数学家们表示，他们已经解决了几何学中的一个重大难题，这个难题困扰了几十年：如何仅通过知道波在神秘物体‘X’边界上任意两点之间传播的速度来重建其内部结构。
这项工作在现实世界中具有应用意义，例如地球物理学家可以使用地震波来分析地球内部的结构。
“在不破坏‘X’的情况下，我们能否弄清楚它的内部结构？”加州斯坦福大学的数学家András Vasy在上周在伦敦大学学院（UCL）的一次演讲中提出这个问题时说。“一种方法是让波穿过它，”他说，“并测量它们的特性。”
支持科学新闻报道
如果您喜欢这篇文章，请考虑订阅我们的获奖新闻报道以支持我们 订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保有关塑造我们当今世界的发现和想法的具有影响力的故事的未来。
现在，Vasy和他的两位合作者表示，他们已经证明，仅凭这些信息就足以揭示物体的内部结构。
向内看
这个问题被称为边界刚性猜想。它属于黎曼几何领域，这是现代的、具有任意维度弯曲空间的理论。阿尔伯特·爱因斯坦基于这个数学分支构建了他的广义相对论——其中质量使时空几何弯曲。
数学家们已经知道，曲率在一个“黎曼流形”（弯曲空间的数学术语）内部各处的变化方式决定了任意两点之间的最短路径。
这个猜想颠倒了这种关系：它表示，知道边界上各点之间最短路径的长度，基本上就可以确定整个区域的曲率。（因此，几何结构被认为是“刚性的”。）因此，通过测量波在空间内部传播的速度，人们可以计算出最短路径，并从理论上确定整体结构。
这个猜想可以追溯到至少1981年，当时已故的数学家勒内·米歇尔1针对该猜想应该成立的空间提出了一些技术假设。（对于一般的黎曼流形，这个猜想不成立。）
Vasy的合著者，西雅图华盛顿大学的数学家Gunther Uhlmann自1990年代末以来一直在研究这个问题，他和一位合作者已经解决了二维黎曼流形的问题，即弯曲的表面2。现在，Vasy和他的合作者已经解决了三维或更多维空间的问题。
逐层分析
在爱因斯坦的时空中，曲率会产生引力透镜效应，天文学家对此现象很熟悉，光线路径会围绕恒星等巨大物体弯曲。类似的数学原理也适用于传统透镜或折射：当光线或声波传播的介质发生变化时，其传播方向会发生偏移。
对于地震波（由地震等事件产生）而言，地球在不同深度具有不同的特性，这意味着这些波的最短路径通常不是直线，而是曲线。自20世纪初以来，地球物理学家就利用这一事实绘制了地球的内部结构图，他们就是这样发现了地幔、内核和外核的。
这些发现都植根于一些经过简化的数学处理方法。直到现在，人们还不清楚是否可以仅使用波的传播时间来完全确定地球的结构。
但这正是Vasy和他的团队的证明所展示的——地球物理问题是解决该猜想的关键动机。
他们的假设与米歇尔的假设不同，即弯曲的空间或流形是分层排列的。这使他们能够分阶段构建解决方案。“你像剥洋葱一样逐层分析，”Uhlmann说。对于实际应用，这意味着研究人员不仅会知道该问题存在唯一的解决方案，而且还将拥有明确计算该解决方案的步骤。
这三位数学家已经在一小部分专家中传阅了他们长达50页的论文，该论文目前尚未发表，但已被Nature新闻团队看到。Vasy表示，根据他们收到的反馈，作者希望在未来两周内将论文发布在arXiv存储库上，并将其提交给期刊。
从理论到现实
Vasy说，这项工作可能对开发超声等医学成像技术的人以及地震学家有所帮助。
但是，德克萨斯州休斯顿莱斯大学的计算地震学家Maarten de Hoop表示，将该理论应用于真实的地球物理数据不会立即发生。一个困难是，该理论假设每个点都有信息。但实际上，数据仅在相对稀疏的位置收集。Uhlmann说，他正在与专门从事数值分析的同事一起研究这个问题。
de Hoop说，改进后的数学方法可能不会彻底改变我们对地球结构的认识。但是，它可能会帮助我们更好地理解已知特征，例如冰岛或夏威夷下方的地幔柱，甚至可能发现新的特征。
正如每个有意义的数学结果一样，“需要一段时间才能掌握它”并彻底审查该证明，英国剑桥大学的数学家Gabriel Paternain说。
专家们正在认真对待这一说法，部分原因是它建立在社区已经接受为突破的线性形式问题的技术步骤之上3，UCL数学家Yaroslav Kurylev补充说。
到目前为止，Paternain说，给人的印象是“非常棒”。
本文经许可转载，并于2017年2月10日首次发表。