问问任何人物理世界是由什么构成的，你很可能会被告知是物质和能量。然而，如果我们从工程学、生物学和物理学中学到什么的话，那就是信息同样是至关重要的成分。汽车工厂的机器人配备了金属和塑料，但如果没有大量的指令告诉它将哪个零件焊接到哪里等等，就什么有用的东西也制造不出来。你身体细胞中的核糖体配备了氨基酸构建块，并由ATP转化为ADP释放的能量提供动力，但如果没有来自细胞核中DNA的信息传递给它，它就无法合成任何蛋白质。同样，一个世纪以来物理学的发展告诉我们，信息是物理系统和过程中至关重要的参与者。事实上，普林斯顿大学的约翰·A·惠勒（John A. Wheeler）发起了一个当前的趋势，即将物理世界视为由信息构成的，而能量和物质则是次要的。
这种观点引发了对古老问题的新审视。硬盘驱动器等设备的信息存储容量一直在突飞猛进地增长。这种进步何时会停止？一个重量小于一克，体积小于一立方厘米（大约相当于计算机芯片大小）的设备，其最终信息容量是多少？描述整个宇宙需要多少信息？这种描述能装进计算机的内存吗？我们能否像威廉·布莱克（William Blake）令人难忘地写道的那样，从一粒沙子中看到一个世界，或者这种想法仅仅是诗意的许可？
值得注意的是，理论物理学的最新进展回答了其中的一些问题，而这些答案可能是最终现实理论的重要线索。通过研究黑洞的神秘特性，物理学家们推断出了空间区域或物质和能量的数量可以容纳多少信息的绝对限制。相关的结果表明，我们感知到的具有三个空间维度的宇宙，可能实际上是被写在一个二维表面上的，就像全息图一样。那么，我们日常对世界的三维感知要么是一种深刻的幻觉，要么仅仅是看待现实的两种替代方式之一。一粒沙子可能无法包含我们的世界，但一块平板屏幕却有可能。
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两种熵的故事
形式信息论起源于美国应用数学家克劳德·E·香农（Claude E. Shannon）在1948年发表的开创性论文，他介绍了当今最广泛使用的信息内容度量：熵。长期以来，熵一直是热力学的核心概念，热力学是物理学中处理热的分支。热力学熵通常被描述为物理系统中的无序程度。1877年，奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）更精确地用组成一块物质的粒子可能处于的不同微观状态的数量来描述它，同时仍然看起来像同一块宏观物质。例如，对于你周围房间里的空气，人们会计算出单个气体分子可能在房间中分布的所有方式以及它们可能运动的所有方式。
当香农试图找到一种量化信息（例如，消息中包含的信息）的方法时，逻辑引导他得出了与玻尔兹曼公式形式相同的公式。消息的香农熵是编码消息所需的二进制数字或比特的数量。香农熵并没有启发我们了解信息的价值，信息的价值高度依赖于上下文。然而，作为信息量的客观衡量标准，它在科学和技术领域非常有用。例如，每一种现代通信设备的设计——从蜂窝电话到调制解调器再到光盘播放器——都依赖于香农熵。
热力学熵和香农熵在概念上是等价的：玻尔兹曼熵计数的排列数量反映了实现任何特定排列所需的香农信息量。然而，这两种熵有两个显著的区别。首先，化学家或制冷工程师使用的热力学熵以能量除以温度为单位表示，而通信工程师使用的香农熵以比特为单位，本质上是无量纲的。这种差异仅仅是一个约定俗成的问题。
