在探索宇宙的过程中，数学家们偶尔会遇到漏洞：一些陈述使用九个公理（统称为“ZFC”）既无法证明也无法证伪，而这些公理是数学的基本法则。大多数数学家只是忽略了这些漏洞，因为它们存在于抽象的领域，很少有实际或科学的影响。但是对于数学逻辑基础的管理者来说，它们的存在引发了对整个事业基础的担忧。
“如果我使用的基本概念存在问题，我怎么能在任何领域继续证明定理？”哈佛大学的哲学教授、专门研究数理逻辑的彼得·科尔纳问道。
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最主要的漏洞是连续统假设，这是一个关于无穷的可能大小的140年历史的陈述。尽管它似乎难以理解，但无限也有多种度量：例如，数轴上的点（统称为“连续统”）比计数数字更多。在连续统之外，还有更大的无穷大——一个永无止境的、越来越庞大的、但都是无尽的实体序列。连续统假设断言，在最小的无穷大——计数数字的集合——和它所断言的第二小的无穷大——连续统之间，不存在无穷大。数学逻辑学家库尔特·哥德尔在1947年写道，“它必须是真或假，而它在今天已知的公理中不可判定的事实只能意味着这些公理并不包含对现实的完整描述。”
为了找到一个更完整的公理系统，可以解决无穷的问题，并同时填补数学中的其他许多漏洞，数十年的探索已经来到了一个十字路口。在科尔纳最近在哈佛组织的一次会议上，学者们基本同意，ZFC的两个主要补充竞争者是：强制公理和内部模型公理“V=最终L”。
科尔纳说：“如果强制公理是正确的，那么连续统假设就是错误的。如果内部模型公理是正确的，那么连续统假设就是正确的。您浏览一下其他领域的一系列问题，强制公理会以一种方式回答这些问题，而最终L会以另一种方式回答。”
据研究人员称，在候选者之间做出选择，归根结底是关于逻辑公理的目的和数学本身的本质的问题。公理应该是有助于产生最纯粹的数学宇宙的真理的种子吗？如果是这样，V=最终L可能最有希望。或者，目的是找到最具成果的数学发现种子，这个标准似乎更倾向于强制公理？康奈尔大学的数学教授贾斯汀·摩尔说：“双方对目标是什么的看法有些不同。”
像ZFC这样的公理系统提供了管理称为“集合”的对象集合的规则，这些集合是数学宇宙的构建基石。正如ZFC现在仲裁数学真理一样，在规则手册中添加一个额外的公理将有助于塑造该领域的未来，特别是它对无穷的看法。但是，与大多数ZFC公理不同，新的公理“不是不言自明的，或者至少在我们目前的知识阶段不是不言自明的，因此我们面临着更加困难的任务，”多伦多大学和巴黎法国国家科学研究中心的数学家斯特沃·托多尔切维奇说。
V=最终L的支持者表示，在整数和连续统之间建立一个不存在的无穷大，有望给无穷集合的混乱带来秩序，而无穷集合的种类是难以理解的，无穷无尽的。但是，该公理可能对传统数学分支的影响最小。
加州大学伯克利分校的数学家、V=最终L的架构师、也是最杰出的在世集合论者之一休·伍丁说：“集合论是理解无穷的。”伍丁认为，与大多数数学相关的熟悉的数字“在集合的宇宙中是微不足道的一部分。”
同时，通过添加一个新的无穷大小，强制公理认为连续统假设是错误的，这也会在其他方向上扩展数学的边界。摩尔说，它们是常规数学家“实际上可以在该领域中使用的工具”。“对我来说，这最终应该是[数学]基础应该做的事情。”
