三十年前，数学家威廉·瑟斯顿阐明了一个宏伟的愿景：对所有可能的三维有限形状进行分类。
瑟斯顿是一位菲尔兹奖章获得者，他职业生涯的大部分时间都在普林斯顿大学和康奈尔大学度过，他拥有不可思议的想象能力：不仅能想象到存在于我们普通三维空间内的形状，还能想象到更广阔的、涉及复杂扭曲和转动的形状，这些形状只能容纳在更高维度的空间中。当其他数学家看到混沌的团块时，瑟斯顿看到了结构：对称性、表面以及不同形状之间的关系。
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“许多人基于多年的学校教育，对数学的印象是严谨和正式的学科，涉及复杂且最终令人困惑的规则，”他于2009年写道。“好的数学恰恰相反。数学是一门关于人类理解的艺术。……当我们用整个大脑感受它时，数学会歌唱。”
瑟斯顿愿景的核心是将两种看似不同的研究三维形状的方法结合起来：几何学，即我们熟悉的角度、长度、面积和体积领域；以及拓扑学，它研究形状的所有不依赖于精确几何测量的性质——如果形状像橡皮泥一样被拉伸和扭曲，这些性质保持不变。
对于拓扑学家来说，煎锅的表面等同于桌子、铅笔或足球的表面；咖啡杯的表面等同于甜甜圈表面或环面。从拓扑学家的角度来看，二维形状（即表面）的多样性本质上可以归结为简单的类别列表：球状表面、环形表面以及类似于环面但具有多个孔的表面。（我们大多数人认为球体和环面是三维的，但由于数学家将其视为空心表面，因此他们将其视为二维物体，以表面积而不是体积来衡量。）
瑟斯顿的关键见解是，在几何学和拓扑学的结合中，可以理解三维形状或“三维流形”。正如包含煎锅和铅笔表面的“二维流形”拓扑类别也包含一个完美的球体一样，瑟斯顿推测，许多三维流形类别包含一个范例，即一个几何形状非常完美、非常均匀、非常漂亮的三维流形，正如哥伦比亚大学的沃尔特·诺伊曼（Walter Neumann）喜欢说的那样，它“像钟一样鸣响”。更重要的是，瑟斯顿推测，没有这种范例的形状可以被分割成有这种范例的块。
在1982年的一篇论文中，瑟斯顿提出了这个“几何化猜想”，作为关于三维流形的23个问题组的一部分，这些问题为数学家提供了深入理解三维形状的路线图。（他的列表有24个问题，但其中一个尚未解决的问题更像是一个有趣的旁路，而不是一条主要道路。）
“瑟斯顿在提出正确的问题方面拥有巨大的天赋，”加州理工学院的数学家弗拉基米尔·马尔科维奇（Vladimir Markovic）说。“任何人都可以提出问题，但一个问题能够像瑟斯顿的问题那样总是带来洞察力和美感，这非常罕见。”
这些问题激励了新一代的数学家，其中数十人选择在瑟斯顿的指导下攻读研究生。瑟斯顿的数学“孩子”体现了他的风格，约翰·霍普金斯大学的理查德·布朗（Richard Brown）写道。“他们似乎以孩子看待嘉年华的方式看待数学：充满惊奇和喜悦，对每一个新发现都着迷，并为成为整体场景的一部分而感到高兴。”
在瑟斯顿的开创性论文发表后的几十年里，数学家们遵循了他的路线图，他们的动力与其说是来自可能的应用，不如说是认识到三维流形在形状研究中占据着一个甜蜜的位置。二维形状有点平淡无奇，易于可视化和分类。四维、五维和更高维的形状本质上是无法驯服的：可能性的范围如此之大，以至于数学家们将他们的雄心限制在理解它们的特殊子类上。相比之下，对于三维形状，它们的结构神秘而令人难以置信，但最终是可知的。
今年，当瑟斯顿的文章即将迎来30周年时，除了23个主要问题中的4个外，所有问题都已得到解决，包括几何化猜想，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）于2002年证明了该猜想，这是现代数学的标志性成就之一。然而，这四个未解决的问题顽固地抵制着证明。
“我们长期无法解决它们这一事实意味着正在发生一些深刻的事情，”耶鲁大学的亚伊尔·明斯基（Yair Minsky）说。
最终，在三月份，加州大学伯克利分校的伊恩·阿戈尔（Ian Agol）宣布了对“怀斯猜想”的证明，这在一次性解决了瑟斯顿的最后四个问题，令数学界震惊。
数学家称这个结果为一个时代的结束。
“瑟斯顿在他的论文中阐明的三维流形愿景，在当时看来一定非常奇特，现在已经完全实现，”加州理工学院的丹尼·卡莱加里（Danny Calegari）说。“他的愿景在各个方面都得到了显著的证明：每一个细节都证明是正确的。”
“我曾经觉得有些知识和某些思维方式是我独有的，”瑟斯顿在今年获得斯蒂尔数学奖时写道，就在他于8月去世，享年65岁的几个月前。“现在已经到了不再是这样的时候，这令人非常满意——很多人已经接受了我的思维方式，并且许多人已经证明了我曾经尝试过但未能证明的定理。”
阿戈尔的结果意味着，存在一个简单的配方来构建所有紧致的双曲三维流形——这是尚未得到充分解释的一种三维形状。
