100年来，数学家们一直在尝试证明亨利·庞加莱首次提出的一个猜想，该猜想与一个被称为三维球体或3-球体的物体有关。该猜想将3-球体从所有三维物体或流形中 выделяет 出来，认为是独一无二的。年轻的俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼的工作最终证明了庞加莱猜想。他有可能赢得克莱数学研究所提供的100万美元奖金——庞加莱猜想是该研究所七个“千禧年难题”之一。佩雷尔曼的分析也完成了一个主要的科研项目，该项目对所有可能的三维流形进行了分类。我们的宇宙可能具有3-球体的形状。该数学还与其他有趣的粒子物理学和爱因斯坦的引力理论有关联。
所有这些都在2004年7月印刷版的《大众科学》中进行了更详细的探讨。在这里，我重点介绍庞加莱本人和他猜想的早期，特别是二十世纪后半叶证明了更高维度猜想的惊人成果。
庞加莱
亨利·庞加莱是20世纪之交两位最重要的数学家之一（另一位是大卫·希尔伯特）。他被称为最后一位通才——一位在纯粹数学和应用数学的所有分支中都游刃有余的人。除了推进数学的许多分支外，庞加莱还对天体力学和电磁理论以及科学哲学做出了贡献（关于科学哲学，他写了几本广为流传的科普书籍；年轻的阿尔伯特·爱因斯坦和他的朋友们对其中一本印象深刻）。在进行这些高度理论性的研究的同时，庞加莱还担任工程师，检查煤矿。他晋升为矿业总工程师和法国经度局局长，在那里他负责监督使用海底电缆和电报的时间同步新技术对全球进行精确测绘。
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庞加莱在爱因斯坦之前和与爱因斯坦同时独立发现了相对论的几个关键方面。1904年，在爱因斯坦发表关于相对论的里程碑式论文的前一年，庞加莱在一次国际会议上预言性地说道：“也许我们必须构建一种新的力学，我们只能瞥见它的轮廓……在其中，光速将成为一个不可逾越的极限。”相对论中关联两个不同观察者所见事物的变换群现在被称为庞加莱群。
庞加莱在很大程度上创建了称为代数拓扑学的数学分支。1900年，庞加莱利用该领域的技巧分析了各种维度球体的性质。对于拓扑学家来说，圆（圆盘的边缘，而不是圆盘本身）是“一维球体”，或1-球体。圆是1维的，因为只需要一个数字就可以指定圆上的位置。“2-球体”是球形气球的形状。需要两个坐标——纬度和经度——来指定气球上的位置。3-球体是这些的三维类似物，并在印刷版中详细描述。类似地，每个维度n都有一个n-球体。数学家将任何维度的物体或空间称为流形。对流形的研究称为拓扑学。
2-球体在所有可能的有限二维流形中是独一无二的：每个其他这样的流形都更复杂，并且可以通过对2-球体执行以下三种操作的某种组合来制成：切出碎片、附加“把手”（形状就像杯子上的把手），或结合奇怪的扭曲，例如莫比乌斯带中的扭曲。数学家们非常想知道维度为3及以上的n-球体是否也同样是独一无二的。
为了解决这个问题，庞加莱使用了一种新的拓扑复杂性度量，称为同调。粗略地说，同调检测流形包围的不同维度空腔的数量。但您只需要知道的是，流形的同调指定了它具有的某些拓扑性质。庞加莱证明，在每个维度n中，唯一具有n-球体同调的流形是n-球体本身。
这个证明在一维和二维中很容易验证，在这些维度中，所有可能的流形都已分类（庞加莱对二维流形的分类做出了贡献）。不幸的是，庞加莱很快设计出第二个与3-球体具有相同同调的3-维流形。他的“证明”是错误的。
