以下文章经许可转载自 The Conversation，这是一个报道最新研究的在线出版物。
假设你正在计划你的下一个派对，并且为客人名单绞尽脑汁。你应该向谁发送邀请函？朋友和陌生人的哪种组合才是合适的搭配？
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事实证明，数学家们已经研究这个问题的一个版本将近一个世纪了。根据你想要什么，答案可能会很复杂。
我们的书《图论的迷人世界》探讨了这类谜题，并展示了如何通过图论来解决它们。像这样的问题可能看起来很小，但它漂亮地展示了图论如何被用于解决科学、通信和社会等不同领域的数学问题。
谜题的诞生
虽然众所周知哈佛是美国顶尖的学术大学之一，但您可能会惊讶地得知，哈佛曾经拥有全国最好的橄榄球队之一。但在 1931 年，在 全美四分卫巴里·伍德 的带领下，情况确实如此。
那个赛季哈佛对阵陆军。出乎意料的是，上半场结束后，陆军以 13-0 领先哈佛。显然感到沮丧，哈佛校长告诉陆军学员指挥官，虽然陆军在橄榄球方面可能比哈佛强，但哈佛在更学术的比赛中更胜一筹。
尽管哈佛队后来以 14-13 击败了陆军，但指挥官接受了在更学术的领域与哈佛竞争的挑战。双方同意在数学领域进行比赛。这导致陆军和哈佛选拔了数学队；对决于 1933 年在西点军校进行。令哈佛惊讶的是，陆军获胜了。
哈佛-陆军竞赛最终促成了 1938 年为本科生举办的年度数学竞赛，称为 普特南考试，以哈佛校长威廉·洛厄尔·普特南的亲属命名。这项考试旨在激发美国和加拿大数学领域的良性竞争。多年来，直到今天，这项考试都包含许多有趣且通常具有挑战性的问题——包括我们上面描述的问题。
红色和蓝色线条
1953 年的考试包含以下问题（略有改动）：平面上有六个点。每两个点之间都用一条线连接，这条线要么是蓝色，要么是红色。证明在这六个点中，存在三个点，它们之间只绘制了相同颜色的线。
在数学中，如果存在一组点，并且某些点对之间绘制了线，则该结构称为图。对这些图的研究称为图论。然而，在图论中，点称为顶点，线称为边。
图可以用来表示各种各样的情况。例如，在普特南问题中，一个点可以代表一个人，红线可以表示这些人是朋友，蓝线可以表示他们是陌生人。
证明存在三个点，它们之间用相同颜色的线连接。致谢：richtom80 Wikimedia (CC BY-SA 3.0)
例如，我们称这些点为 A、B、C、D、E、F，并选择其中一个点，比如 A。从 A 到其他五个点绘制的五条线中，必须有三条线是相同的颜色。
假设从 A 到 B、C、D 的线都是红色的。如果 B、C、D 中任意两点之间的线是红色的，那么就存在三个点，它们之间只有红线。如果 B、C、D 中任意两点之间的线都不是红色的，那么它们都是蓝色的。
如果只有五个点呢？可能不存在三个点，它们之间所有的线都着相同的颜色。例如，线 A-B、B-C、C-D、D-E、E-A 可能是红色的，而其他线是蓝色的。
从我们所看到的，可以得出结论，邀请参加派对（每两个人要么是朋友，要么是陌生人）的最小人数是六个，这样才能保证有三个共同的朋友或三个共同的陌生人。
如果我们想要四个相互认识的朋友或四个相互不认识的陌生人呢？为了确保这一点，我们必须邀请参加派对的最小人数是多少？这个问题已经有了答案。是 18。
如果我们想要五个相互认识的朋友或五个相互不认识的陌生人呢？在这种情况下，为了保证这一点，需要邀请参加派对的最小人数是——未知的。没有人知道。虽然这个问题很容易描述，听起来也相当简单，但它却出了名的难。
拉姆齐数
我们一直在讨论的是图论中的一种数字，称为拉姆齐数。这些数字以英国哲学家、经济学家和数学家 弗兰克·普伦普顿·拉姆齐 的名字命名。
拉姆齐在 26 岁时去世，但在他很小的时候就获得了一个非常奇特的数学定理，这引发了我们这里的问题。假设我们有另一个充满点的平面，这些点通过红色和蓝色线条连接。我们选取两个正整数，分别命名为 r 和 s。我们希望恰好有 r 个点，它们之间所有的线都是红色的，或者有 s 个点，它们之间所有的线都是蓝色的。我们可以用最少多少个点来做到这一点？这叫做拉姆齐数。
例如，假设我们希望我们的平面至少有三个点通过全红线连接，并且有三个点通过全蓝线连接。拉姆齐数——我们需要使这种情况发生的最小点数——是六。
当数学家看待一个问题时，他们经常问自己：这是否暗示了另一个问题？这就是拉姆齐数——以及派对问题——的情况。
例如，这里有一个问题：五个女孩正在计划一个派对。她们决定邀请一些男孩参加派对，无论她们是否认识这些男孩。她们需要邀请多少个男孩才能确保在男孩中始终有三个男孩，并且五个女孩中的三个女孩要么与这三个男孩都是朋友，要么与这三个男孩都不认识？可能不容易猜到答案。答案是 41！
已知的拉姆齐数非常少。然而，这并没有阻止数学家们尝试解决此类问题。通常，未能解决一个问题可能会导致一个更有趣的问题。这就是数学家的生活。
本文最初发表于 The Conversation。阅读 原文。