“从精确的意义上讲，我们现在了解了所有三维流形的样子，”伦敦大学学院的亨利·威尔顿（Henry Wilton）说。“这是数学领域一个巨大成功故事的顶点。”
表面研究
瑟斯顿的计划试图为三维流形做数学家们在一个多世纪前为二维流形成功做过的事情。作为理解三维流形的预热，让我们深入了解一下“紧致的、可定向的”表面（没有穿孔或裂缝并且具有一致方向感的有限表面）的分类。
为了解决这个分类问题，数学家证明，给定任意表面，可以通过沿着曲线切割将其逐渐简化，直到表面完全展开成一个平坦的多边形。
图 1. 沿着环 A 切开一个环面会产生一个圆柱体。进一步沿着环 B 切割，将圆柱体展开成一个正方形。
图片：西蒙斯基金会提供
图 2. 沿着环 A、B、C 和 D 切割双环面会产生一个八边形。
图片：西蒙斯基金会提供
很容易看到如何处理环面：首先沿着图1中的环 A 切开，产生一个圆柱体。接下来，沿着环 B 切割，将圆柱体展开成一个正方形。这有点难以看清，但是沿着图2中的四个曲线切割会将双环面（具有两个孔的环面）转换为八边形。同样，对于任何n个孔的环面，我们可以沿着2n个环切割，将表面展开成一个4n边形。
给定一个任意的、未识别的表面，我们可以尝试通过以类似的方式解剖它来简化它（并最终识别它）。拓扑学家已经证明，只要表面不是球体，它就必须包含一些嵌入的环（不与自身相交的环），这些环不能被拉到单个点，类似于环面上的环 A 和 B。沿着其中一个环解剖表面会消除表面的一些有趣的拓扑特征。数学家已经证明，我们只能以这种方式切割有限次数，之后我们将表面简化为一个平坦的多边形。
一旦我们将表面简化为多边形，就很清楚地看到，当我们重新粘合各边以恢复原始表面时，我们必须产生一个环面，或者一个双环面，或者一个三环面，等等。毕竟，第一次粘合会将多边形变成隧道状的表面，然后每次后续粘合要么在表面上引入新的隧道状把手，要么只是缝合一些开放的接缝。当我们完成时，结果是一个具有一定数量孔的环面表面。
这种方法不仅仅表明表面在拓扑上等同于球体或某种类型的环面：它还提供了一种赋予表面简单、均匀几何结构的方法。
球体显然已经具有均匀的几何结构：无论您站在表面的哪个位置，其几何形状看起来都相同。相比之下，甜甜圈表面绝不是均匀的：甜甜圈外边缘的区域以类似于球体的方式弯曲，而甜甜圈内环的区域更像马鞍的表面一样弯曲。
无论您如何尝试将环面放置在空间中——无论您进行多少拉伸和扭曲——都无法使其几何形状在每个点看起来都相同。有些部分会像球体一样弯曲，有些部分会像马鞍一样弯曲，有些部分可能是平坦的。
尽管如此，我们仍然可以为环面赋予一个在每个点都相同的抽象几何结构：只需声明在环面的每个小区域上，距离和角度的测量是通过取构建环面的正方形上的相应测量值来进行的。正如我们所见，环面可以用正方形构建。在普通空间中，不可能构建一个长度和角度与此抽象规则匹配的物理环面，但是这种长度和角度的定义在内部是连贯的。由于正方形具有普通的平面（欧几里得）几何，我们说环面可以被赋予欧几里得结构。具有这种几何结构的环面类似于一个视频游戏，其中，当一个生物从屏幕右侧退出时，它会重新出现在左侧，而当它从屏幕顶部退出时，它会重新出现在底部。
但是，如果我们尝试对双环面做同样的事情，就会遇到障碍。回想一下，我们可以通过粘合八边形的边缘来构建双环面。如果我们声明双环面上的几何结构应模仿八边形上的几何结构，则会在八边形的角上遇到问题。将八边形粘合成双环面后，所有的角点都被粘合在一起，在双环面上形成一个单点。八个八边形的角点在该点汇合，每个角点贡献 135 度的角度，总共 1080 度，而不是通常的 360 度。
因此，如果我们尝试给双环面赋予与八边形相同的几何结构，那么我们将最终得到一个双环面，该双环面除了在一个点（该点表面像一顶带有尖峰的软盘帽一样弯曲）之外，其他地方都具有普通的欧几里得几何形状。（当我们粘合一个正方形来制作环面时，角点不是问题：我们粘合四个 90 度的角来获得完美的 360 度。）
为了在双环面的角点获得平滑的几何结构，我们需要八边形的八个角中的每一个角都贡献 45 度而不是 135 度。值得注意的是，这样的八边形确实存在，但它不是存在于普通的欧几里得平面中，而是存在于另一种称为双曲盘的几何结构中：第三种几何结构，它与球面或欧几里得几何一样均匀和内部连贯，但是由于它更难可视化，直到 19 世纪初才被数学家发现。
粗略地说，双曲几何是如果您声明图 3 中的所有鱼大小相同而得到的。好像图 3 实际上是通过扭曲的镜头拍摄的双曲盘的图像，该镜头使靠近边界的鱼看起来比中间的鱼小得多。在理论上位于镜头另一侧的真实双曲盘中，所有鱼的大小都相同。
没有办法在普通空间中制作一个漂亮、平滑的双曲盘，以便鱼的大小确实相同。但是，从抽象的角度来看，鱼的大小调整规则再次产生一种内部连贯并且在每个点看起来都相同的几何结构——不是从外部通过扭曲的镜头观察的人，而是从生活在双曲盘中的人的角度来看。