然而，即使简化为通用单位，两种熵的典型值在量级上差异也很大。例如，一个携带千兆字节数据的硅微芯片的香农熵约为1010比特（一个字节是八比特），远小于芯片的热力学熵，后者在室温下约为1023比特。这种差异的出现是因为熵是针对不同的自由度计算的。自由度是任何可以变化的量，例如指定粒子位置的坐标或其速度的一个分量。芯片的香农熵只关心蚀刻在硅晶体中的每个微小晶体管的总体状态——晶体管是开还是关；它是0还是1——单个二进制自由度。
相比之下，热力学熵取决于构成每个晶体管的所有数十亿个原子（及其游离电子）的状态。随着小型化越来越接近每个原子将为我们存储一位信息的那一天，最先进的微芯片的有用香农熵在量级上将更接近其材料的热力学熵。当针对相同的自由度计算两种熵时，它们是相等的。
什么是最终的自由度？毕竟，原子是由电子和原子核组成的，原子核是由质子和中子组成的，而质子和中子又是由夸克组成的。今天的许多物理学家认为电子和夸克是超弦的激发态，他们假设超弦是最基本的实体。但是，一个世纪以来物理学启示的变迁警告我们不要教条。我们宇宙中的结构层次可能比今天物理学梦想的还要多。
如果不了解物质的最终组成部分或最深层次的结构（我将其称为X层），就无法计算出一块物质的最终信息容量，或者等价地，它的真实热力学熵。（这种模糊性在分析实际热力学时不会造成问题，例如汽车发动机的热力学，因为原子内部的夸克可以被忽略——它们在发动机中相对温和的条件下不会改变状态。）鉴于小型化的惊人进展，人们可以开玩笑地设想有一天夸克将用于存储信息，也许每个夸克存储一位。那么，我们的一个厘米立方体中可以容纳多少信息？如果我们利用超弦甚至更深层次、尚未梦想到的层次，又会容纳多少信息？令人惊讶的是，过去三十年引力物理学的发展为这些看似难以捉摸的问题提供了一些明确的答案。
黑洞热力学
这些发展的中心角色是黑洞。黑洞是广义相对论的推论，广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）于1915年首次发表的几何引力理论。在这个理论中，引力源于时空曲率，这使得物体的运动仿佛受到力的拉动。反过来，曲率是由物质和能量的存在引起的。根据爱因斯坦方程，足够密集的物质或能量集中会使时空弯曲到非常极端的程度，以至于它会撕裂，形成黑洞。相对论定律禁止任何进入黑洞的东西再次出来，至少在物理学的经典（非量子）描述中是这样。不归路点，称为黑洞的事件视界，至关重要。在最简单的情况下，视界是一个球体，质量越大的黑洞，其表面积越大。
不可能确定黑洞内部是什么。没有详细的信息可以穿过视界并逃逸到外面的世界。然而，一块物质在永远消失在黑洞中时，确实留下了一些痕迹。它的能量（根据爱因斯坦的E = mc2，我们将任何质量都算作能量）永久地反映在黑洞质量的增量中。如果物质在绕洞旋转时被捕获，则其相关的角动量将添加到黑洞的角动量中。黑洞的质量和角动量都可以从它们对黑洞周围时空的影响中测量出来。通过这种方式，能量守恒和角动量守恒定律得到了黑洞的维护。另一个基本定律，热力学第二定律，似乎被违反了。
热力学第二定律总结了自然界中最常见的过程是不可逆的这一常见观察：茶杯从桌子上掉下来摔碎了，但没有人见过碎片自动跳起来并组装成茶杯。热力学第二定律禁止这种逆过程。它指出，孤立物理系统的熵永远不会减少；最好的情况是，熵保持不变，通常情况下熵会增加。这条定律是物理化学和工程学的核心；它可以说是物理学以外影响最大的物理定律。
