每个人都喜欢未解之谜。例如，1937年艾米莉亚·埃尔哈特在太平洋上空失踪，以及1962年囚犯弗兰克·莫里斯、约翰和克拉伦斯·安格林从加利福尼亚州恶魔岛的胆大妄为的越狱。此外，即使谜题是基于一个笑话，我们的兴趣也仍然存在。以道格拉斯·亚当斯在1979年流行的科幻小说《银河系漫游指南》为例，这是五部系列小说中的第一部。在书的结尾，超级计算机“深思”揭示了“生命、宇宙和一切”的“终极问题”的答案是“四十二”。
“深思”花费了750万年才计算出终极问题的答案。被赋予获得答案任务的角色们感到失望，因为它不是很有用。然而，正如计算机指出的那样，问题本身就含糊不清。为了找到答案是42的正确查询语句，计算机将不得不构建一个新版本的自己。那也需要时间。新版本的计算机是地球。要了解接下来会发生什么，您必须阅读亚当斯的书。
作者对数字42的选择已成为极客文化的一部分。它是无数笑话和知情者之间交流的暗示的根源。例如，如果您在搜索引擎上询问“一切的答案是什么？”的变体，它很可能会回答“42”。在法语或德语中尝试一下。无论您使用谷歌、Qwant、Wolfram Alpha（专门计算数学问题）还是聊天机器人Web应用程序Cleverbot，您通常都会得到相同的答案。
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自2013年法国创建第一所此类学校以来，“42网络”中私立计算机培训机构激增，其名称显然暗示了亚当斯的小说。今天，创始公司在全球网络中拥有超过15个校区。数字42也以不同的形式出现在电影《蜘蛛侠：平行宇宙》中。许多其他关于它的参考文献和暗示可以在维基百科的“42 (数字)”条目中找到。
数字42也出现在一系列奇怪的巧合中，其意义可能不值得费力去弄清楚。例如
在古埃及神话中，在灵魂审判期间，死者必须在42位法官面前声明他们没有犯下42项罪行中的任何一项。
42.195公里的马拉松距离对应于古希腊信使斐迪庇第斯在马拉松和雅典之间跑了这么远的路程，以宣布公元前490年战胜波斯人的胜利的传说。（公里在那时还没有被定义，这一事实只会使这种联系更加令人惊讶。）
古代西藏有42位统治者。公元前127年左右统治的聂赤赞普是第一位。而公元836年至842年统治的朗达玛（即九世纪的第42年）是最后一位。
古腾堡圣经是欧洲印刷的第一本书，每列有42行文本，也被称为“四十二行圣经”。
根据3月6日《经济学人》博客文章，为纪念小说之前的广播节目《银河系漫游指南》42周年，“任何事物的42周年纪念日都很少被庆祝。”
纯粹任意的选择
一个显而易见的问题，实际上也已被提出，是亚当斯在书中对42的使用对作者是否有任何特殊的意义。他在在线讨论组alt.fan.douglas-adams上发布的答案简洁明了：“那只是个笑话。它必须是一个数字，一个普通的、较小的数字，我选择了那个数字。二进制表示、十三进制、西藏僧侣都是完全的胡说八道。我坐在办公桌前，盯着花园，心想‘42就可以了。’我把它打出来。故事结束了。”
在二进制系统或以2为底的系统中，42被写成101010，这非常简单，并且顺便说一句，促使一些粉丝在2010年10月10日（10/10/10）举行派对。亚当斯答案中提到的以13为底需要更间接的解释。在一个例子中，该系列暗示42是问题“六乘以九等于多少？”的答案。这个想法似乎很荒谬，因为6 x 9 = 54。但在以13为底的系统中，表示为“42”的数字等于 (4 x 13) + 2 = 54。
除了计算机科学家为了好玩而故意引入的关于42的暗示，以及在历史或世界中稍微探索一下时不可避免地遇到的42之外，您可能仍然想知道从严格的数学角度来看，这个数字是否有任何特殊之处。
数学上独一无二？
数字42具有一系列有趣的数学性质。以下是其中一些：
该数字是前三个2的奇数次幂之和——即 21 + 23 + 25 = 42。它是序列 a(n) 中的一个元素，该序列是 n 个 2 的奇数次幂之和，对于 n > 0。该序列对应于 整数序列在线百科全书 (OEIS) 中条目 A020988，由数学家尼尔·斯隆创建。在以2为底的系统中，第 n 个元素可以通过重复 10 n 次 (1010 ... 10) 来指定。该序列的公式为 a(n) = (2/3)(4n – 1)。随着 n 的增加，数字的密度趋于零，这意味着属于此列表的数字（包括42）非常罕见。
数字42是前两个非零整数6的幂之和——即 61 + 62 = 42。序列 b(n) 是6的幂之和，对应于 OEIS 中的条目 A105281。它由公式 b(0) = 0, b(n) = 6b(n – 1) + 6 定义。这些数字的密度在无穷大时也趋于零。
