铺设二维浴室地板是一项简单的家居装修，但研究人员发现，在更高维度中，它可能会演变成令人困惑的非重复性混乱。新的研究结果推翻了一个长期存在的瓷砖猜想，展示了混乱必须从结构化的数学领域中出现的另一种方式。
一般来说，平铺是一种用许多小块（瓷砖）覆盖某些空间的方式这些小块无需间隙或重叠地拼合在一起。永无止境的浴室地板或为公路旅行装载的无限大的汽车后备箱是二维或三维空间的自然例子。如果单个形状的副本以在每个方向重复自身的模式拼合在一起以填充空间，则平铺是“周期性的”——类似于用以图案排列的相同尺寸的行李装载无尽的汽车后备箱的艰巨任务。这项研究着手的周期性平铺猜想认为，每个可以在不旋转或翻转的情况下平铺空间的形状都必须能够以重复的、规则的方式做到这一点。
该研究的作者发表在《数学年刊》上，通过构建严格的非周期性瓷砖——一种完全覆盖空间而没有任何规则图案的瓷砖——反驳了这一猜想。为此，他们将几何平铺问题转化为由方程组定义的代数问题。每个方程都捕获了平铺必须遵守的约束——例如没有旋转和瓷砖之间没有间隙——形成一种“平铺语言”，研究合著者、西北大学数学家雷切尔·格林菲尔德说。
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通过在这种语言中添加更多约束，潜在解决方案的数量会减少，就像随着拼图的填充，您可以放入数独方格的可能数字越来越少一样。最终的解决方案，一个非重复的数字序列，然后可以转换回严格的非周期性瓷砖，从而反驳了该猜想。“平铺就是不够简单，无法永远表现良好，但它[也]不够复杂，无法永远疯狂，”格林菲尔德说。
滑铁卢大学计算机科学家克雷格·卡普兰说，在反驳这一结果时，研究人员“几乎找到了一种将瓷砖的形状转化为编程语言的方法”。由于该结果来自添加越来越多的约束，这些约束转化为额外的维度，因此反例最终在极高维空间中运行——类似于 10100,000 维度（这是一个有 100,000 位数字的数字）。
加州大学洛杉矶分校菲尔兹奖获得者数学家陶哲轩说：“高维平铺非常复杂。” “在低维[空间]中，情况似乎要好得多，三维是当前的研究前沿。” 他说，将这个直观的空间与高维结果进行比较，我们“处于有序和完全混乱之间的边界”。