烘焙不是我的强项。所以当有客人来访时，我会冲到面包店买甜点，而且常常有太多的选择而眼花缭乱。面对琳琅满目的美味蛋糕和馅饼，我发现很难决定。我的策略是说：“哦，为什么不每样给我打包一块呢？”
这种做法实际上与数学中一个著名的辩论有关。并非是我缺乏决断力会激怒数学家（除非他们排在我后面）。不，真正引起麻烦的是这个想法，即我实际上可以从任意数量的不同蛋糕和馅饼中选择正好一块或一片，然后把它们带回家。这个想法与一个未经证实的根本真理有关，即所谓的选择公理。
起初，人们不会期望这种做法会违反任何数学原理。但是，一旦选择公理被采用，随之而来的结论却引发了数学界最大的争议。这是因为这个公理导致了明显的矛盾结果：例如，它可以“神奇地”将一个球体加倍，或者暗示存在无法测量的有限物体。
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因此，一些专家在证明中专门指出何时使用了选择公理——而且有些数学家希望在没有这个公理的情况下彻底改革这门学科。然而，一个没有选择公理的世界甚至更加奇怪。
数学的基础
为了理解这场辩论，我们首先需要考虑是什么将数学与其他自然科学区分开来。在19世纪末，数学家们意识到他们必须就一个共同的基础达成一致——也就是说，一些基本的真理——包括一套规则。其想法是，所有数学结果——无论是1 + 1 = 2还是复杂的积分——都可以从一个共同的基础推导出来。每个陈述和每个证明都可以使用同一套规则进行明确的检查。
在数学家们制定这些共同法则的时候，集合论似乎是一个很好的起点。然后，专家们不得不就作为真理而被接受的基本真理或公理达成一致，即使这些真理无法被证明。例如，“存在一个空集”就是这些真理之一。它满足公理的所有要求：它简短、精确，定义了一个明确的对象，并且是毋庸置疑的真理。
数学家们寻求其他的公理，希望能找到最简单、最短的规则集，从中可以最终构建整个学科。他们成功了。他们的努力产生了所谓的策梅洛-弗兰克尔公理系统，由八个基本真理组成。所有这些公理都声明存在某些集合：例如，空集或集合的幂集（所有子集的集合）。而这些总是由公理明确定义的。
然而，数学家恩斯特·策梅洛很快意识到，这八个基本真理是不够的。因此，他在1904年引入了选择公理。冲突由此开始。
你总是有选择
选择公理允许你从一系列非空集合中一次选择一个元素——就像我可以在面包店里要几块蛋糕一样。起初，这似乎是很自然的。然而，选择公理不限于有限的情况：即使有无限数量的蛋糕，选择公理也允许你一次挑选一块。
这个公理本质上声明存在一个规则，允许你提出这样的请求。例如，一个这样的规则可能是：“请给我每块蛋糕的边缘部分。” 这给了面包店柜台后面的人一个具体的指示，他们可以遵循。但是，对于矩形蛋糕来说，找到“边缘部分”显然比圆形蛋糕更容易指示。我只能说我想要每块蛋糕的一片——但我无法具体说明我想要哪一片。
缺乏精确性正是许多专家所困扰的。其他的公理预测了一个明确定义的集合。但是在选择公理中，“选择函数”（或者我给面包师的指示）将导致我收到一些我无法事先完全描述的东西。
然后在1904年晚些时候，引入选择公理的策梅洛发现了一个极其违反直觉的结果，他只能在选择公理的帮助下证明这一点。他证明了任何量都可以被良序化。从这个所谓的良序定理，可以得出结论，其中包括，每个集合根据该排序都有一个最小元素。
但这与数学的通常原则相矛盾。例如，如果你考虑集合 (0, 1)，它包含所有大于 0 且小于 1 的实数。你在数学中不断地使用这样的集合进行计算。重要的是要注意，0 和 1 不属于 (0, 1)。良序定理暗示这个集合根据给定的排序有一个最小元素。但这在典型的数字排序方法中是不可能的：根据标准数学，这个集合中没有最小元素。事实上，对于哪个排序给出 (0,1) 中最小的数字这个问题，没有达成一致的答案。
策梅洛的结果引发了一场几乎是哲学性质的世界性辩论：数学对象（例如选择函数或集合的最小元素）何时存在？我们是否总是必须能够明确说明如何构造一个对象——还是间接证明它的存在就足够了？ “从1905年到1908年，英国、法国、德国、荷兰、匈牙利、意大利和美国的著名数学家们就[策梅洛的证明]的有效性进行了辩论。在近代，数学家们从未如此公开和如此激烈地争论过一个证明，” 数学史学家格雷戈里·摩尔在他的1982年著作《策梅洛的选择公理》中写道。