庞加莱没有气馁，而是提出了另一种度量，称为同伦。同伦的工作原理是想象您将一个闭合环嵌入到所讨论的流形中[见插图]。环可以以任何可能的方式缠绕在流形周围。然后我们问，环是否可以通过仅移动环周围，而无需将环的任何部分从流形中抬起来收缩到一个点？在像甜甜圈这样的形状上，答案是否定的。如果环绕着甜甜圈的圆周运行，则无法将其收缩到一个点——它会被内部环卡住。同伦是衡量环可以被卡住的所有不同方式的度量。
在n-球体上，无论环采取多么复杂的路径，它始终可以被解开并收缩到一个点。（在这些操作过程中，环可以穿过自身。）庞加莱推测，在每个可能的环都可以收缩到一个点的唯一3-流形是3-球体本身。这一次，庞加莱知道他没有证明，并且他没有对高于3的维度提出任何想法。随着时间的推移，这个提议被称为庞加莱猜想。几十年来，许多人宣布证明了该猜想，但最终都被证明是错误的。
科帕卡巴纳和更高维度
1960年，史蒂夫·斯梅尔取得了彻底出乎意料的突破，他现在是加州大学伯克利分校的荣誉退休教授。斯梅尔在1955年听说了庞加莱猜想，当时他还是密歇根大学安娜堡分校的研究生。他很快找到了他认为是证明的东西，但那又是一个错误的证明。
1960年，斯梅尔在里约热内卢的纯粹与应用数学研究所做了6个月的博士后研究员。他和他的年轻家庭住在科帕卡巴纳海滩附近的公寓里。早上，斯梅尔带着笔和纸来到海滩，在那里他游泳、冲浪和做数学。在这个田园诗般的环境中，他提出了两项重大进展。（“我最著名的工作，”他后来评论说，“是在里约热内卢的海滩上完成的。”）第一项进展与表现出混沌运动的系统的动力学有关，庞加莱开创了这个主题。尽管庞加莱在世纪之交奠定了混沌理论的基础，但直到1970年代，这个主题才获得这个名称，并作为（重新发现的）革命性概念而兴起。斯梅尔在动力系统方面的工作（涉及从一个流形到另一个流形的映射）为攻击庞加莱猜想提供了一个角度。这种攻击在维度为5及更高的流形中取得了成功，证明了对于五个或更多维度，n-球体是唯一最简单的流形。
在斯梅尔的证明公布后不久，约翰·R·斯托林斯（现在也在伯克利）使用了一种完全不同的方法证明了维度为7及以上的猜想。克里斯托弗·泽曼（当时在剑桥大学；现已退休）将这个证明扩展到5维。
在四维情况下，斯梅尔、斯托林斯和泽曼使用的方法失败了。但是，在1982年，现在在微软研究院的迈克尔·H·弗里德曼成功地证明了四维版本的庞加莱猜想（在三个维度以上，有微妙的不同方式来表述该猜想）。关于四维情况的许多问题今天仍然悬而未决，包括弗里德曼猜想的变体的真实性。
4-流形具有一些惊人的复杂性，这些复杂性在更高或更低维度中都不存在。有趣的是，推测我们的时空宇宙是四维的，这是数学上最复杂的情况，这并非巧合。也许只有这种情况才能包含生命所必需的复杂性。或者，也许宇宙的物理学本质上是被驱动向最复杂的可能性。
斯梅尔及其同事的成果代表了关于空间在各种维度上最基本层面的信息。它们告诉我们，对于四个或更多维度，最简单的空间——n-球体——是独一无二的。如果您采用任何n维空间，那么您要么拥有n-球体，要么拥有一个空间，该空间具有一个结构，环线可以在该结构周围“卡住”，就像甜甜圈上的孔周围一样。
尽管可能很想将更高维度视为就像更低维度加上一些额外的东西，但更高维度在许多方面与它们的低阶对应物不同。例如，在三维中，环线可以形成一个结，如果不剪断线就无法解开。这在一维或二维中是不可能的——你甚至无法形成一个结。在四个或更多维度中，任何“结”都可以解开：您可以使用额外的维度将线的段彼此移动过去。结的存在使得三维空间比二维空间复杂得多，并且与更高维空间截然不同，在更高维空间中，每个结都等同于一个简单的闭合环。然而，更高维度的庞加莱猜想告诉我们，对于拓扑学家感兴趣的基本性质，更高维度没有带来任何惊喜。
格雷厄姆·P·柯林斯是特约撰稿人和编辑。