编者按：本文发表于1956年，非常受欢迎，启发了马丁·加德纳的传奇《大众科学》专栏《数学游戏》。在我们的特别数字期刊《乐趣与游戏》中阅读更多内容。
数学在很大程度上归功于游戏，反之亦然。有一个引人入胜的小练习，用纸条进行，近年来吸引了一些一流的头脑。它是一位在普林斯顿大学的英国数学系学生在闲暇时发现的。整件事源于一个微不足道的情况，即英国和美国的笔记本纸张尺寸不同。亚瑟·H·斯通，一位23岁的英国研究生，于1939年秋季获得奖学金来到普林斯顿，他发现自己必须从美国笔记本纸上修剪掉一英寸，才能将它们放入他的英国活页夹中。为了消遣，他开始以各种方式折叠修剪下来的纸条，他制作的一个图形结果特别有趣。他将纸条在三个地方斜向折叠，并将两端连接起来，使其成为一个六边形[见下图插图]。当他将两个相邻的三角形捏合在一起，并将六边形相对的顶点推向中心时，六边形会像含苞待放的花朵一样再次张开，并显示出一个全新的面。例如，如果原始六边形的顶面和底面被涂成不同的颜色，那么新出现的面将是空白的，而其中一个彩色面将消失！
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三六边柔韧环是由切割纸条制成的，使其可以标记为10个等边三角形（A）。纸条沿线ab向后折叠并翻转（B）。然后再次沿线cd向后折叠，并将倒数第二个三角形放在第一个三角形的顶部（C）。现在将最后一个三角形向后折叠并粘贴到第一个三角形的另一侧（D）。该图形可以如下图所示弯曲。它不是要被剪下来的。建议使用至少一英寸半宽的相当硬的纸张。
文治·田川
这个图形有三个面——比如，红色、绿色和空白。斯通进一步试验了更长的纸条，并且凭借相当的耐心和创造性的洞察力，他能够构建一个模型，该模型具有相同的六边形形状，但可以打开到六个不同的面，而不是只有三个。在这一点上，斯通发现这个游戏非常有趣，以至于他向研究生院的朋友展示了他的纸模型。“柔韧环”很快就在午餐和晚餐桌上大量涌现。组织了一个“柔韧环委员会”，以进一步探究柔韧环的奥秘。除了斯通之外，其他成员还有数学研究生布莱恩特·塔克曼；物理学研究生理查德·P·费曼；以及年轻的数学讲师约翰·W·图基。
这些模型被命名为六边柔韧环——“hexa”代表构成六边形面的六个三角形，“flexagon”代表结构的弯曲能力。斯通的第一个模型是三六边柔韧环（“tri”代表可以显示出来的三个不同面）；他优雅的第二个结构是六六边柔韧环（代表它的六个面）。
三六边柔韧环通过捏合其两个三角形来弯曲。可以用另一只手打开两个相对三角形的内边缘（中间）。如果图形无法打开，则捏合相邻的一对三角形。如果图形打开，则可以将其翻转过来，露出之前不可见的一侧。
文治·田川
要制作六六边柔韧环，您需要从一张纸条开始（加法机中使用的纸带非常适用），该纸条被分成19个三角形[见下图插图]。您在一侧的三角形上编号1、2和3，将第19个三角形留空，如图所示。在三角形的另一侧，根据所示方案编号为4、5和6。现在您折叠纸条，使相同的底面数字彼此相对——4对4，5对5，6对6，依此类推。由此产生的折叠纸条，如下图中的第二个图所示，然后在线ab和cd上向后折叠[插图中的第三个图]，形成六边形[插图中的第四个图]；最后，将空白三角形翻转到下方并粘贴到纸条另一侧的相应空白三角形上。所有这些用标记好的纸条进行比描述更容易执行。
六六边柔韧环是由切割纸条制成的，使其可以标记为19个三角形（A）。一侧的三角形编号为1、2和3；另一侧的三角形编号为4、5和6。也可以使用类似的颜色或几何图形图案。然后如图所示折叠六边形。该图形可以弯曲以显示六个不同的面。
文治·田川
如果您正确地进行了折叠，则六边形的一个可见面上的三角形都编号为1，而另一面上的三角形都编号为2。您的六六边柔韧环现在可以弯曲了。您将两个相邻的三角形捏合在一起，沿着它们之间的线弯曲纸张，然后推入相对的顶点；然后图形可能会打开以显示面3或5。通过随机弯曲，您应该能够毫不费力地找到其他面。面4、5和6比1、2和3更难揭示。有时您可能会发现自己陷入一个令人恼火的循环中，该循环不断重复返回相同的三个面。
塔克曼很快发现，显示任何柔韧环的所有面的最简单方法是保持在同一顶点弯曲它，直到它拒绝打开，然后转移到相邻的顶点。此过程称为“塔克曼遍历”，将在12次弯曲的循环中显示六六边柔韧环的六个面，但1、2和3面出现的频率是4、5和6面的三倍。
“塔克曼遍历”在12次弯曲中显示了六六边柔韧环的所有六个面。在此，前图中柔韧环的数字已被相同模式的几何图形取代。面1、2和3出现的频率是面4、5和6的三倍。
文治·田川
委员会发现，通过加长三角形链，可以制作具有9、12、15个或更多面的柔韧环：塔克曼设法制作了一个可行的48面模型！他还发现，使用锯齿形纸条（即，边缘为锯齿状而不是直线的纸条），可以制作四六边柔韧环（四个面）或五六边柔韧环。有三种不同的六六边柔韧环——一种由直纸条折叠而成，一种由弯曲成六边形的链条折叠而成，还有一种由有点像三叶草的形状折叠而成。十六边柔韧环（10个面）有82种不同的变体，全部由奇特弯曲的纸条折叠而成。柔韧环可以形成任意所需的面数，但超过10个面后，每种物种的不同变体数量会以惊人的速度增加。顺便说一句，所有偶数面的柔韧环都是由具有两个不同面的纸条制成的，但具有奇数面的柔韧环只有一个面，就像莫比乌斯曲面一样。
图基和费曼在1940年制定了一个完整的柔韧环数学理论。它显示了除其他外，如何精确地构建任何所需尺寸或种类的柔韧环。该理论从未发表过，尽管此后其他数学家重新发现了其中的一部分。柔韧环研究者中包括塔克曼的父亲，杰出的物理学家路易斯·B·塔克曼，他以前在国家标准局工作。塔克曼高级工程师为该理论设计了一种简单而有效的图解符号。
珍珠港事件叫停了委员会的柔韧环计划，战争工作很快将四位创始成员分散到各地。斯通现在是英国曼彻斯特大学的数学讲师。费曼现在在加州理工学院，是一位著名的理论物理学家。图基是普林斯顿大学的数学教授，他对拓扑学和统计理论做出了杰出贡献，这为他赢得了世界范围的认可。塔克曼是普林斯顿高等研究院的著名数学家，他在该研究院的电子计算机项目上工作。
委员会希望有一天能共同撰写一两篇论文，这将是对柔韧环理论的权威阐述。在那之前，我们其他人可以自由地弯曲我们的柔韧环，看看我们自己能发现多少理论。