在 NBC Learn 的“NFL 橄榄球科学”的勾股定理一集中，你会看到，在球场中线的防守队员必须采取正确的追击角度，才能追上沿边线冲向端区的持球球员。
在追赶持球球员时，防守队员基本上是沿着直角三角形的对角线奔跑的，其中边长的平方和等于对角线的平方。你可能知道这个由公元前 5 世纪希腊数学家毕达哥拉斯发现的关系，即 a² + b² = c²。
“c”是斜边，虽然它代表直角三角形中最长的边，但它是两端点之间的最短路径。如果三角形上的点是城市中要去的地方，如果可以直接走c，你可能就不会费心沿着a和b走了。
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但斜边并不总是最短的路线。事实上，它只是在橄榄球场和其他平面上的最短路线。在球体和其他形状上，它可能不是。
如果您在地球仪上画一个直角三角形，您就可以看到这种区别。首先，让我们在赤道上选择一个城市——为了简单起见，假设它是南美洲太平洋沿岸的厄瓜多尔的基多。从基多出发，沿着经线向北极追踪；然后向右转 90 度，然后直接返回。在赤道上，您会注意到附近有一个名为利伯维尔的城市，它是非洲国家加蓬的首都。
现在沿着地球表面画一条从基多到利伯维尔的线。你可能向东走，经过巴西和大西洋。的确，这条横跨地球四分之一的斜边标志着最短的距离。但这并不是唯一的斜边。
从数学角度来说，如果你从基多向西走，沿着赤道环绕地球到达利伯维尔，你仍然会得到一个直角三角形。在这种情况下，斜边是圆周的四分之三。从基多到北极，然后再到利伯维尔会更短。
勾股定理只适用于像足球场这样的二维表面；数学家将这种表面称为欧几里得几何（以公元前 3 世纪的希腊数学家欧几里得的名字命名）。该定理不适用于非欧几里得几何，例如球体和更复杂的几何，如马鞍。事实上，你在学校学到的所有规则，比如平行线保持平行，都只适用于欧几里得几何。在非欧几里得宇宙中，平行线实际上可能会发散或收敛。
虽然非欧几里得几何看起来可能很奇特和陌生，但它实际上在许多科学领域都很常见——也许最值得注意的是，在爱因斯坦的广义相对论中，引力可以弯曲空间和时间的形状。