正如惠勒（Wheeler）最初强调的那样，当物质消失在黑洞中时，它的熵也永远消失了，第二定律似乎被超越了，变得无关紧要。1970年，当时还是惠勒在普林斯顿的研究生德米特里奥斯·克里斯托多卢（Demetrious Christodoulou）和剑桥大学的斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）分别证明，在各种过程中，例如黑洞合并，事件视界的总面积永远不会减少，这为解决这个难题提供了线索。与熵增加的趋势的类比使我在1972年提出，黑洞的熵与视界的面积成正比[参见本页插图]。我推测，当物质落入黑洞时，黑洞熵的增加总是补偿或过度补偿物质的损失熵。更一般地说，黑洞熵和黑洞外部的普通熵之和不会减少。这就是广义第二定律——简称GSL。
GSL已经通过了大量的严格测试，即使这些测试纯粹是理论上的。当一颗恒星坍缩形成黑洞时，黑洞熵大大超过了恒星的熵。1974年，霍金证明黑洞通过量子过程自发地辐射热辐射，现在称为霍金辐射。克里斯托多卢-霍金定理在这种现象面前失效（黑洞的质量，因此其视界面积，会减少），但GSL可以应对它：新兴辐射的熵超过了黑洞熵的减少量，因此GSL得以保留。1986年，雪城大学的拉斐尔·D·索金（Rafael D. Sorkin）利用视界在阻止黑洞内部信息影响外部事务方面的作用，表明GSL（或非常类似于它的东西）对于黑洞经历的任何可以想象的过程都必须有效。他深刻的论点清楚地表明，进入GSL的熵是计算到X层的熵，无论X层可能是什么。
霍金的辐射过程使他能够确定黑洞熵和视界面积之间的比例常数：黑洞熵恰好是事件视界面积的四分之一，以普朗克面积为单位测量。（普朗克长度约为1033厘米，是与引力和量子力学相关的基本长度尺度。普朗克面积是它的平方。）即使在热力学方面，这也是一个巨大的熵量。直径为一厘米的黑洞的熵约为1066比特，大致等于边长为100亿公里的立方体水的热力学熵。
世界如全息图
GSL允许我们设定任何孤立物理系统的信息容量的界限，这些界限指的是所有结构层次上的信息，一直到X层。1980年，我开始研究第一个这样的界限，称为通用熵界限，它限制了特定质量和特定大小的物质可以携带多少熵[参见左侧方框]。诺贝尔奖获得者，荷兰乌得勒支大学的杰拉德·特·胡夫特（Gerard t Hooft）在1993年预示了一个相关的想法，即全息界限，并由斯坦福大学的伦纳德·萨斯坎德（Leonard Susskind）在1995年发展起来。它限制了占据特定空间体积的物质和能量可以包含多少熵。
在萨斯坎德关于全息界限的工作中，他考虑了任何近似球形的孤立质量，该质量本身不是黑洞，并且可以装入面积为A的封闭表面内。如果该质量可以坍缩成黑洞，则该黑洞最终将具有小于A的视界面积。因此，黑洞熵小于A/4。根据GSL，系统的熵不能减少，因此质量的原始熵不可能大于A/4。由此可见，边界面积为A的孤立物理系统的熵必然小于A/4。如果质量不自发坍缩怎么办？2000年，我表明，可以使用一个微小的黑洞将系统转换为一个与萨斯坎德论证中的黑洞没有太大区别的黑洞。因此，该界限独立于系统的构成或X层的性质。它只取决于GSL。
我们现在可以回答一些关于信息存储的最终限制的难以捉摸的问题。原则上，一个直径为一厘米的设备最多可以容纳1066比特——这是一个令人难以置信的量。可见宇宙包含至少10100比特的熵，原则上可以装在一个直径为十分之一光年的球体内部。然而，估计宇宙的熵是一个难题，更大的数字，需要一个几乎与宇宙本身一样大的球体，是完全合理的。
但全息界限的另一个方面才真正令人震惊。也就是说，最大可能的熵取决于边界面积而不是体积。想象一下，我们正在堆积一大堆计算机内存芯片。晶体管的数量——总数据存储容量——随着堆的体积而增加。所有芯片的总热力学熵也是如此。然而，值得注意的是，堆所占据的空间的理论最终信息容量仅随表面积增加而增加。由于体积比表面积增加得更快，因此在某个时候，所有芯片的熵将超过全息界限。似乎GSL或我们关于熵和信息容量的常识性想法必然会失效。事实上，失效的是堆本身：它会在达到僵局之前在自身引力作用下坍缩并形成黑洞。此后，每个额外的内存芯片都会以一种将继续保持GSL的方式增加黑洞的质量和表面积。
