数过程都是不可逆的：茶杯从桌子上掉下来摔碎了，但从来没有人见过碎片自己跳起来并组装成茶杯。热力学第二定律禁止这种逆过程。它指出，孤立物理系统的熵永远不会减少；最好的情况是，熵保持不变，通常情况下，熵会增加。这条定律是物理化学和工程学的核心；可以说，它是物理学之外影响最大的物理定律。
正如惠勒首先强调的那样，当物质消失在黑洞中时，它的熵就永远消失了，第二定律似乎被超越了，变得无关紧要。1970 年，德米特里奥斯·克里斯托多卢（当时是惠勒在普林斯顿大学的研究生）和剑桥大学的斯蒂芬·W·霍金独立证明，在各种过程中，例如黑洞合并，事件视界的总面积永远不会减少，这为解决这个难题提供了线索。与熵增加的趋势的类比使我在 1972 年提出，黑洞的熵与它的视界面积成正比 [见上图]。我推测，当物质落入黑洞时，黑洞熵的增加总是会补偿或过度补偿物质损失的熵。更一般地说，黑洞熵和黑洞外部的普通熵之和不会减少。这就是广义第二定律——简称 GSL。
GSL 已经通过了大量严格的（如果只是纯粹理论上的）测试。当一颗恒星坍缩形成黑洞时，黑洞熵大大超过了恒星的熵。1974 年，霍金证明黑洞会通过量子过程自发地辐射热辐射，现在称为霍金辐射 [参见斯蒂芬·W·霍金的《黑洞的量子力学》；《大众科学》，1977 年 1 月]。克里斯托多卢-霍金定理在这种现象面前失效了（黑洞的质量，因此它的视界面积，会减少），但 GSL 可以应对它：涌现的辐射的熵超过了黑洞熵的减少量，因此 GSL 得到了保留。1986 年，雪城大学的拉斐尔·D·索金利用视界在阻止黑洞内部的信息影响外部事务方面的作用，表明 GSL（或非常类似于它的东西）对于黑洞经历的任何可以想象的过程都必须有效。他深刻的论证清楚地表明，进入 GSL 的熵是计算到 X 层次的熵，无论该层次可能是哪个层次。
霍金的辐射过程使他能够确定黑洞熵与视界面积之间的比例常数：黑洞熵恰好是普朗克面积测量的事件视界面积的四分之一。（普朗克长度，约 1033 厘米，是与引力和量子力学相关的基本长度尺度。普朗克面积是它的平方。）即使从热力学角度来看，这也是一个巨大的熵量。直径为一厘米的黑洞的熵约为 1066 比特，大致等于边长为 100 亿公里的立方体水的热力学熵。
世界如全息图
GSL 允许我们设置任何孤立物理系统的信息容量的界限，这些限制是指所有结构层次上的信息，直到 X 层次。1980 年，我开始研究第一个这样的界限，称为通用熵界限，它限制了指定质量和指定大小可以携带多少熵 [参见对面页面的方框]。斯坦福大学的伦纳德·萨斯坎德在 1995 年设计了一个相关的想法，即全息界限。它限制了占用指定空间体积的物质和能量可以包含多少熵。
在关于全息界限的工作中，萨斯坎德考虑了任何近似球形的孤立质量，该质量本身不是黑洞，并且适合面积为 A 的封闭表面内部。如果质量可以坍缩成黑洞，那么该黑洞最终将具有小于 A 的视界面积。因此，黑洞熵小于 A/4。根据 GSL，系统的熵不会减少，因此质量的原始熵不可能大于 A/4。由此可见，边界面积为 A 的孤立物理系统的熵必然小于 A/4。如果质量没有自发坍缩呢？2000 年，我证明了一个微小的黑洞可以用来将系统转换为一个与萨斯坎德论证中的黑洞没有太大不同的黑洞。因此，界限与系统的构成或 X 层次的性质无关。它只取决于 GSL。
我们现在可以回答一些关于信息存储的最终限制的难以捉摸的问题。一个直径为一厘米的设备原则上可以容纳高达 1066 比特的信息——一个令人难以置信的量。可见宇宙包含至少 10100 比特的熵，原则上可以包装在一个直径为十分之一光年的球体内部。然而，估计宇宙的熵是一个难题，更大的数字，需要一个几乎与宇宙本身一样大的球体，是完全可能的。