对V=最终L研究的新进展和强制公理（特别是以数学家唐纳德·马丁命名的“马丁最大值”）的新用途，激发了关于采用哪个公理的辩论。并且，还有第三种观点不同意辩论的前提。根据一些理论家的观点，存在无数个数学宇宙，有些宇宙中连续统假设为真，而另一些宇宙中为假，但所有宇宙都同样值得探索。同时，“有一些怀疑论者，”科尔纳说，“出于哲学原因，他们认为集合论和更高的无穷大甚至没有任何意义。”
无穷悖论
几乎从数学领域开始以来，无穷就一直在数学中引起争议。争议并非来自潜在无穷的概念——数轴承诺永远延续下去——而是来自无穷作为实际、完整、可操作的对象的概念。
宾夕法尼亚州立大学的数学家和逻辑学家斯蒂芬·辛普森问道：“现实世界中存在哪些真正无限的对象？”辛普森采用亚里士多德最初提出的观点，认为实际的无穷并不真正存在，因此不应轻易地假设它存在于数学宇宙中。他正在努力让数学摆脱实际的无穷，方法是表明可以使用潜在无穷的概念来证明绝大多数定理。“但是，潜在无穷现在几乎被遗忘了，”辛普森说。“在ZFC集合论的思维模式中，人们往往甚至不记得这种区别。他们只是认为无穷意味着实际的无穷，这就是全部。”
19世纪后期，德国数学家格奥尔格·康托将无穷“打包”并出售给数学界。康托发明了一个处理集合的数学分支——集合是元素的集合，范围从空集（相当于数字零）到无穷。他的“集合论”是一种描述数学对象的非常有用的语言，在几十年内，它成为了该领域的通用语言。一个由九项规则组成的列表，称为带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论，或ZFC，在1920年代建立并被广泛采用。翻译成简单的英语，其中一个公理说，如果两个集合包含相同的元素，则它们是相等的。另一个公理只是断言无穷集合存在。
假设实际的无穷大会导致令人不安的后果。例如，康托证明，偶数的无穷集合{2,4,6,...}可以与所有计数数字{1,2,3,...}“一一对应”，这表明偶数的数量与奇数和偶数的数量一样多。
更令人震惊的是，他于1873年证明，实数的连续统（例如0.00001、2.568023489、pi等）是“不可数的”：实数与计数数字之间不存在一一对应的关系，因为对于任何编号的实数列表，总有可能提出一个不在列表中的实数。实数和计数数字的无穷集合具有不同的大小，或者用康托的术语来说，具有不同的“基数”。实际上，他发现存在无穷大的基数序列，每个新的无穷大都由前面无穷集合的幂集或所有子集的集合组成。
一些数学家鄙视这种无穷大混乱。康托的一位同事称它们为“严重的疾病”；另一位同事称他为“青年的腐败者”。但是，根据集合论的逻辑，这是真的。
康托想知道两个最小的基数。“在某种意义上，这是您可以提出的最基本的问题，”伍丁说。“在这两者之间是否存在无穷大，还是实数的无穷大是计数数字的无穷大之后的第一个无穷大？”
所有明显的中间大小无穷大的候选者都失败了。有理数（例如½的整数比率）是可数的，因此与计数数字具有相同的基数。并且，连续统的任何一部分（例如0到1之间）的实数与整个集合中的实数一样多。康托猜测，在可数集合和连续统之间不存在无穷大。但是他无法使用集合论的公理来证明这个“连续统假设”。其他人也无法证明。
然后，在1931年，刚在维也纳大学完成博士学位的哥德尔取得了惊人的发现。凭借一系列证明，这位25岁的哥德尔表明，像ZFC这样可指定但又足够复杂的公理系统永远不可能同时保持一致性和完整性。证明其公理是一致的（即，它们不会导致矛盾）需要一个不在列表中的附加公理。而要证明ZFC加上该公理是一致的，还需要另一个公理。摩尔说：“哥德尔的不完备性定理告诉我们，我们永远不可能抓住自己的尾巴。”