事情变得更糟。从选择公理可以得出 所谓的维塔利定理，根据该定理，你可以形成一个介于 0 和 1 之间的实数集合，该集合是不可测量的。选择公理使得可以将数字分组为各个子集并从每个子集中选择一个元素，由此产生的集合非常不规则，以至于它不再可测量。
另一个违反直觉的结果是球体的神奇加倍，更广为人知的是 巴拿赫-塔斯基悖论。借助选择公理，可以将体积为 V 的球体分解为复杂的各个部分，并以这样一种方式重新组装，从而创建两个体积均为 V 的球体。这些和其他结果增加了对选择公理的不信任。
另一种数学
因此，一些专家决心拒绝选择公理，而是只使用策梅洛-弗兰克尔集合论的八个基本真理。但他们并没有取得多大进展。 事实上，策梅洛考察了一些选择公理最激烈的批评者的工作，并能够证明他的同事们——在没有意识到的情况下——实际上一次又一次地使用了选择公理。
例如，如果没有选择公理，就不可能确保每个向量空间都有一个基。这个性质由另一个称为 佐恩引理 的陈述暗示，听起来很抽象，但物理学家和数学家一次又一次地提到它。你可以借助一张纸（从数学的角度来看，它不过是一个向量空间）来可视化这一点。如果你在这张纸上画两个箭头，一个水平指向，一个垂直指向，你可以从这些箭头到达纸上的任何一点。例如，你可以水平移动第一个箭头长度的 0.5 倍，然后垂直添加第二个箭头长度的 1.65 倍，以到达特定点 x。
因此，佐恩引理使得可以在每个向量空间中绘制一个坐标系，该坐标系可以用于明确地描述空间中的每个点。如果你放弃选择公理，也会存在没有这种坐标系的向量空间——这可能会导致严重的问题，尤其是在物理学中。
事实证明，良序定理、佐恩引理和选择公理不仅相关，而且是等价的。从数学的角度来看，它们处于同一水平。正如 数学家杰里·博纳恰如其分地指出：“选择公理显然是真的；良序原则显然是假的；谁又能说佐恩引理呢？”
选择公理是真的还是假的？
问题在于你无法证明公理。策梅洛引入选择公理是因为策梅洛-弗兰克尔集合论的八个公理不够强大，无法用于构造选择函数。换句话说：如果你存在于一个只使用八个被接受的基本真理的宇宙中，你就无法尝试面包店里的每块蛋糕。
但是一些专家认为，也许他们可以证明将选择公理添加到八个基本公理中将不可避免地导致矛盾。也就是说，与八个策梅洛-弗兰克尔公理之一结合使用，可能会出现诸如 1 = 2 之类的矛盾陈述。如果是这样，他们认为，数学的基础将被破坏，整个学科将像纸牌屋一样崩溃。然而，正如数学家在 1960 年代确定的那样，情况并非如此。如果你将选择公理添加到八个基本真理中，就不会出现此类问题。
但反过来也是如此。你可以将选择公理的否定添加到八个策梅洛-弗兰克尔公理中，而不会遇到任何矛盾。这意味着选择公理可以被认为是真或假，数学家可以自由选择两种可能性之一。
一个没有选择的世界
“人们经常听到对选择公理的描述是，它对某些数学论证很有用，但在巴拿赫-塔斯基悖论和其他违反直觉的后果面前却存在问题。然而，在我看来，当我们也强调当选择公理失效时可能出现的违反直觉的情况时，会出现更加平衡的利弊讨论，” 圣母大学数学家乔尔·大卫·哈姆金斯在他的著作《数学哲学讲义》中写道。
如果选择公理被认为是错误的，那么关于实数就会出现悖论性的结果。假设你想把实数分成不同的桶；数字 x 进入桶 A，数字 y 进入桶 B，等等。每个数字都可以精确地进入一个桶，并且每个桶都至少包含一个数字。
如果你拒绝选择公理，你可以证明桶的数量超过了实数的数量。因此，存在无限多的实数（和桶），但是桶的无穷大大于实数的无穷大——至少在选择公理为假的情况下是这样。
更糟糕的是，如果选择公理的否定为真，那么不仅会存在一些（非常牵强）的不可测量集合的例子——整个测量理论都会崩溃！ “这比仅仅拥有维塔利不可测集合要糟糕得多，”哈姆金斯在他的书中写道。
因此，选择公理已被主流数学所接受。尽管有一个小的数学社群正在尝试完全不使用选择公理来改造这门学科，但大多数数学家现在已经接受它为真。这是幸运的，因为这意味着仍然可以从面包师那里订购任意数量的蛋糕样品——而且我不必开始学习烘焙。
本文最初发表于《明镜周刊·科学版》，经许可转载。