四十二是一个卡塔兰数。这些数字非常罕见，比素数还要罕见：前者只有14个低于10亿。卡塔兰数最初由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉以另一个名称提及，他想知道一个 n 边凸多边形可以通过连接顶点和线段切割成三角形的不同方式有多少种。序列的开头（OEIS 中的A000108）是 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132.... 序列的第 n 个元素由公式 c(n) = (2n)! / (n!(n + 1)!) 给出。与前面的两个序列一样，数字的密度在无穷大时为零。
卡塔兰数以法-比数学家欧仁·查尔斯·卡塔兰 (Eugène Charles Catalan) (1814–1894) 的名字命名，他发现 c(n) 是根据通常的书写规则排列 n 对括号的方式的数量：括号永远不会在打开之前关闭，并且只有当随后打开的所有括号本身都已关闭时才能关闭它。
例如，c(3) = 5，因为三对括号的可能排列方式是
( ( ( ) ) ); ( ) ( ) ( ); ( ( ) ) ( ); ( ( ) ( ) ); ( ) ( ( ) )
四十二也是一个“实用”数字，这意味着 1 到 42 之间的任何整数都是其不同除数的子集之和。第一个实用数字是 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66 和 72（OEIS 中的序列 A005153）。没有简单的已知公式提供此序列的第 n 个元素。
所有这些都很有趣，但说42在数学上真的有什么特别之处是错误的。例如，数字41和43也是许多序列的元素。您可以在维基百科上探索各种数字的属性。
什么使一个数字特别有趣或无趣是数学家兼心理学家尼古拉斯·高弗里特、计算自然科学家赫克托·泽尼尔和我研究过的问题，从分析 OEIS 中的序列开始。除了与柯尔莫哥洛夫复杂性（通过其最小描述的长度定义数字的复杂性）的理论联系之外，我们还表明，斯隆百科全书中所包含的数字指向一种共同的数学文化，因此，OEIS 既基于人类偏好，也基于纯粹的数学客观性。
三个立方和问题
计算机科学家和数学家认识到数字42的吸引力，但一直认为这是一个简单的游戏，可以用另一个数字同样好地玩。尽管如此，最近的一则新闻引起了他们的注意。当应用于“三个立方和”问题时，42比100以下的所有其他数字都更麻烦。
该问题陈述如下：哪些整数 n 可以写成三个整数立方和的形式（n = a3 + b3 + c3）？对于这样的整数，您如何找到 a、b 和 c? 实际上，进行此计算的困难在于，对于给定的 n，要考虑的三元组空间涉及负整数。因此，与平方和的计算不同，这个三元组空间是无限的。对于那个特定的问题，任何解的绝对值都低于给定 n 的平方根。而且，对于平方和，我们非常清楚什么是可能的，什么是不可能的。
对于立方和，一些解可能出奇地大，例如 156 的解，它是在 2007 年发现的
156 = 26,577,110,807,5693 + (−18,161,093,358,005)3 + (−23,381,515,025,762)3
请注意，对于 n 的某些整数值，方程 n = a3 + b3 + c3 没有解。对于任何整数 m（例如，4、5、13、14、22、23），所有可以表示为 9m + 4 或 9m + 5 的整数都是这种情况。证明这一断言很简单：我们使用“模 9”（mod 9）计算，这等效于假设 9 = 0，然后仅操作 0 到 8 之间或 −4 到 4 之间的数字。当我们这样做时，我们看到
03 = 0 (mod 9); 13 = 1 (mod 9); 23 = 8 = –1 (mod 9); 33 = 27 = 0 (mod 9); 43 = 64 = 1 (mod 9); 53 = (–4)3 = –64 = –1 (mod 9); 63 = (–3)3 = 0 (mod 9); 73 = (–2)3 = 1 (mod 9); 83 = (–1)3 = –1 (mod 9)
换句话说，整数的立方模 9 为 –1 (= 8)、0 或 1。将这些数字中的任意三个数字相加得到
0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 1 + (–1); 1 = 1 + 0 + 0 = 1 + 1 + (–1); 2 = 1 + 1 + 0; 3 = 1 + 1 + 1; 6 = –3 = (–1) + (–1) + (–1); 7 = –2 = (–1) + (–1) + 0; 8 = –1 = (–1) + 0 + 0 = 1 + (–1) + (–1)
您不能得到 4 或 5 (= –4) 的和。这种限制意味着三个立方和永远不是 9m + 4 或 9m + 5 形式的数字。因此，我们说 n = 9m + 4 和 n = 9m + 5 是禁止值。
寻找解决方案