在双曲几何中，两点之间的最短路径或“测地线”是穿过最少数量的鱼以从一个点到达另一个点的路径。事实证明，这样的路径始终是垂直于圆盘边界的半圆；穿过鱼的脊柱的半圆是例子。从我们扭曲的外部视角来看，这样的路径看起来是弯曲的，但是对于内部人员来说，这些路径是“直线”：要沿着其中一条路径行驶，您永远不必转动方向盘，正如瑟斯顿经常说的那样。与平行线总是保持相同距离的欧几里得平面相反，在双曲盘中，两条不相交的线会非常迅速地彼此分开。
从双曲几何的角度来看，图 4 中的形状都是具有直线边的正八边形。在这些八边形中，一个八边形的角度均为 45 度——这正是我们对双环面所需要的。如果我们适当地粘合此八边形的边，结果将是具有完美的、均匀的双曲结构的双环面。
图 4。双曲空间中的正八边形，例如上面图中的八边形，可以具有大于零且小于 135 度的任何内角测量值。棕色八边形的内角均为 45 度，可以粘合在一起形成具有平滑双曲几何的双环面。
图片来源：Silvio Levy 提供
类似地，我们可以为三环面配备双曲结构。三环面可以通过粘合一个 12 边形的多边形的边来制作，因此，如果我们构造一个内角均为 30 度的双曲十二边形，则其双曲几何结构可以平滑地传递到三环面。以这种方式继续，我们可以为四孔环面、五孔环面等等配备双曲几何结构。我们的紧致曲面分类变为：一个具有球面几何结构的曲面（球体），一个具有欧几里得几何结构的曲面（环面），以及无限多个具有双曲几何结构的曲面（所有具有一个以上孔的环面）。
在过去的一个世纪中，这种分类为数学家提供了一种非常有效的方法，可以将有关曲面的拓扑问题转化为几何问题，反之亦然。曲面的分类是二维形状研究中的基础概念，所有后续研究都将其作为起点。
下一个维度
三维流形比二维流形更加多样化，相应的问题也更加困难。即使像著名的庞加莱猜想这样听起来很简单的问题——该猜想询问三维球体是否是在其上每个环都可以拉紧到一个点而不会被孔缠住的唯一紧致三维形状——在亨利·庞加莱于 1904 年提出该猜想后近一个世纪仍未解决。
尽管如此，瑟斯顿大胆地推测，应该可以为三维形状创建类似于二维形状的分类。
二维欧几里得、球面和双曲几何在三维中都有对应物。但是在三维中，这些并不是仅有的“好”几何。例如，存在混合几何，在某些方向上是双曲或球面的，而在其他方向上是欧几里得的。总共有八种不同类型的三维几何，它们是均匀的，这意味着几何在空间的每个点看起来都相同。
瑟斯顿推测，就像曲面一样，三维流形也可以被赋予自然的几何结构。具体来说，他提出，如果您以某种特定方式将任何紧凑的三维流形切成几块，则每块都可以被赋予八种几何结构之一。
明斯基说：“目标是完全统一三维拓扑和几何。”
证明这个“几何化猜想”的一种自然方法是尝试做一些类似于我们为曲面所做的事情，即沿着曲线切割，直到我们切开所有有趣的拓扑特征，并将曲面简化为扁平的多边形。对于三维流形，相应的方法是沿着曲面切割它，直到它简化为多面体，其相对的边可以粘合在一起以恢复原始形状。然后，如果我们能够使用正确的几何结构来构建多面体，我们就可以将该几何结构传递到原始形状，就像我们对曲面所做的那样。
请记住，为了使曲面有效，我们切割的每条曲线都必须满足两个属性：曲线永远不会与自身交叉（在数学术语中，它应该是“嵌入式”），并且它应该是我们称为“拓扑有趣”的属性，这意味着它围绕曲面的一些拓扑特征缠绕，并且不能收紧到一个点（此要求确保沿着曲线切割可以简化曲面的拓扑结构）。
1962 年，数学家沃尔夫冈·哈肯证明，如果三维流形包含一个可以切割的曲面，该曲面满足两个条件：它必须是嵌入式的，并且必须是“不可压缩的”，这意味着曲面上每个拓扑有趣的曲线在周围的三维流形的较大环境中也具有拓扑意义，那么确实有可能将三维流形简化为多面体。
因此，例如，环面在普通三维空间中是不可压缩的，因为穿过环面孔的环面从环面的角度来看是拓扑有趣的，但是在完整的三维空间中，它可以压缩到一个点。相比之下，环面在您只需稍微加厚环面表面，使其不再是无限薄的三维流形内部是不可压缩的。为了不可压缩，曲面的每个拓扑特征都必须真正反映三维流形的一些内在拓扑结构。具有嵌入式、不可压缩曲面的三维流形现在被称为哈肯流形。
如果我们的三维流形确实具有嵌入式、不可压缩曲面，那么沿着该曲面切割将打开三维流形的一些有趣拓扑结构，从而留下一个更简单的流形。更重要的是，哈肯表明，只要流形包含一个这样的曲面，切割产生的新流形本身将是哈肯流形：它将再次具有嵌入式、不可压缩的曲面可以切割。哈肯表明，经过有限次数的此类步骤，原始流形的所有有趣拓扑特征都将被切除，从而留下一个多面体。
