几个世纪以来，素数以其不可预测且看似随机的分布吸引着数学家。在一项开创性的预印本研究中，研究人员设计了一种新颖的方法，加强了我们对这些难以捉摸的数值的搜寻——但也揭示了我们探测它们的能力的局限性。
素数只能被1和自身整除。它们是数学的“原子”，能够将其他数字分解为因子（如 12 = 2 × 2 × 3）。随着数字的增加，识别素数变得越来越具有挑战性。如果有人问你，“1到1,000之间有多少个素数？” 你会从哪里开始？
经典的埃拉托斯特尼筛法提供了一个起点。这种古老的技术系统地消除每个素数的倍数，只允许素数本身“掉出来”。数学家将消除的倍数称为“I型信息”，这有助于预测给定范围内有多少个素数。然而，这种信息是有限的。“有时你拥有尽可能好的I型信息，但你仍然找不到任何素数，”该研究的合著者、伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的数学家凯文·福特解释说。
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福特和牛津大学数学家詹姆斯·梅纳德提供了一种强大的方法，通过精确估计必须存在于大范围内的素数数量来研究大范围内的素数。这项工作结合了两种互补的观点：消除数字的I型信息（例如划掉所有 2 的倍数，然后是 3 的倍数，等等）以及考虑多次划掉的数字（例如 6 如何同时出现在 2 和 3 的倍数列表中）——称为 II 型信息。
数学家可以调整他们如何权衡每种类型的信息，以获得给定范围内素数的最准确计数。但在仔细调整这两个旋钮时，论文的作者发现存在基本限制：精确的数学边界，在这些边界处，进一步调整都无法提高我们计数的准确性，从而揭示了关于这些数字如何在数轴上分布的深刻真理。
该研究将这些估计的准确性（对于一个集合，或“信息强度”）比作改变筛子中网格的大小：太小，你会抓住每一个数字；太大，素数就会溜走。图尔库大学的数学家凯莎·马托玛基研究素数分布，她说，这项工作“精确而直接地回答了什么是‘足够好’的信息来检测素数”。普林斯顿大学数学家彼得·萨尔纳克是素数筛法理论专家，他补充说，理解设计筛子时的局限性对于发展完整的素数理论至关重要：“揭示一个人无法实现什么是根本的。”
福特希望这种方法将帮助研究人员解决长期存在的未解决问题。“素数的分布方式非常非常神秘，所以我们正在努力将我们的理解向前推进一点点。”