几何学揭示不公正划分选区的幕后伎俩

几乎没有人料到，高中时费力计算三角形面积或棱柱体积有一天会被用来影响选举结果。然而，几何学可以成为塑造选举竞争结果的强大工具——至少在 plurality 投票制度中是如此。

即使使用数学工具，为多个政党设计一个完美的选举制度也是不可能的。但是，如果像美国那样，基本上只有两个主要政党，事情应该相当明确。得票最多的政党候选人获胜，对吗？任何关注近年来美国总统选举的人都知道现实并非如此。一个重要因素是选区的实际形状。如果巧妙地设计，实际上处于劣势的政党仍然可以获得多数代表席位——这个问题在美国中期选举中绝非不存在。

数学在决定选举结果方面起着重要的作用，特别是对于众议院的 435 个席位。通过巧妙地选择国会选区的边界，即使选票计数不能公平地代表选民的意愿，一个政党也可以使其候选人获胜。

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这是一个高度简化的示例：假设一个州由 50 名选民组成，其中 20 人投票给蓝色政党，30 人投票给红色政党。选民可能以网格模式居住，例如，在曼哈顿的某些区域。假设有 10 条南北走向的大道和 5 条东西走向的街道。所有红色选民都住在最西边的前两条大道上。蓝色选民住在其他三条大道上。现在的任务是将选民划分为五个规模相等的选区。

可以绘制五条垂直边界：这样就会有两个只有红色选民的选区和三个只有蓝色选民的选区。因此，该选区的选票将产生三名蓝色政党代表和两名红色政党代表，准确地反映了选民的意见。

但是，如果蓝色政党要如愿以偿地<0xE2><0x80><0x89>划定选区边界，他们可能会倾向于水平划定边界。那么所有选区看起来都一样，每个选区都有 4 名红色选民和 6 名蓝色选民。在这种情况下，蓝色政党在每个选区都获胜，并获得所有五个代表席位。类似的事情发生在2012 年纽约州：那里 58% 的人投票给了民主党人，但该党获得了 27 个席位中的 21 个（如果选区是公平划分的，则比应有的席位多出五个）。

另一方面，州立法机构和重新划定选区界线的委员会可能会做出非常不同的（稍微复杂一些的）划分。为此，他们可以将几乎所有蓝色选民都集中到两个选区，让红色政党在剩余的三个选区中获得多数席位，在这些选区中，将有三名红色国会议员和两名蓝色女国会议员——尽管更多的选民投票给了蓝色政党。在美国国会竞选中有很多这样的例子。例如，在 2012 年的宾夕法尼亚州，民主党人获得了 51% 的选票，但仅获得 18 个席位中的 5 个。

为了获得多数席位而蓄意重新划分选区的行为被称为不公正划分选区，这是一个由“格里”和“蝾螈”组合而成的混合词。前者指的是 19 世纪早期马萨诸塞州州长埃尔布里奇·格里，他批准了形状极其怪异的选区，这让他的政党获得了优势。

即使在今天，在美国大多数州，立法机构大约每 10 年（随着新人口普查的出现）决定选区的划分。执政党一次又一次地被怀疑利用重新划分选区来为自己谋利。这通常可以在形状怪异的选区中看到，类似于 19 世纪初马萨诸塞州的选区。当时的一位漫画家注意到其中一个选区像蝾螈，因此创造了“不公正划分选区”的说法。

重新划分选区引发了许多法律挑战。1986 年，美国最高法院甚至裁定蓄意不公正划分选区是非法的。但从那时起，它几乎没有触及任何选区。事实证明，为公平划分选区制定规则并非易事。即使是数学家也在绞尽脑汁思考这个问题——并武装自己以强大的计算机能力来处理这个问题。

如何发现不公正划分选区？观察上面图片所示的马里兰州选区，您可能会怀疑设计者有某些不可告人的动机。特别引人注目的是它非常锯齿状。一种说法是，选区边界应该是“紧凑的”——但没有明确定义“紧凑”到底是什么意思。

可能存在不公正划分选区的一个可能线索是外边界的长度：选区越锯齿状，周长越大。与重新划分选区相关的文献有时提倡绘制尽可能小的圆圈来包含选区内的区域，并将其与现有边界的面积进行比较。选区的边界与圆的偏差越大，该选区为了适应党派目的而被重新划分的可能性就越大。一个选区居民之间的平均距离也可能表明存在不公正划分选区。

划分为选区绝非易事。每个州在这样做时都遵循自己的规则。理想的目标是让一个选区包含大致相等的选民人数，是连续的，不歧视种族群体，不跨越县界，并遵循河流等自然边界线。这些限制本身就会导致选区支离破碎——甚至没有考虑居民的投票行为。