如果全息原理（由特·胡夫特提出并由萨斯坎德阐述）是正确的，那么信息容量取决于表面积这一令人惊讶的结果就有了自然的解释。在日常世界中，全息图是一种特殊的照片，当以正确的方式照射时，它可以生成完整的3D图像。描述3D场景的所有信息都编码在二维胶片上的明暗区域图案中，随时可以再生。全息原理认为，这种视觉魔力的类似物适用于占据3D区域的任何系统的完整物理描述：它提出，仅在区域的2D边界上定义的另一个物理理论可以完全描述3D物理学。如果一个3D系统可以由完全在其2D边界上运行的物理理论完全描述，那么人们会期望系统的信息内容不超过边界上描述的信息内容。
绘制在边界上的宇宙
我们能否将全息原理应用于整个宇宙？真实的宇宙是一个4D系统：它有体积并且在时间上延伸。如果我们宇宙的物理学是全息的，那么在某个地方时空的3D边界上运行的另一组物理定律将与我们已知的4D物理学等效。我们尚不知道任何以这种方式工作的3D理论。实际上，我们应该使用哪个表面作为宇宙的边界？实现这些想法的一个步骤是研究比我们真实宇宙更简单的模型。
全息原理工作的一个具体例子类别涉及所谓的反德西特时空。最初的德西特时空是由荷兰天文学家威廉·德西特（Willem de Sitter）于1917年首次获得的宇宙模型，作为爱因斯坦方程的解，包括被称为宇宙常数的排斥力。德西特时空是空的，以加速的方式膨胀，并且具有很高的对称性。1997年，研究遥远超新星爆炸的天文学家得出结论，我们的宇宙现在以加速的方式膨胀，并且未来可能会越来越像德西特时空。现在，如果将排斥宇宙常数替换为吸引宇宙常数，德西特的解就会变成反德西特时空，它同样具有对称性。对于全息概念更重要的是，它具有一个边界，该边界位于无穷远处，并且非常像我们日常的时空。
利用反德西特时空，理论家们设计了一个全息原理工作的具体例子：超弦理论描述的在反德西特时空中运行的宇宙完全等同于在该时空边界上运行的量子场论[见下方方框]。因此，反德西特宇宙中超弦理论的全部庄严都绘制在宇宙的边界上。当时在哈佛大学的胡安·马尔达西那（Juan Maldacena）在1997年首次推测了5D反德西特情况的这种关系，后来普林斯顿高等研究院的爱德华·威滕（Edward Witten）以及普林斯顿大学的史蒂文·S·古布瑟（Steven S. Gubser）、伊戈尔·R·克莱巴诺夫（Igor R. Klebanov）和亚历山大·M·波利亚科夫（Alexander M. Polyakov）在许多情况下证实了这一点。现在已知具有各种维度的时空的全息对应关系的例子。
这个结果意味着两个表面上非常不同的理论——甚至不在相同维度的空间中起作用——是等效的。生活在这些宇宙之一中的生物将无法确定他们居住的是由弦理论描述的5D宇宙，还是由点粒子的量子场论描述的4D宇宙。（当然，他们大脑的结构可能会给他们一个压倒性的常识性偏见，倾向于一种描述或另一种描述，就像我们的大脑构建了一种天生的感知，即我们的宇宙具有三个空间维度一样；参见对页上的插图。）
全息等效性可以允许在4D边界时空中进行困难的计算，例如夸克和胶子的行为，以便与另一个更容易的计算在高度对称的5D反德西特时空中进行交换。对应关系也以另一种方式起作用。威滕已经表明，反德西特时空中的黑洞对应于在边界时空中运行的替代物理学中的热辐射。黑洞的熵——一个深奥的概念——等于辐射的熵，后者非常普通。