在 20 世纪 70 年代后期，瑟斯顿表明，有可能以这样一种方式为生成的多面体赋予八种三维几何结构之一，以使几何结构平滑地传递到重新粘合的多面体，并在多面体的角和边处完美地结合在一起。换句话说，瑟斯顿证明了他的几何化猜想适用于其标准分解产生的所有块都是哈肯流形的流形。
不幸的是，给定任意紧凑的三维流形，并不能保证它确实具有这样的曲面。实际上，在 20 世纪 70 年代后期和 80 年代初期，瑟斯顿使三维流形界相信，包含嵌入式、不可压缩曲面（哈肯流形）的三维流形是例外，而不是规则。
找出如何证明非哈肯流形的几何化猜想困扰了数学家二十多年。最终，在 2002 年，佩雷尔曼提出了他的证明，该证明借鉴了与瑟斯顿的大多数追随者所研究的数学领域相去甚远的数学领域。（在此过程中，佩雷尔曼的证明解决了百年历史的庞加莱猜想，导致克莱数学研究所在 2010 年向他提供了 100 万美元的奖金——但他出于相当复杂的原因断然拒绝了。）
佩雷尔曼的里程碑式证明实现了瑟斯顿统一拓扑和几何的梦想。现在，关于三维流形的每个拓扑问题都有其几何对应物，反之亦然。但是，佩雷尔曼的定理并没有解决许多关于可能存在哪些类型的三维流形的重要问题。
在对紧凑二维流形（曲面）进行分类时，数学家不仅能够证明每个曲面都可以被赋予几何结构，而且还能够列出每个可能的二维流形的完整列表。在三维中，缺少这样的列表。
八种三维几何形状中的七种——除了双曲几何——都相当容易理解，甚至在佩雷尔曼的工作之前，三流形拓扑学家就已经完全描述了可以容纳这七种几何形状的流形类型。这些形状相对简单且数量较少。
但就像曲面一样，在三维空间中，大多数流形实际上是双曲的。数学家对双曲三流形的各种可能性掌握得远不如他们对其他七种几何形状的掌握。
“在这八种几何形状中，双曲流形是最神秘和最丰富的，”巴黎皮埃尔和玛丽居里大学的尼古拉斯·伯杰龙说。
佩雷尔曼的结果告诉数学家，双曲流形确实是最后的边界——唯一剩下需要理解的三流形。但这并没有告诉他们这些双曲形状实际上是什么样的。
封面故事
再一次，数学家们能够求助于瑟斯顿的开创性论文来寻求指导。在他著名的提问清单中，有许多关于双曲三流形特征的猜想，包括两个直接说明这种流形外观的猜想：“虚拟哈肯”猜想和“虚拟纤维化”猜想。
虚拟哈肯猜想提出，每个紧双曲三流形在某种精确的意义上都几乎是哈肯流形：可以通过以一种特定的方式将流形展开有限次，将其转换为哈肯流形。这个新的、展开的流形被称为原始流形的“有限覆盖”。
数学家说，如果一个流形 N 可以围绕另一个流形 M 缠绕一定次数（可能是无限次），使得 M 的每个部分都被覆盖的次数与其他部分相同，则流形 N 覆盖流形 M。为了成为覆盖，这种缠绕还应该具有其他一些良好的属性——例如，N 在此缠绕过程中绝不应该自身折叠或撕裂。M 的每个小部分都被覆盖 N 中许多相同的副本所覆盖。
图 5. 六瓣花通过围绕三瓣花缠绕两次来覆盖三瓣花。
图片：西蒙斯基金会提供
例如，图 5 中的六瓣花覆盖三瓣花：只需将六瓣花围绕三瓣花缠绕两次即可。三瓣花上的每个点都被六瓣花上的两个点覆盖；数学家称之为双层覆盖。
同样，无限长的圆柱体覆盖一个环面：只需将圆柱体均匀地一遍又一遍地缠绕在环面上，无限多次（见图 6）。环面上的每个点都被覆盖：环面上的环 A 被圆柱体上无限多的均匀间隔的环覆盖，而环 B 在圆柱体上展开成为一条贯穿圆柱体长度的线。
流形及其覆盖的拓扑结构密切相关。要从一个n层覆盖重建一个流形，只需将覆盖自身折叠n次。同样，要从流形重建覆盖，您可以将流形切开，制作n个副本，并将副本沿其边界粘贴在一起（您获得的特定覆盖可能取决于您的粘贴选择）。
覆盖保留了流形的一些拓扑特征，同时展开了其他特征。例如，无限圆柱体记得环 A 是环面中的一个闭环，但它忘记了环 B 也是一个闭环。
图 6. 无限长的圆柱体通过一遍又一遍地缠绕在环面上来覆盖环面。环面上的环 A “提升”到圆柱体上无限多的红色环。环 B 在圆柱体中展开成为绿线。环面上的点 P 提升到圆柱体上无限多的蓝点。
图片：西蒙斯基金会提供
这种展开过程正是促使瑟斯顿希望，给定一个三流形，有可能产生一个有限层的覆盖，该覆盖是哈肯的。正如我们所讨论的，给定一个任意的紧双曲三流形，没有理由期望它是哈肯的（即，具有嵌入的、不可压缩的曲面）。然而，在 1968 年，德国数学家弗里德海姆·瓦尔德豪森猜想，这样的流形至少应该包含一个不可压缩的曲面，尽管该曲面可能会在某些地方穿过自身，而不是嵌入。
瑟斯顿认为，如果确实如此，那么很可能存在一个有限覆盖，其中曲面以一种消除其自身所有交叉点的方式展开。有限覆盖通常可以实现这种简化。例如，由于图 7 中三瓣花中的曲线绕中心孔走了两圈，因此无论如何拉伸和移动都无法阻止它在某个地方与自身相交。但是，如果我们从一个选定的点 P 开始在六瓣花中展开这条曲线，则产生的红线（数学家称之为原始曲线的“提升”）仅绕中心孔走一圈，并且永远不会与自身相交。（还有第二个提升，即蓝线，它在覆盖三瓣花中相交点的两个点与红线相交。）