ZFC 的不完备性意味着其公理产生的数学宇宙不可避免地存在漏洞。“总会有一些[陈述]无法通过这些原则来判定，”伍丁说道。很快就清楚地知道，连续统假设（关于无穷大“你能提出的最基本的问题”）就是这样一个漏洞。哥德尔本人证明了连续统假设的真伪与 ZFC 是一致的，而美国数学家保罗·科恩则证明了相反的情况，即该假设的否定也与 ZFC 一致。他们共同的结果表明，连续统假设实际上独立于这些公理。需要超越 ZFC 的东西来证明或反驳它。
由于该假设悬而未决，许多关于基数和无穷大的其他性质也仍然不确定。对于像所罗门·费弗曼这样的集合论怀疑论者（他是斯坦福大学数学和哲学荣誉退休教授）来说，这并不重要。“它们根本与日常数学无关，”费弗曼说。
但对于那些每天在被称为“V”的集合宇宙中游荡的人来说，那里几乎所有东西都是无穷的，这些问题显得非常重要。“我们对集合宇宙没有清晰的认识，”伍丁说。“几乎你写下的任何关于集合的问题都无法解决。这不是一个令人满意的状况。”
集合宇宙
哥德尔和科恩的共同工作导致了集合论目前的十字路口，他们恰好是关于未来发展方向的两种思想流派的创始人。
哥德尔构想了一个名为“L”的，小而可构造的模型宇宙，它通过从空集开始并迭代来构建越来越大的集合。在由此产生的集合宇宙中，连续统假设为真：在整数和连续统之间没有无穷集。“与集合宇宙的混乱不同，你确实可以分析 L，”伍丁说。这使得公理“V=L”，或集合宇宙 V 等于“内部模型”L 的说法，具有吸引力。据伍丁说，只有一个问题：“它严重限制了无穷大的性质。”
L 太小，无法包含“大基数”，这些无穷集以永无止境的层次结构上升，其级别命名为“不可达”、“可测”、“伍丁”、“超紧”、“巨大”等等，总共构成了无穷大的嘈杂交响曲。这些大基数在 20 世纪被周期性地发现，无法用 ZFC 证明其存在，而必须用额外的“大基数公理”来假设。但在过去的几十年里，它们已被证明会产生丰富而有趣的数学。“当你攀登大基数层次结构时，你会得到越来越重要的结果，”科尔纳说。
为了保持这种无穷大的交响曲，集合论家几十年来一直致力于寻找一个像 L 一样纯净且可分析，但又包含大基数的内部模型。然而，构建一个包含每种类型的大基数的集合宇宙需要一套独特的工具包。对于每个更大、更具包容性的内部模型，“你必须做一些完全不同的事情，”科尔纳说。“由于大基数层次结构只是永无止境地延续下去，看起来我们也必须永远延续下去，构建与大基数层次结构中的过渡点一样多的新内部模型。这让人感到绝望，因为，你知道，生命是短暂的。”
由于没有最大的大基数，似乎就不可能存在包含所有大基数的最终 L，即内部模型。“然后发生了一些非常令人惊讶的事情，”伍丁说。在2010 年发表的工作中，他发现了层次结构中的一个突破点。
“伍丁表明，如果你能达到超紧的级别，那么就会出现溢出，你的内部模型也会接收到所有更大的大基数，”科尔纳解释说。“这是一种景观转变。它为这种方法可以奏效提供了新的希望。你所要做的就是击中一个超紧的，然后你就拥有了一切。”
尽管尚未构建，但最终 L 是指包含超紧数，因此包含所有大基数的假设内部模型的名称。公理 V=最终 L 断言这个内部模型是集合宇宙。
伍丁将于一月份从伯克利搬到哈佛，他最近完成了最终 L 猜想的四阶段证明的第一部分，现在正在与一小群同事审查它。他说他对证明的“第二阶段非常乐观”，并希望在明年夏天之前完成。“这一切都归结为这个猜想，如果一个人能够证明它，就可以证明最终 L 的存在，并验证它与我们今天所考虑的所有无穷大的概念兼容，并且与我们将来可能想到的概念也兼容，”他说。“如果最终 L 猜想为真，那么就有一个绝对令人信服的案例表明 V 就是最终 L。”
