许多孩子从未掌握分数。当被问及 12/13 + 7/8 最接近 1、2、19 还是 21 时，在超过 20,000 名具有全国代表性的美国 8 年级学生样本中，只有 24% 的人回答正确。这项测试几乎是在 40 年前进行的，这让 Hugo Lortie-Forgues 和我抱有希望，认为无数教师、数学辅导员、研究人员和政府委员会的工作已经产生了积极的影响。然而，数据 让我们希望破灭；我们发现，在所有这些年中，同一问题的准确率仅从 24% 提高到 27%。
这些困难不仅限于分数估算问题，也没有在 8 年级结束。在标准的分数加法、减法、乘法和除法问题中，包括同分母（例如，3/5+4/5）和异分母（例如，3/5+2/3）的问题，6 年级和 8 年级的学生倾向于只答对约 50% 的题目。对社区大学学生的调查显示，他们的分数算术表现同样很差。美国儿童在这些问题上的表现比他们在欧洲国家（如比利时和德国）以及亚洲国家（如中国和韩国）的同龄人差得多。
这种薄弱的知识尤其令人遗憾，因为分数是许多更高级的数学和科学领域的基础。五年级学生的分数知识预测了高中生的代数学习和整体数学成绩，即使在控制了整数知识、学生的智商及其家庭的教育程度和收入之后也是如此。在最近高中 AP 化学和物理考试的参考资料中，超过一半的公式中都包含分数。在最近对 2300 名白领、蓝领和服务业工人的调查中，超过三分之二的人表示他们在工作中使用了分数。此外，在美国一项具有全国代表性的 1000 名代数 1 教师的样本中，大多数教师认为他们的学生分数知识“差”，并将分数评为学生掌握代数的第二大障碍（仅次于“应用题”）。
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为什么分数如此难以理解？一个主要原因是学习分数需要克服两种类型的困难：内在的和文化相关的。内在的困难来源是那些源于分数性质的困难，所有地方的所有学习者都会面临这些困难。一个内在的困难是用来表示分数的符号。理解关系 a/b 比理解简单的数量 a 更困难，无论孩子生活在哪个文化或时期。另一个内在的困难涉及分数算术和整数算术之间复杂的关系。例如，乘分数涉及将整数运算独立地应用于分子和分母（例如，3/7 * 2/7 = (3*2)/(7*7) = 6/49），但这样做会导致分数加法得到错误的答案（例如，3/7 + 2/7 ≠ 5/14）。第三个内在的困难来源是不同分数算术运算之间复杂的概念关系，至少在使用标准算法时是这样。为什么我们需要相同的分母才能加减分数，但乘除分数却不需要？为什么我们需要倒置并相乘来解决分数除法问题，以及为什么我们要倒置分母中的分数而不是分子中的分数？这些内在的困难来源使得所有学生都难以理解分数算术。
相比之下，文化相关的困难来源可以减轻或加剧学习分数固有的挑战。教师的理解是一个文化相关的变量：当被要求解释分数除法问题的含义时，很少有美国教师能够提供任何解释，而绝大多数中国教师至少提供一种好的解释。语言是另一个文化相关的因素；东亚语言将 3/4 这样的分数表示为“四分之三”，这使得理解它们的含义比相对晦涩的术语（如“四分之三”）更容易。第三个这样的变量是教科书。尽管除法是最难理解的运算，但美国教科书中关于分数除法的问题远少于分数乘法；中国和韩国的教科书则恰恰相反。可能最根本的是文化态度：在整个东亚，数学学习都被视为至关重要，但美国对数学重要性的态度则更加多变。
鉴于分数在校内外的重要性，大量证据表明许多儿童和成人不理解分数，以及该主题固有的难度，应该做些什么？考虑到文化相关的因素，可以采取几个可能有用的步骤。加深教师对分数的理解可能有助于他们更有效地教学。用清晰的语言向学生解释分数的含义（例如，解释 3/4 意味着 3 个 1/4 单位），并要求教科书编写者包含更多具有挑战性的问题是其他有希望的策略。解决分数算术中固有的困难来源，特别是理解分数的大小，也可以产生很大的影响。
Fraction Face-off! 是一个为期 12 周的项目，由 Lynn Fuchs 设计，旨在帮助来自低收入背景的儿童提高他们的分数知识，该项目看起来尤其有希望。该项目通过比较和排序分数大小以及在数轴上定位分数等任务来教导儿童关于分数大小的知识。在参加 Fraction Face-off! 后，四年级学生的分数加法和减法准确率始终超过接受标准课堂课程的儿童。这一发现尤其引人注目，因为 Fraction Face-off! 用于分数算术程序显性教学的时间少于标准课程。对于其他强调分数大小重要性的干预措施，也发现了类似的令人鼓舞的发现。这些项目可以通过鼓励孩子们注意到像 1/3+1/2 = 2/5 这样的答案不可能是正确的（因为总和小于其中一个被加数），从而尝试生成更合理的答案的程序，来帮助孩子们学习分数算术。这些创新的课程似乎很值得在更广泛的基础上进行测试。