乍一看，设计壁纸似乎就像幼儿园的美术项目一样简单。设计师可以从第一个小块的任何颜色和形式的组合开始，然后在两个独立的方向上重复复制它。根据原始小块中的图案和两个方向的选择，可能会出现其他对称性——例如，图1的六重旋转对称性，或图2的反射对称性，这两者都是由加利福尼亚州圣克拉拉大学的数学家弗兰克·法里斯创建的。
图1。壁纸图案，左侧，每个棕绿色花饰周围都有六重旋转对称性。
图2。壁纸图案，通过每个椭圆形彩色玻璃装饰品的（未标记的）水平线具有反射对称性。
插图：弗兰克·法里斯
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图3。彭罗斯铺砖，例如上图，在许多地方表现出许多局部五重对称性；然而，这些图案从未显示出壁纸重复。随着彭罗斯铺砖填充平面越来越大，胖瓷砖的数量与薄瓷砖的数量之比接近黄金比例。
图片：由西蒙斯科学新闻提供
图4。点击查看更大的图片和标题。
插图：弗兰克·法里斯
虽然可以用二重、三重、四重或六重旋转对称性创建壁纸，但不可能使用五重旋转对称性来创建壁纸。数学家们已经知道这种限制近 200 年了，称为“晶体学限制”。五边形的几何形状排除了具有五重对称性的壁纸图案；七重及更高重旋转也是如此。
然而，一些最引人入胜的非壁纸图案，例如彭罗斯铺砖（参见图 3），在许多位置和许多尺度上都表现出局部五重对称性，但没有任何重复图案。现在，法里斯使用与彭罗斯铺砖非常不同的方法，利用五重对称的特殊几何形状创建了一系列引人注目的新图像——似乎打破了晶体学限制的壁纸赝品。
例如，图 4 起初看起来像是晶体学限制的反例，围绕点 A 具有五重旋转对称性，并且在 AB 和 AC 方向上具有壁纸图案偏移。
实际上，正如法里斯在《美国数学学会通告》2012 年 11 月号中所描述的那样，该图像是一个巧妙的骗局。
“你知道你看到的对称性是不可能的，”明尼苏达州诺斯菲尔德卡尔顿学院的斯蒂芬·肯尼迪说。
围绕点 A 的五重旋转对称性是完全有效的。但是，如果仔细观察，您会发现 B 和 C 处的风车实际上与 A 处的风车略有不同。如果我们放大以查看更多的图案，表面上的壁纸重复与 A 点的设计的相似度会越来越低，即使在其他位置同时出现新的、更具说服力的 A 的副本，如图 5 所示。事实上，法里斯已经证明，可以通过以特定数量（即，以斐波那契数（数字序列 1、1、2、3、5、8、13、21……其中每个数字是前两个数字的总和）递增来放大，从而在更大的尺度上产生新的错觉，斐波那契数也在彭罗斯铺砖的几何形状中发挥作用。
图5。点击查看更大的图片和标题。
插图：弗兰克·法里斯
“我们从理智上知道这一定是作弊，”法里斯说。尽管如此，他在《通告》中写道，这些图像“邀请我们的眼睛漫步并享受近乎重复的图案”。
法里斯通过修改他为制作具有三重旋转对称性的真正壁纸设计而开发的技术，偶然发现了这些赝品，例如图 6 中的图案。
为了创建一个三重壁纸设计，法里斯首先从三维空间开始，三维空间有一个特别自然的三重旋转，它只是循环三个坐标，使空间中的点围绕对角线旋转 120 度。然后，法里斯通过叠加精心选择的正弦波，并使用预先选择的调色板根据点在叠加波上的位置对点进行着色，来创建三维壁纸图案。最后，法里斯通过将这种着色限制在垂直穿过原点旋转轴的二维平面上，得出了一个平面壁纸图案。
肯尼迪说，这种创建壁纸图案的平滑正弦方法与传统的剪切粘贴方法不同。“这是一种非常新颖的制作对称图案的方法。”
图6。通过法里斯的正弦波方法创建的具有三重旋转对称性的壁纸图案。
插图：弗兰克·法里斯
如果我们不知道这是不可能的，那么人们可能会期望在五维空间中采用类似的过程来生成具有五重对称性的壁纸图案。法里斯想知道，一切都在哪里崩溃了？
五维空间存在——至少在理论上是这样，尽管它很难可视化——并且具有类似于三维空间中三重旋转的自然五重旋转。在五维空间中，有两个自然的平面可以观察，每个平面都垂直于旋转轴并且彼此垂直。在每个平面上，旋转通过围绕原点旋转平面 72 或 144 度（五重旋转）来起作用。（想象两个平面和一条线彼此垂直可能看起来违反直觉，但在五维空间中，所有这些对象都有足够的空间。）
法里斯意识到，问题在于，虽然三维情况下的垂直平面很好地穿过空间，并且包含一个具有整数坐标的无限壁纸点阵列，但五维空间中的两个垂直平面是非理性的，根本不包含任何整数点（除了原点）。由于叠加正弦波的壁纸图案在整数位移上重复自身，因此这些平面无法从高维设计中继承壁纸图案。
“这给膏药里扔了一只苍蝇，”法里斯在《通告》中写道。
尽管如此，由于所谓的黄金比例（一个描述两个平面方向的无理数）和斐波那契数之间的相互作用，两个平面各自继承了壁纸结构的错觉。
由于这些关系，法里斯能够证明，虽然这两个平面不包含任何整数点，但每个平面都非常接近一个无限散布的整数点，这些点的坐标是斐波那契数。每次平面接近这些斐波那契点之一时，设计看起来几乎与原点处完全相同，从而产生了精确副本的错觉。
法里斯已经找到了将自然照片的颜色和形式与他壁纸设计中的波函数融合的方法，从而创造了一系列令人眼花缭乱的壁纸赝品，例如这张源自相邻草地景观的赝品。在假壁纸中仍然可以看到一些树枝。
插图和照片：弗兰克·法里斯