图 7. 三瓣花中的绿线与自身相交，但其在六瓣花中的两个提升，即红线和蓝线，永远不会与自身相交（尽管它们彼此相交）。
图片：西蒙斯基金会提供
瑟斯顿在 1982 年的论文中提出，给定一个紧双曲三流形，应该可以进行类似的展开，从而在某个有限覆盖中产生嵌入的曲面——换句话说，三流形应该是“虚拟”哈肯的。
正如我们所讨论的，哈肯流形可以通过以特定的方式粘贴多面体的边界墙来构建。因此，虚拟哈肯猜想意味着，任何紧双曲三流形都可以通过首先很好地粘贴一个多面体，然后将生成的形状自身缠绕有限次来构建。
瑟斯顿接着提出了更强烈的观点：任何紧双曲三流形都可能是虚拟纤维化的，这意味着它有一个有限覆盖是“纤维化的”。一个“在圆上纤维化”（正如数学家所说）的流形是通过稍微加厚一个曲面使其成为三维，然后根据任何将两个曲面平滑地逐点匹配的排列，将内部和外部边界曲面粘贴在一起而构建的。（这种粘贴在普通空间中无法实现，而不会使所得流形的部分穿过自身，但它仍然可以抽象地进行研究。）之所以说该流形是纤维化的，是因为如果您想象将加厚的曲面拉伸开来，使边界曲面彼此远离，然后在将它们粘贴在一起之前将边界拉过来面对彼此，您可以想象所得的流形就像一个手镯，该手镯在手镯的每一条线上都有一个无限薄的曲面形状的珠子；这些珠子就是“纤维”。
每个纤维化流形都是哈肯的，但反之则不成立。因此，虚拟纤维化猜想比虚拟哈肯猜想更强，瑟斯顿对它是否确实成立持观望态度。“这个听起来令人怀疑的问题似乎有很确定的机会得到肯定的答案，”这是他在 1982 年的论文中愿意达到的程度。
瑟斯顿最初提出虚拟哈肯猜想是为了早期尝试解决他的几何化猜想，他已经证明了该猜想对于哈肯三流形成立。瑟斯顿希望，如果虚拟哈肯猜想成立，使得每个紧三流形都有一个哈肯有限覆盖，那么可以使用覆盖上的几何结构在原始流形上构建几何结构。
三十年后，在佩雷尔曼通过非常不同的手段证明了几何化猜想之后，虚拟哈肯猜想和虚拟纤维化猜想仍然没有解决。这些以及其他两个相关的猜想是瑟斯顿提出的 23 个问题中唯一未解决的问题。计算机数据强烈表明虚拟哈肯猜想是正确的：在超过 10,000 个双曲三流形的计算机列表中，瑟斯顿和伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的内森·邓菲尔德已经为每一个都找到了一个哈肯有限覆盖。但是计算证据不是证明。
明斯基说：“当瑟斯顿提出虚拟哈肯猜想时，它看起来像一个小问题，但它顽固地悬而未决，突显了我们对该领域知之甚少。” “事实证明，我们在这方面的无知是深刻的。”
构建曲面
2009 年，围绕虚拟哈肯猜想的浑浊水域开始变得清澈。
那一年，当时在石溪大学，现在在布朗大学的马尔科维奇和杰里米·卡恩宣布了证明虚拟哈肯猜想的关键一步。该结果，我们称之为“不可压缩曲面定理”，指出每个紧双曲三流形确实包含一个不可压缩曲面（该曲面可能穿过自身而不是嵌入）。
卡恩和马尔科维奇的证明是三维拓扑和几何之间相互作用的一个典型例子：不可压缩曲面定理是一个纯粹的拓扑陈述，但是为了证明它，卡恩和马尔科维奇大量借鉴了双曲几何提供的丰富的附加结构。
为了在三流形内部构建曲面，卡恩和马尔科维奇使用了双曲形状的一种称为“指数混合”的属性。这意味着，如果您从流形内部的任何小邻域开始，选择一个方向，并想象您的邻域开始沿着大致朝该方向移动的河流流动，那么您的邻域将逐渐扩散并缠绕在三流形周围，从每个可能的方向到达每个可能的位置。更重要的是，它将以精确的“指数”意义上的速度非常快地扩散。
这种混合特性是双曲三流形所独有的，并且大致源于这样一个事实，即与欧几里得空间不同，在双曲空间中，“直线”或测地线彼此弯曲远离。如果您在双曲圆盘中选择一个小邻域并让它朝特定方向流动，则该邻域将以指数级的速度快速增长。在一个紧凑的三流形内部，一个流动的邻域也会以指数级的速度快速增长，但是由于整个流形具有有限的范围，因此该邻域最终将一遍又一遍地缠绕在流形周围，多次重叠自身。此外——而且这更难证明——邻域将均匀地缠绕在流形周围，以大致相同的频率流经流形中的所有点。
数学家们已经理解这种指数混合特性超过 25 年了，并且彻底分析了这种“测地线流”的统计数据，弄清楚了当邻域沿流动时，给定邻域大致何时以及多久会经过特定点。但是在卡恩和马尔科维奇解决不可压缩曲面定理之前，数学家们从未成功地利用这种混合特性在流形中构建拓扑结构。（另一位数学家，德克萨斯 A&M 大学的刘易斯·鲍文，之前曾尝试使用指数混合在三流形中构建不可压缩曲面，但他的工作遇到了技术障碍。）
为了了解指数混合特性如何帮助构建拓扑和几何结构，让我们将其应用于一个比构建曲面更简单的任务：构建一个长度接近我们喜欢的某个大数（称之为 R）的闭合测地线环。