为了说明找到方程 n = a3 + b3 + c3 的解有多困难，让我们看看当 n = 1 和 n = 2 时会发生什么。
对于 n = 1，有一个明显的解
13 + 13 + (–1)3 = 1
还有其他的吗？是的，有
93 + (–6)3 + (–8)3 = 729 + (–216) + (–512) = 1
该计算不是唯一的其他解决方案。1936年，德国数学家库尔特·马勒提出了无数个解决方案。对于任何整数 p
(9p4)3 + (3p – 9p4)3 + (1 – 9p3)3 = 1
可以使用以下显著恒等式证明此命题
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
n = 2 也已知无限组解。它是由数学家 A. S. Werebrusov 在 1908 年发现的。对于任何整数 p
(6p3 + 1)3 + (1 – 6p3)3 + (–6p2)3 = 2
通过将这些方程的每一项乘以整数的立方 (r3)，我们可以推断出对于任何整数的立方和两倍立方，也存在无限多个解。
考虑 16 的示例，它是 2 的两倍立方。对于 p = 1，我们得到
143 + (–10)3 + (–12)3 = 16
请注意，对于 n = 3，截至 2019 年 8 月，仅已知两个解
13 + 13 + 13 = 3; 43 + 43 + (–5)3 = 3
自然而然地会产生一个问题：对于每个非禁止值，是否至少有一个解？
计算机在工作
为了回答这个问题，数学家们首先取了非禁止值 1、2、3、6、7、8、9、10、11、12、15、16 ...（OEIS 中的 A060464）并逐个检查它们。如果可以为所有检查的值找到解，那么可以合理地推测，对于任何不是 n = 9m + 4 或 n = 9m + 5 形式的整数 n，方程 n = a3 + b3 + c3 都有解。
迄今为止进行的研究依赖于所使用的计算机或计算机网络的强大功能，已经产生了不断扩展的结果体系。这项工作将我们带回到著名且有趣的数字 42。
2009 年，德国数学家安德烈亚斯-斯特凡·埃尔森汉斯和约尔格·贾内尔使用哈佛大学诺姆·埃尔基斯在 2000 年提出的方法，探索了所有三元组a、b、c，其中整数的绝对值小于 1014，以找到 1 到 1,000 之间 n 的解。报告他们发现的论文得出结论，对于低于 1,000 的数字，只有 33、42、74、114、165、390、579、627、633、732、795、906、921 和 975 的解的存在性问题仍然悬而未决。对于小于 100 的整数，只剩下三个谜题：33、42 和 74。
在 2016 年的预印本论文中，现任荷兰特温特大学的桑德·惠斯曼继续努力，并找到了 74 的解
(–284,650,292,555,885)3 + (66,229,832,190,556)3 + (283,450,105,697,727)3
2019 年，英国布里斯托尔大学的安德鲁·布克解决了 33 的情况
8,866,128,975,287,528)3 + (–8,778,405,442,862,239)3 + (–2,736,111,468,807,040)3
从那时起，道格拉斯·亚当斯的数字成为低于 100 的最后一个正整数，其表示为三个整数立方和的形式未知。如果没有解，那么这个结论将为 42 的数学意义提供真正令人信服的理由：它将是第一个解似乎可能但尚未找到的数字。计算机尝试过，但未能解决这个问题。
答案在 2020 年的一篇预印本中揭晓，这是布克和麻省理工学院的安德鲁·萨瑟兰协调的大规模计算努力的结果。参与 Charity Engine 个人计算机网络的计算机，相当于计算超过一百万小时，表明
42 = (–80,538,738,812,075,974)3 + 80,435,758,145,817,5153 + 12,602,123,297,335,6313
165、795 和 906 的情况最近也得到了解决。对于低于 1,000 的整数，只有 114、390、579、627、633、732、921 和 975 仍有待解决。
对于所有不是 9m + 4 或 9m + 5 形式的整数 n，都存在解的猜想似乎得到了证实。1992 年，牛津大学的罗杰·希思-布朗提出了一个更强的猜想，即有无数种方法可以将所有可能的 n 表示为三个立方和。这项工作远未结束。
困难似乎如此艰巨，以至于问题“n 是三个立方和吗？”可能是不可判定的。换句话说，任何算法，无论多么聪明，都可能无法处理所有可能的情况。例如，1936 年，艾伦·图灵证明，没有算法可以解决每个可能的计算机程序的停机问题。但我们现在处于一个容易描述的纯粹数学领域。如果我们能够证明这种不可判定性，那将是一件新鲜事。
数字42很困难，但它不是最后一步！
本文最初发表在《科学》杂志上，并经许可转载。