但全息界限的另一个方面才真正令人惊讶。即，最大可能的熵取决于边界面积而不是体积。想象一下，我们正在堆积一大堆计算机存储芯片。晶体管的数量——总数据存储容量——随着堆的体积而增加。所有芯片的总热力学熵也是如此。然而，值得注意的是，堆占据的空间的理论最终信息容量仅随表面积增加。由于体积比表面积增加得更快，因此在某个时候，所有芯片的熵将超过全息界限。似乎 GSL 或我们关于熵和信息容量的常识观念必须失效。事实上，失效的是堆本身：它会在自身引力作用下坍缩，并在达到僵局之前形成黑洞。此后，每个额外的存储芯片都会以继续保持 GSL 的方式增加黑洞的质量和表面积。
如果全息原理（由荷兰乌得勒支大学的诺贝尔奖获得者杰拉德·特霍夫特在 1993 年提出，并由萨斯坎德阐述）是正确的，那么信息容量取决于表面积的这一令人惊讶的结果就有了自然的解释。在日常世界中，全息图是一种特殊的照片，当以正确的方式照明时，它可以生成完整的三维图像。描述三维场景的所有信息都编码到二维胶片上明暗区域的图案中，随时可以再生。全息原理认为，这种视觉魔术的类似物适用于占据三维区域的任何系统的完整物理描述：它提出，仅在区域的二维边界上定义的另一个物理理论完全描述了三维物理学。如果一个三维系统可以由仅在其二维边界上运行的物理理论完全描述，那么人们会期望系统的信息内容不超过边界上描述的信息内容。
宇宙描绘在其边界上
我们能否将全息原理应用于整个宇宙？真实的宇宙是一个四维系统：它有体积并在时间上延伸。如果我们宇宙的物理学是全息的，那么将存在另一组物理定律，在某处的时空三维边界上运行，这将等同于我们已知的四维物理学。我们尚不知道任何以这种方式工作的三维理论。事实上，我们应该使用哪个表面作为宇宙的边界？实现这些想法的一个步骤是研究比我们真实宇宙更简单的模型。
全息原理在起作用的一类具体示例涉及所谓的反德西特时空。最初的德西特时空是荷兰天文学家威廉·德西特在 1917 年首次获得的宇宙模型，作为爱因斯坦方程的解，包括称为宇宙常数的排斥力。德西特时空是空的，以加速的速度膨胀，并且非常高度对称。1997 年，研究遥远超新星爆发的天文学家得出结论，我们的宇宙现在以加速的方式膨胀，并且未来可能会越来越像德西特时空。现在，如果用吸引力常数代替排斥性宇宙常数，则德西特的解会变成反德西特时空，它也具有同样多的对称性。对于全息概念更重要的是，它具有一个边界，该边界位于无穷远处，并且非常像我们日常的时空。
利用反德西特时空，理论家们设计了一个全息原理在起作用的具体示例：超弦理论描述的在反德西特时空中运行的宇宙完全等同于在那个时空的边界上运行的量子场论 [见上方方框]。因此，反德西特宇宙中超弦理论的全部威严都描绘在宇宙的边界上。当时在哈佛大学的胡安·马尔达西那在 1997 年首次推测了这种关系，用于五维反德西特情况，后来由普林斯顿高等研究院的爱德华·威滕以及普林斯顿大学的史蒂文·S·古布瑟、伊戈尔·R·克莱巴诺夫和亚历山大·M·波利亚科夫在许多情况下证实了这一点。现在已知这种全息对应关系适用于具有各种维度的时空。
这个结果意味着两个表面上非常不同的理论——甚至不在相同维度的空间中起作用——是等效的。生活在这些宇宙之一中的生物将无法确定他们居住的是由弦理论描述的五维宇宙，还是由点粒子的量子场论描述的四维宇宙。（当然，他们的大脑结构可能会让他们对一种描述或另一种描述产生压倒性的常识性偏见，就像我们的大脑构建了一种我们宇宙具有三个空间维度的先天感知一样；参见对面页面的插图。）
