我们常常以一种冷峻的敬畏之心看待数学。这门学科由永恒而冷静的规则和原理驱动。例如，质数的数量永远是无限的，圆周率的位数也将永远延续下去。*
然而，在这种确定性之下，隐藏着一种崇高的吸引力。一个证明或方程可以产生优雅的美学效果。例如，研究群论的数学家分析支配旋转或反射的规则。在视觉上，这些变换可以呈现出极其美丽的对称性，例如雪花的放射状图案。
一些数学家和艺术家认为在数学和艺术之间做出选择是一种错误的选择。他们选择不选择。他们使用数字和群论的语言提出问题，并在金属、塑料、木材和电脑屏幕中找到答案。他们编织、素描和建造。他们中的许多人每年都会在关于数学和艺术的国际桥梁会议上交流思想，或者在以马丁·加德纳命名的两年一度的“加德纳聚会”上会面，马丁·加德纳曾在这本杂志上撰写了25年备受赞誉的“数学游戏”专栏。
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现在，人们对数学艺术的兴趣似乎正在蓬勃发展，展览甚至学术期刊的数量都在增加。当前浪潮的根源可以追溯到20世纪末，但今天的艺术家们借鉴了更广泛的数学缪斯，并使用了更现代的工具。以下是一些最引人注目的作品。
*编者注：（9/10/18）：印刷版文章中的这句话在发布后进行了编辑，以更正一个错误。原文声明质数的数量永远是不可数的。
曼彻斯特发光通用图灵机，#23 (1998)
罗曼·韦罗斯科
韦罗斯科在20世纪40年代接受过艺术家的培训，成为一名牧师，离开神职，结了婚，解剖了计算机，并学会了用BASIC语言编码。他是算法艺术的先驱，算法艺术使用计算机程序生成新的视觉效果，他使用算法来引导笔式绘图仪的绘图臂。
他在1998年阅读了罗杰·彭罗斯1989年的著作《皇帝新脑》后创作了这件作品，该书介绍了通用图灵机（UTM）。这台机器以计算先驱艾伦·图灵的名字命名，通用版本是一种可以模拟每台专用图灵机功能的机器，这意味着它理论上可以计算任何可以计算的东西。当韦罗斯科了解到UTM时，他认为它是我们这个时代的某种基础文本，一种将永远改变文化的创造。通过他的宗教研究，他长期以来一直迷恋于泥金装饰手抄本——用金色或银色的精美插图装饰的手写中世纪文本——并认为UTM是值得照明的当代作品。
这个UTM“文本”（上图）是二进制代码，一长串0和1，计算机的语言。作为唤起中世纪抄写员作品的照明，韦罗斯科分别创作了抽象人物（左图），用绘图仪笔制作。
玻罗米环曲面 (2008)
芭丝谢巴·格罗斯曼
十多年来，格罗斯曼一直住在波士顿附近，她一直在使用3D打印技术，用金属锻造数学雕塑。她陶醉于对称性、不可能性和空间的划分。这里的三个外环互不接触，但仍然密不可分地相互连接。如果移除其中一个，另外两个就可以分开。这是一种古老的形式，称为玻罗米环，今天在国际数学联盟的标志中可以看到。
这些环是链接形式的数学家族的成员，每个成员的特征是三个闭合曲线，没有两个物理连接。它们的相互作用对研究纽结理论的数学家特别感兴趣。以玻罗米环为界的曲面称为赛弗特曲面。
格罗斯曼的雕塑一部分是纽结理论，一部分是谜题。为了突出曲面奇特的弯曲，她使用了穿孔纹理，既能与光线互动，又能吸引人们注意奇特的地形。
佛陀曼德勃罗 (1993)
梅琳达·格林
在20世纪后期，一种名为曼德勃罗集的模式席卷了数学和艺术界。这是一个分形集，以已故的法裔美国数学家本华·B·曼德勃罗的名字命名，他是第一个将分形组织成值得研究的领域的数学家。他1982年的著作《大自然的分形几何》仍然是经典之作。
该集合从复平面上的一个点开始，用二维图表示，该点用作特定方程的初始值。在进行适当的计算后，取新的答案并将其代入方程。重复。如果答案不会变得太大——稍微增加一点，稍微减少一点——那么初始点就在集合中。
此类集合的图显示了随着放大或缩小而重复出现的明显形状。但在20世纪90年代之前，曼德勃罗集有一个标准外观，使其看起来像一只大虫子，边缘散布着小虫子，而更小的虫子又附着在这些虫子上。
计算机程序员格林不喜欢“虫身”的外观。因此，她编写了一个程序，显示了某些点在平面上跳跃的更多细节。她的显示器上出现的东西令人毛骨悚然。“我不知道我是否真的掐了自己，”她说。图像是一个令人信服的佛陀的摹本，格林修改了代码以突出不同的颜色。许多数学家将数学的抽象性比作精神体验，格林的“佛陀曼德勃罗”明确地唤起了这座桥梁。