为了构建我们的环，让我们在流形中选择任意起点和任意起始方向，然后想象在围绕该点的一个小邻域中打开一个花园水管，并大致朝向该方向。水滴将沿着测地线路径流出，只要 R 足够大，流动混合就意味着当水滴行进距离 R 时，它们将相当均匀地分布在整个流形中。特别地，至少有一个水滴（实际上是许多）将回到起点附近和起始方向。然后，我们可以简单地构建一个小桥，将该水滴的测地线连接到起点，以产生一个几乎完全测地的环，其长度非常接近 R。不难证明，通过在流形中将这个环稍微拉紧一点，我们可以产生一个完全测地的环。
请注意，这种方法不仅给了我们一个长度接近 R 的测地线环。此过程可以使用任何起点和起始方向，并且许多水滴将返回到起点附近，因此实际上我们可以生成许多这样的环。这是使用指数混合构建结构的一般原则。
卡莱加里说，指数混合“表明你在流形中发现的任何结构，你都会大量地发现它们”。
图 8. 一条裤子（顶部）；将两条裤子粘在一起（左下方）产生一个双环面（右下方）。
图片：西蒙斯基金会提供
卡恩和马尔科维奇使用类似于我们构建环的练习方法来构建“裤子”——在拓扑上等同于带有三个孔的球面的曲面（一个腰孔和两个腿孔，可以这么说）。裤子是除球面和环面之外的所有紧凑曲面的构建块——例如，将两条裤子粘在一起会产生一个双环面（参见图 8）。
给定任何足够大的数字 R，卡恩和马尔科维奇表明，可以在流形内部构建许多裤子，其三个袖口各自的长度都接近 R，并且几乎完全是测地的，这意味着从双曲几何的角度来看，裤子表面的每一部分看起来都非常平坦。
他们还表明，在裤子的每个袖口处，都有另一条裤子从袖口大致朝相反的方向发出。通过在袖口处缝合这些匹配的裤子，卡恩和马尔科维奇产生了一个大型的紧凑曲面家族，这些曲面几乎完全是测地的，在接缝处有一些轻微的弯曲。已知几乎是测地的曲面在其三维流形内是不可压缩的，因此卡恩和马尔科维奇的构造证明了不可压缩曲面定理。
卡莱加里说，他们的方法还表明，一个三维流形不仅有一个不可压缩曲面，而且“到处都有几乎测地曲面的丰富结构”。
卡恩和马尔科维奇的工作为他们赢得了 2012 年克莱研究奖，该奖项由克莱数学研究所每年颁发，以表彰重大的数学突破。
布朗大学的杰弗里·布洛克在 2011 年末一篇关于卡恩和马尔科维奇工作的文章中预测说：“卡恩和马尔科维奇的技术与其结果一样引人入胜，而且这项工作无疑将激发比它结束的更多的研究线索。”
隐藏的结构
对于试图证明虚拟哈肯猜想的数学家来说，卡恩和马尔科维奇的工作创造了一个起点。
他们表明，每个流形都保证包含一个不可压缩曲面。但是，这个曲面可能会穿过自身，也许在许多地方，而不是被嵌入。要从卡恩和马尔科维奇的结果推导出虚拟哈肯猜想，数学家必须找到流形的有限覆盖，其中，就像六瓣和三瓣花的例子一样，曲面提升为永不相交的曲面集合（尽管它们可能会彼此相交）。如果可以做到这一点，那么每一个都将是覆盖中的嵌入式不可压缩曲面，这意味着该覆盖将是哈肯的。
但是，如何准确地找到这样的覆盖呢？
邓菲尔德说：“卡恩和马尔科维奇的结果与虚拟哈肯猜想之间存在很大的差距。“他们的发现很重要，但当时尚不清楚这是否对获得嵌入式曲面有所帮助。”
卡恩和马尔科维奇的结果引起了蒙特利尔麦吉尔大学的丹尼尔·怀斯的注意。从某种意义上说，怀斯一直在研究有限覆盖何时消除拓扑对象的自相交，但他是在“立方体复形”的背景下工作的，立方体复形看起来与三维流形非常不同。卡恩和马尔科维奇的发现使怀斯能够向其他数学家表明，这两个背景并非相差甚远。
立方体复形正如其名称所示：立方体的集合，只是“立方体”一词不仅指通常的三维立方体，而且指任何维度中由所有坐标介于 -1 和 +1 之间的点组成的形状。例如，正方形被认为是二维立方体，而线段是一维立方体。立方体复形中的立方体沿着角、边、面和更高维的侧面彼此连接。
图 9. 一个正方形（左）有两个超平面（红色和绿色线）。一个立方体有三个超平面（红色、蓝色和绿色正方形）。
图片：西蒙斯基金会提供
立方体复形与三维流形是非常不同的生物——它们甚至不是流形，首先，因为两个不同维度的立方体之间的连接不像任何维度的普通空间。然而，立方体复形是研究位于三维流形内的曲面的一个关键方面的简化设置：即这样的曲面，至少在局部上，将其周围环境分为两个面。
如果你的目标是研究将形状划分为两个面的对象，那么立方体是自然的起点，因为在所有可能的形状中，它们具有一些最简单的此类对象：穿过立方体中间的“超平面”。一个正方形有两个超平面——将正方形一分为二的垂直线和水平线——一个立方体有三个超平面（参见图 9）。一个 n 维立方体有 n 个超平面，它们都相交于立方体的中心点。
怀斯说：“超平面就像三维流形中的曲面，但你可以立即看到它们。“找到曲面很难，但超平面从一开始就可用。”