全息等价性可以允许在四维边界时空中进行困难的计算，例如夸克和胶子的行为，以换取在高度对称的五维反德西特时空中进行的另一个更容易的计算。这种对应关系也反过来起作用。威滕已经证明，反德西特时空中的黑洞对应于在边界时空上运行的替代物理学中的热辐射。黑洞的熵——一个非常神秘的概念——等于辐射的熵，这非常平凡。
膨胀的宇宙
高度对称且空旷的五维反德西特宇宙与存在于四维空间中的我们的宇宙截然不同，我们的宇宙充满了物质和辐射，并且充满了剧烈的事件。即使我们用物质和辐射均匀分布的宇宙来近似我们的真实宇宙，我们得到的也不是反德西特宇宙，而是弗里德曼-罗伯逊-沃克宇宙。今天大多数宇宙学家都认同我们的宇宙类似于 FRW 宇宙，这是一个无限的、没有边界并且将无限期膨胀下去的宇宙。
这样的宇宙是否符合全息原理或全息界限？萨斯坎德基于坍缩成黑洞的论证在这里没有帮助。事实上，从黑洞推导出的全息界限必然会在均匀膨胀的宇宙中失效。均匀填充物质和辐射的区域的熵确实与其体积成正比。因此，足够大的区域将违反全息界限。
1999 年，当时在斯坦福大学的拉斐尔·布索提出了一个修改后的全息界限，此后发现该界限甚至在我们在前面讨论的界限无法应用的情况下也有效。布索的公式从任何合适的二维表面开始；它可以像球体一样闭合，也可以像一张纸一样打开。然后，人们想象从表面一侧的所有位置同时垂直发出短暂的光脉冲。唯一的要求是假想光线最初是会聚的。例如，从球形外壳内表面发出的光满足该要求。然后，人们会考虑这些假想光线穿过的物质和辐射的熵，直到它们开始交叉的点。布索推测，这种熵不能超过初始表面所代表的熵——其面积的四分之一，以普朗克面积测量。这是一种不同于原始全息界限中使用的熵计算方式。布索的界限不是指一个区域在某个时间的熵，而是指各种时间的地点的熵之和：那些被表面发出的光脉冲照亮的地点的熵之和。
布索的界限包含了其他熵界限，同时避免了它们的局限性。对于任何不快速演化且引力场不强的孤立系统，通用熵界限和特霍夫特-萨斯坎德形式的全息界限都可以从布索的界限中推导出来。当这些条件被超越时——例如对于已经在一个黑洞内部的坍缩物质球体——这些界限最终会失效，而布索的界限继续成立。布索还表明，他的策略可用于定位可以设置世界全息图的二维表面。
革命的先兆
研究人员已经提出了许多其他熵界限。全息主题的变体激增清楚地表明，该主题尚未达到物理定律的地位。但是，尽管全息思维方式尚未完全理解，但它似乎将继续存在。随之而来的是一种认识，即 50 年来流行的基本信念，即场论是物理学的最终语言，必须让路。场（例如电磁场）从一个点到另一个点连续变化，因此它们描述了无限的自由度。超弦理论也包含了无限数量的自由度。全息术将边界表面内部可能存在的自由度数量限制为有限数量；具有无限性的场论不可能是最终的说法。此外，即使无限性得到了驯服，信息对表面积的神秘依赖性也必须以某种方式得到容纳。
全息术可能是更好理论的指南。基本理论是什么样的？涉及全息术的推理链向一些人（尤其是安大略省滑铁卢圆周理论物理研究所的李·斯莫林）暗示，这样的最终理论必须与物理过程之间的信息交换有关，而不是与场有关，甚至与时空无关。如果是这样，那么将信息视为构成世界物质的愿景将找到一个有价值的体现。
作者
雅各布·D·贝肯斯坦 为黑洞热力学的基础以及信息与引力之间联系的其他方面做出了贡献。他是耶路撒冷希伯来大学的波拉克理论物理学教授，以色列科学院和人文学院院士，以及罗斯柴尔德奖和以色列奖的获得者。贝肯斯坦将这篇文章献给约翰·阿奇博尔德·惠勒（他 30 年前的博士生导师）。惠勒属于路德维希·玻尔兹曼学生的第三代：惠勒的博士导师卡尔·赫茨费尔德是玻尔兹曼的学生弗里德里希·哈森尔的弟子。