一系列被称为丢番图问题的数论未解难题可以追溯到 3700 年前。多年来，数学家们一直在努力解决这些问题，最近的工作在其中一些问题上取得了重大进展，并表明其他一些问题仍然像以往一样无法破解。
研究人员一直在使用几何学工具来解决这些问题，这些问题以三世纪希腊数学家丢番图的名字命名。它们涉及确定多项式方程（例如 xn + yn = zn）存在哪些解。数学家的目标是找出方程是否存在整数或有理数解。例如，对于 x2 + y2 = z2，存在无数个这样的解。
丢番图几何学是数学领域，专注于数论方程的性质（例如其有理数或整数解）与“几何性质，例如方程复数解集的拓扑结构”之间的关系，以色列内盖夫本-古里安大学的数学家大卫·科温说。
马萨诸塞理工学院的数学家比约恩·波恩说，令人惊讶的是，“与数学的其他领域相比，我们对丢番图几何学的了解是如此之少”。例如，他指出，尽管数学家知道数字 20 可以写成三个立方体的和，如 33 + 13 + (–2)3 = 20，但数字 114 是否可以表示为三个立方体的和仍然是一个悬而未决的问题。
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“阴暗面”
对于某些丢番图问题，数学家的关注可能显得过于狭隘。为什么要花费大量精力来确定 114 是否可以写成三个立方体的和？加州大学圣地亚哥分校的数学家基兰·凯德拉亚说，对于许多容易陈述的丢番图难题，“问题本身并不是那么核心……但解决它所需的技术非常核心。”
这种性质在数学中并不少见。例如，著名的难题费马最后定理之所以更重要，也是因为解决它所开发的技术，而不是问题本身，凯德拉亚说，“这个问题对数论没有太多直接的后果。” 然而，用于解决它的工具包括 19 世纪后期代数数论的关键进展以及 20 世纪早期模形式的关键进展。“这些[发展]对于解决现代数论中的许多问题都非常重要，”他说，包括与密码学相关的问题。
“最简单的问题往往是激励我们开发技术的动力，然后我们可以使用这些技术来解决真正告诉我们很多信息的问题，”他说。例如，与凯德拉亚的研究相关的塞尔均匀性问题涉及一种称为模曲线的特殊类型的数学曲线。然而，“它的后果非常深刻，我们正在使用的技术将其应用于不同的案例，这些技术都根植于早期关于费马问题的研究，”凯德拉亚指出。
尽管如此，一些丢番图问题比其他问题更难解决。“该领域的许多研究人员试图开发解决丢番图方程的新方法，”波恩说，“但我也在‘阴暗面’工作，试图证明某些类型的问题是无法解决的。”
解决旧问题的新工具
与其使用几何学和其他领域的工具来解决特定的丢番图问题，不如开发计算机程序来解决这些问题的一般情况。但数学家马丁·戴维斯、尤里·马蒂亚谢维奇、希拉里·普特南和朱莉娅·罗宾逊表明，找到这些问题的完整解决方案并不像让计算机搜索它们那么简单。他们的工作最终在 1970 年得出了一个定理，该定理回答了德国数学家大卫·希尔伯特著名的第十问题。凯德拉亚指出，该问题侧重于寻找一种算法，用于确定对于某些具有整数系数的多项式方程组，是否存在整数解。凯德拉亚说，在认为可以找到这样一种算法时，“希尔伯特是一个乐观主义者”。“希尔伯特热衷于解决一般类型的问题。”
但是马蒂亚谢维奇定理，也称为 DPRM 定理或 MRDP 定理，表明这种算法不存在。这一发现意味着“这种类型的一般问题当然是棘手的”，并且这些问题的个别实例可能“非常难以解决”，凯德拉亚说。
有趣的是，科温指出，对于多个变量的多项式方程（或此类方程组），没有人知道是否可以找到一种算法来确定是否存在有理数解。“这完全是猜测，”他说。波恩一直在努力证明，找到有理数解的通用方法是不可能的。
对于其中一些古老的问题，包括丢番图本人提出的问题，“我们现在才刚刚开发出可以帮助回答它们的方法，”波士顿大学的数学家詹妮弗·巴拉克里什南说。例如，丢番图的著作《算术》中的一个问题是关于是否存在正有理数解 x 和 y 使得方程 y2 = x8 + x4 + x2 成立。尽管丢番图提供了一个解，即 x = ½ 和 y = 9 ⁄ 16，但巴拉克里什南说，直到 1998 年，人们还不知道存在多少其他解。在加州大学伯克利分校的博士论文中，约瑟夫·韦瑟雷尔提出了回答这个问题的方法。
最近，巴拉克里什南和她的合作者一直在开发新技术来寻找类似的解决方案。她说，最近一个有影响力的成果是布赖恩·劳伦斯和阿克谢·文卡特什对称为莫德尔猜想的新证明。尽管格尔德·法尔廷斯在 1983 年首次证明了莫德尔猜想，但劳伦斯和文卡特什的工作“为一个近 100 年历史的问题提供了另一种视角”，巴拉克里什南说。科温说，这些和其他进展表明，近年来人们对丢番图几何学的兴趣日益浓厚，“尤其是在新方法兴起的情况下”。