如果我们从立方体复形中立方体内的超平面开始，那么恰好有一种方法可以将超平面扩展到相邻立方体中的超平面；在那之后，恰好有一种方法可以将那些超平面扩展到它们的相邻立方体；等等。因此，给定立方体复形中的起始超平面，有一种独特的方法将其扩展到整个立方体复形中的超平面（参见图 10）。
图 10. 最右侧正方形中的红色超平面以唯一的方式扩展到整个立方体复形中的超平面。
图片：西蒙斯基金会提供
这种特性与三维流形形成了鲜明对比，在三维流形中，一小块曲面可以以任意多种方式扩展到整个曲面。立方体复形及其超平面“漂亮、晶莹且坚硬”，阿戈尔说，没有三维流形及其曲面的“松弛性”。
当我们通过立方体复形扩展超平面时，它可能会回到它开始的立方体，并沿着与原始超平面垂直的超平面穿过它（参见图 11）。换句话说，扩展的超平面可能没有嵌入。就像三维流形内的曲面一样，我们可以询问立方体复形是否具有有限覆盖，其中这些自相交。在过去十年中，怀斯开发了一套用于找出哪些立方体复形是特殊的技巧。在 2009 年，怀斯发布了一篇 200 页的“杰作”，正如邓菲尔德所说，他在其中详细介绍了有关特殊立方体复形的一系列发现，例如他的“组合定理”，该定理展示了如何将特殊立方体复形拼接在一起以获得新的保证仍然是几乎特殊的立方体复形。在这篇论文中，怀斯提出了一个猜想，该猜想大致指出，任何几何结构以类似于双曲几何的方式弯曲的立方体复形都是“几乎”特殊的——也就是说，它有一个特殊的有限覆盖。这个陈述后来被称为怀斯猜想。
怀斯坚信，当给定形状以某种方式类似于立方体复形时——也就是说，当它可以“立方化”时——立方体复形的结构是解开原始形状许多属性的关键。
他说：“立方体复形是人们甚至不知道要询问的秘密。“它是一种基本的、隐藏的内在结构。”
立方体脚手架
怀斯说，他对立方化形状变得“非常兴奋”，但起初他的数学朋友只是嘲笑他的单相思。
然后，卡恩和马尔科维奇证明了不可压缩曲面定理，怀斯和伯杰龙立即发表了一篇论文，表明紧凑的双曲三维流形中存在不可压缩曲面提供了一种将其立方化的方法——并且以这样一种方式，即三维流形中的曲面与所得立方体复形中的超平面精确对应。
怀斯和伯杰龙构造的关键在于卡恩和马尔科维奇展示了如何构造多个曲面，而不是一个曲面。遵循 2003 年由现任以色列海法理工学院的米卡·萨吉夫开创的立方化方法，怀斯和伯杰龙首先选取了大量的卡恩-马尔科维奇曲面——足以将三维流形划分为紧凑的多面体。
现在考虑这些曲面的一个交点——假设，比如说，n 个曲面在该点相交。萨吉夫的洞察力是将这种交点视为 n 维立方体中 n 个超平面的交点的阴影，可以这么说。与三维流形相对应的立方体复形是通过为 n 个曲面的每个交点放入一个 n 维立方体来构建的（实际构造要微妙一些，以便处理各种拓扑突发事件）。复形中的两个立方体是相邻的，如果它们在三维流形中对应的交点通过多面体的一个面连接。
邓菲尔德说：“立方体复形的存在正是为了记录曲面如何与自身和彼此相交。”
怀斯和伯杰龙表明，此立方体复形与原始流形“同伦等价”，这意味着可以将立方体复形挤压和拉伸（可能有一些维度扁平和非扁平化）直到立方体复形变成流形，反之亦然。更重要的是，这种同伦等价性将三维流形中的每个曲面转换为立方体复形中对应的同伦等价的超平面。
以这种方式构造的立方体复形满足怀斯猜想的几何要求，这意味着如果怀斯猜想是正确的，那么这个立方体复形具有有限的覆盖，其中所有超平面都被嵌入。
如果确实存在这样的有限覆盖（假设是具有 m 个薄层的覆盖），那么请回想一下，可以通过某种方式打开复形、制作 m 个复形副本，然后沿着切割线将副本粘合在一起来从立方体复形构建该覆盖。不难证明，这种制作覆盖的配方可以直接转化为制作三维流形的相应有限覆盖的配方，并且在这个有限覆盖中，用于构建立方体复形的卡恩-马尔科维奇曲面将提升为嵌入式曲面。换句话说，如果怀斯猜想是正确的，那么虚拟哈肯猜想也是正确的。
“这种权衡很奇怪：例如，你的立方体复形可能是 10,000 维的，所以在某种程度上，看起来你好像把事情弄得更糟了，”Wise 说。“但即使立方体复形如此之大，关于它的许多特征都非常容易理解，所以它非常有价值。我们宁愿拥有一个庞大但组织良好的东西，而不是拥有一个三维流形。”
即使在 Wise 和 Bergeron 将立方体复形与虚拟 Haken 猜想联系起来之后，大多数三维流形拓扑学家仍然与立方体复形保持距离。也许这是因为 Wise 的 200 页论文看起来令人生畏，或者是因为立方体复形与他们习惯研究的空间类型截然不同。
“对于那些来自双曲几何的人来说，这些想法相当深奥，”Bergeron 说。
但是，有一位数学家已经精通三维流形拓扑以及 Wise 方法中更抽象、组合的考虑。
“我认为 Ian Agol 是唯一一个很早就理解 Wise 的想法对三维流形拓扑有用的三维流形专家，”Bergeron 说。