膨胀的宇宙
高度对称且空旷的5D反德西特宇宙与我们存在于4D中的宇宙截然不同，后者充满了物质和辐射，并且充满了剧烈事件。即使我们用物质和辐射均匀分布的宇宙来近似我们的真实宇宙，我们得到的也不是反德西特宇宙，而是弗里德曼-罗伯逊-沃克宇宙。今天的大多数宇宙学家都同意，我们的宇宙类似于FRW宇宙，这是一个无限的、没有边界并将无限期膨胀下去的宇宙。
这样的宇宙是否符合全息原理或全息界限？萨斯坎德基于坍缩成黑洞的论证在这里无济于事。事实上，从黑洞推导出的全息界限必须在均匀膨胀的宇宙中失效。均匀填充物质和辐射的区域的熵确实与其体积成正比。因此，足够大的区域将违反全息界限。
1999年，当时在斯坦福大学的拉斐尔·布索（Raphael Bousso）提出了一个修改后的全息界限，此后发现即使在我们之前讨论的界限无法应用的情况下也有效。布索的公式从任何合适的2D表面开始；它可以像球体一样闭合，也可以像一张纸一样张开。然后，人们想象从表面一侧的所有位置同时垂直地发出短暂的光爆发。唯一的要求是假想光线最初是会聚的。例如，从球形壳内表面发出的光满足该要求。然后，人们考虑这些假想光线穿过的物质和辐射的熵，直到它们开始交叉的点。布索推测，这种熵不能超过初始表面所代表的熵——其面积的四分之一，以普朗克面积为单位测量。这是一种与原始全息界限中使用的不同的熵计算方法。布索的界限不是指一个区域在某个时间的熵，而是指各种时间的局部熵之和：那些被表面光爆发照亮的局部熵。
布索的界限包含了其他熵界限，同时避免了它们的局限性。对于任何不快速演化且引力场不强的孤立系统，通用熵界限和胡夫特-萨斯坎德形式的全息界限都可以从布索的界限中推导出来。当这些条件被超越时——例如对于已经位于黑洞内部的坍缩物质球体——这些界限最终会失效，而布索的界限继续有效。布索还表明，他的策略可以用于定位可以设置世界全息图的2D表面。
革命的预兆
研究人员已经提出了许多其他熵界限。全息主题变体的扩散清楚地表明，该主题尚未达到物理定律的地位。但是，尽管全息思维方式尚未完全理解，但它似乎将继续存在。随之而来的是一种认识，即在过去50年中流行的基本信念，即场论是物理学的最终语言，必须让位。场，例如电磁场，从点到点连续变化，因此它们描述了无限的自由度。超弦理论也包含了无限数量的自由度。全息术将可以存在于边界表面内部的自由度数量限制为有限数量；具有无限性的场论不可能是最终的故事。此外，即使无限性被驯服，信息对表面积的神秘依赖性也必须以某种方式得到适应。
全息术可能是更好理论的指南。基本理论是什么样的？涉及全息术的推理链条向一些人（尤其是安大略省滑铁卢市的珀金理论物理研究所的李·斯莫林（Lee Smolin））表明，这样的最终理论必须关注的不是场，甚至不是时空，而是物理过程之间的信息交换。如果是这样，那么信息是构成世界的东西的愿景将找到一个有价值的体现。
作者
雅各布·D·贝肯斯坦（JACOB D. BEKENSTEIN）为黑洞热力学的基础以及信息和引力之间联系的其他方面做出了贡献。他是耶路撒冷希伯来大学的波拉克理论物理学教授，以色列科学院和人文学院院士，以及罗斯柴尔德奖和以色列奖的获得者。贝肯斯坦将本文献给约翰·阿奇博尔德·惠勒（John Archibald Wheeler）（他30年前的博士生导师）。惠勒属于路德维希·玻尔兹曼学生的第三代：惠勒的博士生导师卡尔·赫茨费尔德（Karl Herzfeld）是玻尔兹曼的学生弗里德里希·哈森诺尔（Friedrich Hasenhrl）的学生。