放松点。直到最近，在数学存在的黑暗角落里，可能一直潜伏着一个非常奇怪的 254 维、510 维或 1,022 维的球体。* 事实上，就你所知，当访问维度数为 2k - 2 的任何空间时，你可能都不得不担心奇怪的球体。
现在不用担心了。“今晚我们可以睡得更安稳了，”加州大学河滨分校的数学物理学家约翰·贝兹在他的博客中开玩笑说。贝兹指的是哈佛大学的迈克尔·霍普金斯、弗吉尼亚大学的迈克尔·希尔和罗切斯特大学的道格拉斯·雷文内尔宣布他们已经破解了一个被称为 Kervaire 不变量问题的 45 年难题。如果得到证实，他们的结果将为 20 世纪 60 年代辉煌的数学成果——“奇异”高维球体的分类——画上句号。Kervaire 问题是理解多维空间的主要障碍，其解决方案可能对同样奇异的物理学领域（如弦理论）产生影响。
当数学家谈论高维空间时，他们指的是在这样的空间中定位一个点所需的变量或维度的数量。地球表面是二维的，因为需要纬度和经度两个坐标才能确定其上的任何点。更正式地说，标准的二维球面是与 2 + 1 = 3 维空间中的一个点等距的点的集合。更一般地说，标准的 n 维球面，或简称 n 球面，是与 n + 1 维空间中一个中心点距离相同的点的集合。球面是拓扑学中最基本的空间之一，拓扑学是数学的一个分支，研究在物体不被压碎或撕裂变形时哪些属性保持不变。拓扑学出现在许多研究中，包括那些试图确定我们宇宙形状的研究。
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近年来，数学家们已经完成了对“紧致”的 3-D 空间的分类，这意味着它们是有限的并且没有边缘 [参见 Graham P. Collins 的“空间的形状”；《大众科学》，2004 年 7 月]。 （球面是紧致的，但无限平面不是。）因此，他们已经弄清楚了所有可能宇宙的拓扑结构，只要这些宇宙是紧致的和三维的。然而，在三个以上维度中，完整的分类已被证明是棘手的，甚至在逻辑上是不可能的。拓扑学家曾希望至少像球面这样简单的空间会足够容易。
约翰·米尔诺（John Milnor），现在在石溪大学，在 20 世纪 50 年代发现第一个“奇异” 7 球面时，使问题变得更加复杂。奇异 n 球面从拓扑学的角度来看是一个球面。但从微分学的角度来看，它不等同于标准的 n 球面，微分学是物理学理论的语言。这种差异对描述粒子运动或波传播等方程产生了影响。这意味着在一个空间上的此类方程的解（甚至它们的公式）不能在另一个空间上映射，而不会产生扭结或“奇点”。物理上，这两个球面是不同的、不相容的世界。
1963 年，米尔诺和他的同事米歇尔·凯尔韦尔计算了奇异 7 球面的数量，发现正好有 27 个不同的球面。事实上，他们计算了从 5 到任何 n 的 n 球面的数量。然而，当 n 是偶数时，他们的计数有一个歧义——一个可能的因子 2。普林斯顿大学的威廉·布劳德后来消除了这种歧义，除了类型为 n = 2k - 2 的维度，从 k = 7 开始——具体来说，126、254、510 等等。换句话说，数学家只能猜测这些维度中奇异球体的数量，误差在一个因子 2 之内，这被称为 Kervaire 不变量，因为它与 Kervaire 早期发明的概念有关。
霍普金斯和他的同事认为他们已经找到了一种消除这种歧义的方法。在他们的证明中，其中涉及代数系统（称为同调群）的复杂层次结构，他们表明，除了可能在 126 维的情况下，因子 2 在任何这些维度中都不存在，由于技术原因，他们的证明策略没有解决这个问题。（实际上仍然存在另一个主要的例外：4-D 情况。虽然没有奇异的 1-、2- 或 3 球面，但没有人知道是否存在奇异的 4 球面。）
尽管研究人员尚未发表他们的证明，但霍普金斯说，“在没有同行评审的情况下，我对证明的正确性非常有信心”。斯坦福大学的拓扑学家 Gunnar Carlsson 说，他只从霍普金斯那里听到了“关于拟议证明的最粗略的概述”，但“乐观地认为，解决这个问题的要素很可能已经存在”。如果你熬夜担心奇怪的球体，那么这真是太及时了。
注：本文最初印刷时的标题为“超球面奇点”。
*勘误（10/1/09）：此句子在发布后已编辑以更正数字错误。