Agol 深入研究了 Wise 的杰作，并确信其中所有关于 Wise 猜想的部分确实是正确的。Agol 一直在研究虚拟 Haken 猜想；他意识到 Wise 的方法，将松弛的曲面分解为晶体超平面，正是他所需要的。
“立方体复形提供了一个构建有限覆盖的脚手架，”他说。
为了构建 Wise-Bergeron 立方体复形的特殊有限覆盖，Agol 首先（抽象地）将立方体复形沿超平面切割成“乐高积木”。然后，他为积木的表面分配颜色，以便在角处相遇的任何两个表面具有不同的颜色。接下来，Agol 大致表明，有一种方法可以沿着具有匹配颜色的表面将有限数量的乐高积木副本粘合在一起，使得这些表面侧面的颜色也匹配；这样，每个扩展的超平面都将是一种颜色。由此产生的立方体复形是原始立方体复形的有限覆盖，并且其所有超平面都是嵌入式的，因为任何两个相交的超平面都具有不同的颜色，因此不是同一个超平面与自身相交。
3 月 12 日，Agol 宣布他已经证明了 Wise 的猜想，从而证明了虚拟 Haken 猜想。
“这是自 Perelman 证明几何化猜想以来最激动人心的消息，”Dunfield 说。
消息迅速传遍了三维流形社区，立方体复形突然成为三维流形拓扑学家之间常见的谈话话题。
“直到现在，我认为数学界还没有意识到 Wise 的工作有多么强大，”Agol 说。“我认为我的结果会让人们更加意识到他所取得的惊人进展。”
现在，Wise 说，数学家们开始意识到“任何时候你将某物立方化，你都会揭示各种结构秘密。”
一个时代的结束
Agol 对 Wise 猜想的证明是一项四合一的交易：它不仅证明了虚拟 Haken 猜想，还证明了 Thurston 的 23 个问题中仍然未解决的其他三个问题。在证明之前的几年里，Agol 和其他数学家已经表明，所有这三个问题——虚拟纤维化猜想以及另外两个关于双曲三维流形的更技术性的问题——也是 Wise 猜想的推论。
在虚拟纤维化猜想的情况下，回想一下，目标是证明每个紧双曲三维流形都有一个在圆上纤维化的有限覆盖，这意味着它是通过将加厚的曲面的相反端粘合在一起而构建的。我们从虚拟 Haken 定理中知道，该流形具有一个 Haken 的有限覆盖——也就是说，该流形的覆盖有一个嵌入的、不可压缩的曲面。如果你沿着该曲面打开 Haken 流形，你会得到一些看起来在其末端像一个加厚的曲面，但在其“内部”具有谁也不知道的拓扑特征的东西。
2008 年，在 Calegari 称之为“惊人的突破”中，Agol 表明，满足特定技术条件的双曲三维流形一定是可以虚拟纤维化的。次年，Wise 在此发现的基础上表明，所有 Haken 流形都是可以虚拟纤维化的；也就是说，有一种方法可以展开 Haken 流形，以产生一个有限覆盖，该覆盖打开了内部复杂的拓扑结构，从而产生一个简单的纤维化流形。因此，如果一个流形是虚拟 Haken 的，那么它也必须是虚拟纤维化的。
“我认为每个人都相信虚拟 Haken 猜想最终会成立，但是虚拟纤维化猜想似乎遥不可及，”Calegari 说。“对我来说，虚拟纤维化猜想是由虚拟 Haken 猜想推导出来的这一事实是这个故事中最令人震惊的方面之一。”
随着虚拟纤维化猜想的证明，“你很可能认为这意味着三维流形真的很简单，因为在圆上纤维化的流形很简单，”Minsky 说。“但我认为这告诉我们，在圆上纤维化的流形根本不简单——它们比我们预期的更微妙。”
与此同时，虚拟纤维化定理确实意味着存在一个简单且信息丰富的配方来生成所有紧双曲三维流形：从一个加厚的曲面开始，将它的内边界和外边界表面相互粘合，并选择扭曲方式，然后将该流形自身折叠有限次数。
“如果你要我提供一个双曲三维流形，我会问你想要哪种类型——哪种纤维化以及哪个有限覆盖？”Calegari 说。“我们现在知道，通过这样做，我们不会错过任何三维流形。”
虽然数学家们需要一些时间来彻底检查 Agol 的工作，但许多人乐观地认为它会经得起考验。
“Ian Agol 不是一个马虎的人，”Minsky 说。
既然 Thurston 列表上的最后几个问题可能已经得到解决，研究人员已经开始询问在这个勇敢的后 Thurston 世界中，三维流形拓扑领域将会是什么样子。
数学家们一致认为，他们将有很多事情要做，以弄清楚 Wise 的立方体复形为可以被立方化的其他形状提供了什么见解。关于三维流形本身，数学家们已经到了一个时代的终点，Agol 说，但也到了一个新的开始。
“大多数数学领域都没有一个包罗万象的愿景来指导该领域在二三十年内发展，就像我们拥有的那样，”他说。现在，他建议，三维流形拓扑和几何可能变得更像其他领域，数学家们在这些领域中“摸索”并在没有对正在发生的事情的宏大猜想性图景的帮助下设法取得进展。
“新一代数学家将弄清楚下一个重要问题是什么，”Agol 说。
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