正如2013 年的一项研究发现的那样，紧凑的选区不一定能带来公平的代表性。该研究特别关注了 2000 年佛罗里达州总统选举，其中投票给民主党人和共和党人的人数大致相同，但后者占佛罗里达州国会选区选票的 68%。研究人员使用了一种旨在绘制最“紧凑”选区的非党派算法，同时遵守该州已确立的规则。

令人惊讶的是，计算机也产生了有偏差的结果，其中共和党人大多会占优势。专家们很快意识到原因：大多数民主党人住在佛罗里达州的城市里。这意味着他们在城市选区以压倒性优势获胜，而在每个案例中，在农村地区则以微弱劣势落败。由于这种“自然的不公正划分选区”，不可避免地会有更多的共和党人在众议院中获得席位。

正如政治学家乔纳森·A·罗登指出的那样，佛罗里达州并非孤例。主要问题不是选区缺乏“紧凑性”。如果您想证明边界是故意划定以使一方获得优势，则您需要比选区的形状更多的证据。公正系统的目标是找到选区，以便每个政党都有平等的机会将其选票转化为选举席位。但是我们如何衡量这一点呢？2014 年，芝加哥大学法学学者尼古拉斯·斯特凡诺普洛斯和加利福尼亚州公共政策研究所政治学家埃里克·麦吉开发了一个衡量该问题的指标——效率差距。它的计算方法是从彼此的“浪费”选票中减去两个政党的“浪费”选票，然后除以所有选票的总数。在任何政党中，浪费的选票是指最终进入输给对方政党的选区或高于获胜所需票数幅度的选票。效率差距越小，结果就越公正。

为了可视化这一点，我们可以再次使用最初的示例，即 50 名选民（20 名红色，30 名蓝色），并计算不同划分的效率差距。在第一种情况下，当所有边界都垂直绘制时，第一个和第二个选区（从左侧开始）各有 10 张红色选票，每个选区浪费 4 张。另一方面，第三、第四和第五个选区各有 10 张蓝色选票，其中也有 4 张被浪费。因此，效率差距如下（竖线表示绝对值）：|(2 x 4) – (3 x 4)|/50 = 2/25 = 0.08。

在第二种划分中，每个选区都是相等的：蓝色总是以 10 票中的 6 票获胜。因此，蓝色选票没有浪费——而红色选票都被浪费了。效率差距为 20/50 = 0.4，这明显高于第一种划分。

第三个例子最有趣：蓝色以 9 比 1 获胜的两个选区每个选区都有 3 个蓝色盈余。在红色获胜的三个选区中，每个选区浪费了 4 张蓝色选票——因此总共有 (2 x 3) + (3 x 4) = 18 张蓝色选票是盈余选票。相比之下，只有两张红色选票被浪费。这导致效率差距为 (18 – 2)/50 = 8/25 = 0.32。

效率差距可用作确定选区中党派偏见的指标。但有时自然条件，例如当一个政党的几乎所有选民都住在同一个城市时，使得很难找到更好的可能性。为了研究这些可能性，统计学家 Wendy Cho 与伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的计算机科学家 Yan Liu 和地理学家 Shaowen Wang 设计了一种算法，该算法根据相关州设定的规则将地图划分为选区。

找到选区的最佳划分，使每个政党都有相同的概率将选票转化为席位，这极其困难。这项任务属于所谓的 NP 问题类别，计算机科学家和数学家几十年来一直怀疑，普通计算机无法有效地解决这些问题。这并不意味着您找不到解决方案——只是它可能需要非常非常长的时间。因此，Cho 和她的合著者决定让计算机构建大量不一定完美的分割。

例如，当他们将他们的程序应用于 2011 年的马里兰州时，他们意识到几乎所有 2.5 亿个结果都对民主党有利。显然，自然条件以及对选区的要求是这样的，共和党人自动处于不利地位。Cho 和她的同事将马里兰州的实际分配与计算机的输出进行了比较，并能够证明官方选区在超过 99.79% 的 2.5 亿个计算机生成的结果中偏袒民主党人。

与此同时，一些美国州（主要是民主党占多数的州）使用独立的委员会来重新划分选区。这些委员会通常求助于计算机程序来找到最公平的分配。总的来说，今年选区的分配似乎是 40 年来最公平的，正如《纽约时报》报道的那样。当美国所有州对两党有利或不利的选区划分决策相互抵消时，不公正划分选区应该只会为共和党人带来额外的三个席位——低于 2012 年的 23 个席位。但即使是三个席位也可能在势均力敌的选举中起决定性作用。中期选举前的新闻报道描绘了不公正划分选区仍然是一个备受公众关注的问题：阿拉巴马州立法机构重新划分了选区，将该州的大多数黑人选民划入一个选区，从而降低了他们的选举权，并导致了一起目前正在美国最高法院审理的案件。