南极光 (2010)
卡洛·H·塞金
在数学艺术界，加州大学伯克利分校的计算机科学家塞金以创作数百件作品而闻名，这些作品赋予了关于曲面、扭曲和维度的深刻想法以实体。他用木材、金属和塑料制作了一个名副其实的作品动物园。
他说，这件作品的灵感来自南半球天空上演的天体灯光秀：南极光，或称南方极光。雕塑的扭曲带状物唤起了光线的旋转带状物。在雕塑中，带状物从扁平变为弯曲，再变为扁平，并与自身连接。如果您用手指追踪雕塑的蜿蜒路径，您将访问它的每个部分，并在不抬起手指的情况下回到起点。内表面也是外表面，这使其成为莫比乌斯带，这是已知的最简单的不可定向曲面，这意味着您不能对其使用“正面”或“背面”或“内外颠倒”等概念。
塞金认为，这样的视觉效果不仅引人入胜；它们还提供了接触深奥数学思想的途径。“这是一种让讨厌数学的人重新关注的方法，”他说。“这是一种将数学视为远不止死记硬背的方法。”
致谢：由戴娜·泰米娜设计、钩编和拍摄
双曲面/伪球面 (2005)
戴娜·泰米娜
泰米娜的几何手工冒险始于20世纪90年代，当时这位现已退休的数学家在康奈尔大学教授一门关于双曲几何的课程，双曲几何是非欧几何的一种类型。在欧几里得几何中，如果您有一条线和一个不在该线上的点，则只有另一条线既穿过该点又平行于您的第一条线。但在非欧几何中，可能有很多线穿过该点并且不与第一条线相交。发生这种情况是因为双曲面具有恒定的负曲率。（球体表面具有恒定的正曲率；负曲率更像您在马鞍上找到的曲率。）因此，双曲面上的三角形的角度之和小于180度。这是一种弯曲的怪异现象，就像羽衣甘蓝叶子边缘的褶边一样。
泰米娜想制作触觉模型，以便她的学生可以感受到曲率。钩编，她几乎一生都在练习，似乎是一个不错的选择。她用钩针和纱线，通过一个简单的配方创建了一个双曲面，指数级地增加了针数。这里显示的那个采用了伪球面的形式，它在任何地方都具有负曲率。
从那时起，泰米娜制作了数十个各种颜色的模型——最大的重约17磅——并且可以声称发明了“双曲钩编”。她创造令人眼花缭乱的斑点的基本方法只有一个步骤。“这很简单，”她说。“保持恒定的曲率。”
原子树 (2002)
约翰·西姆斯
数学家兼艺术家西姆斯住在佛罗里达州萨拉索塔，他的灵感来自一系列数学思想。这里的中心图像描绘了生长在分形上的树木，分形是一种自相似的模式：它在每个尺度上都相同，无论您放大还是缩小。
这种模式出现在自然界中，如茂密的西兰花冠和锯齿状山脉，科学家们已将其用于研究从宇宙结构到鸟类飞行模式的各种现象。
这个图形结合了真实树木、绘制的树木和树状分形的图像。西姆斯说，它“讲述了数学、艺术和自然的交叉点”。在“原子树”中，连接的形状充当构建块，大小重复并连接以形成一个大网络。
西姆斯在MathArt/ArtMath上首次展示了这件作品，这是他在2002年在林林艺术与设计学院共同策划的展览。他还创作了许多受圆周率数字序列启发的作品，包括被子和连衣裙。2015年，他与数学家兼艺术家维·哈特合作制作了“圆周率日圣歌”，二人组在富有感染力的鼓和贝斯节奏中背诵圆周率的数字。
致谢：灵感来自M.C.埃舍尔的素描
圣甲虫 (2018)
比雅内·耶斯佩森
耶斯佩森称自己为魔法木雕师。这位丹麦艺术家渴望令人难以置信：他希望人们看到、握住和移动他的木制作品，但仍然不相信它们。“我与其说是数学家或艺术家，不如说更像是一位魔术师，”他说。
如果您将这个球握在手中，您很快就会意识到这些甲虫中的每一个都独立于其余的甲虫抖动，但它们是相互锁定的，并且在不破坏任何东西的情况下无法从整体中移除。这个球是由一块山毛榉木雕刻而成的。
耶斯佩森的灵感来自荷兰艺术家M.C.埃舍尔，他的大部分艺术作品在精神上都是数学的。埃舍尔普及了镶嵌，镶嵌是指以重复模式组合在一起以覆盖或平铺平面的几何形状。数学家长期以来一直在研究镶嵌的性质——不仅是平面，还有更高维度的镶嵌。（埃舍尔本人受到伊斯兰艺术中镶嵌的使用启发；特别是，用于装饰西班牙南部阿尔罕布拉宫墙壁的图案。）耶斯佩森的“圣甲虫”使用小虫子作为其镶嵌的基础。