扩展宇宙
即使最终 L 存在，可以被构建，并且像伍丁希望的那样辉煌，它也不是每个人的理想宇宙。“在集合论的大部分历史中，都存在一种相反的冲动，它告诉我们宇宙应该尽可能丰富，而不是尽可能小，”加利福尼亚大学欧文分校的数学哲学家，以及 2011 年出版的《捍卫公理》一书的作者佩内洛普·麦迪说。“这就是激发迫近公理的原因。”
为了扩展 ZFC、解决连续统假设并更好地理解无穷大，迫近公理的拥护者们相信一种称为迫近的方法，该方法最初由科恩构想。如果说内部模型是从头开始构建集合宇宙，那么迫近则向各个方向扩展它。
该方法的主要专家之一托多尔切维奇将迫近比作复数的发明，复数是具有额外维度的实数。但他不是从实数开始，“而是从集合宇宙开始，然后将其扩展以形成一个更大、更新的宇宙，”他说。在通过迫近创建的扩展宇宙中，实数的类别比 ZFC 定义的原始宇宙更大。这意味着 ZFC 的实数构成的无穷集比完整的连续统小。“通过这种方式，你否定了连续统假设，”托多尔切维奇说。
一个名为“马丁最大值”的迫近公理，是 20 世纪 80 年代发现的，它将宇宙扩展到尽可能远的地方。它是 V=最终 L 最强大的竞争对手，尽管远不如它漂亮。“从哲学的角度来看，要证明这个公理的合理性要困难得多，”托多尔切维奇说。“它只能从它对其他数学的影响方面来证明其合理性。”
这就是迫近公理的闪光之处。当 V=最终 L 忙于建造一座难以想象的无穷大城堡时，迫近公理填补了日常数学中的一些棘手漏洞。托多尔切维奇、摩尔、卡洛斯·马丁内斯-拉内罗和其他人在过去几年中所做的工作表明，他们赋予许多数学结构以很好的特性，使它们更容易使用和理解。
对于摩尔来说，这些类型的结果使迫近公理相对于内部模型具有优势。“最终，这个决定必须基于：‘它对数学有什么作用？’”他说。“除了它自身的内在趣味之外，它能产生什么好的数学？”
“我的回答是，马丁最大值在理解经典数学中的结构方面肯定很棒，”伍丁说。“对我来说，这并不是集合论的意义所在。目前还不清楚马丁最大值将如何更好地理解无穷大。”
在最近的哈佛会议上，来自两个阵营的研究人员展示了关于内部模型和迫近公理的新工作，并讨论了它们的相对优点。他们说，这种反复的讨论可能会继续下去，直到其中一个候选者被淘汰。例如，最终 L 可能不存在。或者，马丁最大值可能没有其支持者希望的那么有益。
正如许多数学家指出的那样，这场辩论本身就揭示了人类对无穷大概念缺乏直觉。“在你进一步研究连续统假设的后果之前，你对它是真还是假没有任何真正的直觉，”摩尔说。
数学以其客观性而闻名。但是，如果没有可以作为抽象基础的真实无穷对象，数学真理在某种程度上就变成了一个观点问题，这就是辛普森主张将实际无穷大排除在数学之外的论点。V=最终 L 和马丁最大值之间的选择也许不是一个真假问题，而更像是询问哪个更可爱，是英国花园还是森林？
“这是一种个人感受，”摩尔说。
然而，数学领域以其统一性和凝聚力而闻名。正如 ZFC 在 20 世纪初开始主导其他基础框架一样，牢固地将实际无穷大嵌入到数学思维和实践中，很可能只有一项新的公理来决定无穷大的更完整本质才能幸存下来。科尔纳认为，“其中一方必须是错误的。”
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