正如伽利略曾经宣称的那样，如果自然之书是用数学语言写成的，那么新冠肺炎疫情已经让全世界的数学家们切身体会到了这一真理，他们被冠状病毒的迅速传播所激励。
今年到目前为止，他们参与了所有事情，从揭示新型冠状病毒的传染性有多强，我们应该彼此保持多远距离，感染者可能传播病毒多久，单一毒株如何从欧洲传播到纽约，然后在美国各地爆发，以及如何“拉平曲线”以拯救数十万人的生命。建模还有助于说服疾病控制和预防中心，病毒可以通过空气传播，并通过悬浮在空中的气溶胶传播数小时。
目前，许多人正在努力解决一个特别紧迫且棘手的研究领域：模拟疫苗的最佳推出方案。由于疫苗供应最初将受到限制，因此关于谁应该首先接种这些疫苗的决定可能会挽救数万人的生命。现在这一点至关重要，因为关于两种候选疫苗的早期结果令人鼓舞——一种来自辉瑞和 BioNTech，另一种来自Moderna——这两种疫苗可能非常有效，并且这些公司可能会向食品和药物管理局申请紧急授权。
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但是，佐治亚理工学院医学与医疗保健运筹学中心主任李慧敏说，弄清楚如何在正确的时间将疫苗（目前有近 50 种疫苗正在人体临床试验中）分配给正确的群体是“一个非常复杂的问题”。李慧敏曾模拟过寨卡病毒、埃博拉病毒和流感的疫苗和医疗用品的分配策略，现在正在研究新冠病毒。她说，冠状病毒“具有极强的传染性，而且比流感致命得多”。“我们从未受到过病毒如此严峻的挑战。”
耶鲁大学公共卫生教授霍华德·福尔曼说，“我们上次使用全新疫苗进行大规模疫苗接种”是在天花和小儿麻痹症时期。“我们正在步入一个我们不熟悉的领域。”他说，过去几十年来的所有其他疫苗要么已经过多年的测试，要么就是非常缓慢地推出的。
由于新冠肺炎对于 65 岁以上的人以及患有肥胖症、糖尿病或哮喘等其他健康问题的人尤其致命，但健康年轻人更容易康复，因此健康年轻人迅速而广泛地传播了新冠肺炎，数学家在为疫苗建模时面临两个相互冲突的优先事项：他们应该预防死亡还是减缓传播？
大多数建模者的共识是，如果主要目标是大幅降低死亡率，官员必须优先为老年人接种疫苗；如果他们想减缓传播，他们必须针对年轻人。
哈佛大学流行病学家马克·利普西奇说：“几乎无论如何，你都会得到相同的答案。”他说，首先为老年人接种疫苗以预防死亡，然后再转向其他更健康的群体或普通人群。最近一项研究模拟了新冠肺炎可能在六个国家（美国、印度、西班牙、津巴布韦、巴西和比利时）的传播方式，并得出结论，如果主要目标是降低死亡率，则应优先为 60 岁以上的成年人直接接种疫苗。这项研究由科罗拉多大学博尔德分校的丹尼尔·拉雷莫尔和凯特·布巴尔、利普西奇及其同事进行，已作为预印本发表，这意味着尚未经过同行评审。当然，在考虑新冠肺炎对少数族裔（尤其是黑人和拉丁裔社区）的巨大影响时，还需要考虑其他优先事项。
正如应用数学家、西雅图弗雷德·哈钦森癌症研究中心的副研究员劳拉·马特拉伊特在一封电子邮件中写道的那样，大多数建模者都认为“关于冠状病毒的一切都在以光速变化”。这包括我们对病毒如何传播、如何攻击人体、同时患有其他疾病可能会增加风险以及导致超级传播事件的因素的理解。
到目前为止，这项研究已经产生了一些令人惊讶的结果。例如，虽然儿童通常是流感疫苗的优先接种对象，但专家表示，在美国，幼儿应该是新冠疫苗的较低优先级，因为到目前为止，年轻人一直是传播的主要驱动力。（在全球范围内情况并非一定如此；例如，在印度，多代人经常居住在较小的空间里，新的研究表明，儿童和年轻人都在所研究的两个邦传播了大部分病毒。）
此外，一些模型表明，即使疫苗的部署率较低且仅部分有效，也可以在对抗疫情方面取得重大进展。其他一些模型则强调了当地感染率和传播率的重要性。李慧敏对疫情起源、毒性和可能的全球轨迹的早期评估被证明非常准确，她表示，如果大约 40% 的人口接种疫苗，纽约可能会控制住病毒，因为当地病毒传播率相当低（截至 11 月 16 日，阳性率略低于 3%），并且大约 20% 的人已经感染。
拉雷莫尔说：“人群中已经拥有抗体的人的比例越高，你的投入就越划算，因为你可以优先为那些没有抗体的人接种疫苗。”
李慧敏说，所有这些发现都很重要，因为“归根结底，你永远不会有足够的疫苗供全体人口使用”，而且并非所有美国人都会接种疫苗。事实上，世界卫生组织最近预测，健康的年轻人甚至可能要到 2022 年才能接种疫苗，在此之前，老年人、医护人员和其他高危人群将优先接种。
为了模拟疫苗的推出，数学家必须建立反映人类生活和我们复杂互动的公式，使用住房和社会经济地位、日常习惯、年龄和健康风险等数据。但他们首先要确定病毒的传染性——其繁殖率，或“R-naught”。这表示一个感染者预计会传染给多少人。
当一部分人（取决于 R-naught）获得免疫力（通过从自然感染中康复（如果自然感染赋予免疫力）或通过疫苗接种）时，就实现了群体免疫。这意味着，虽然可能仍然会发生小规模爆发，但疫情不会再次在全球范围内爆发。鉴于导致新冠肺炎的病毒 SARS-CoV-2 的 R-naught 值，世界卫生组织估计，需要 65% 到 70% 的人口获得免疫力才能实现这一目标。
模拟疫苗的推出需要复杂的技巧，虽然去年春天令公众着迷的拉平曲线模型花了数周时间才制作完成，但疫苗分配模型却需要数月时间。建模者面临着无数实际挑战。首先，目前正在研发中的许多疫苗（包括来自辉瑞和 BioNTech以及Moderna的两种候选疫苗）需要注射两剂，间隔数周，这涉及到登记和后续跟踪，以确保人们获得第二次关键的加强针。正如《纽约时报》在 9 月下旬指出的那样，“公司可能必须将微小的玻璃瓶运输数千英里，同时保持它们像隆冬南极一样寒冷。”
还存在疫苗效力的问题。给定的疫苗是否会提供强大的免疫力，并且在所有人群中都有效？或者它是否主要缩短感染持续时间并减轻症状，但这仍然对降低死亡率和传播率具有重要价值？如果疫苗在老年人中的效果较差，又该怎么办？马里兰大学医学院疫苗开发和全球健康中心主任凯瑟琳·纽齐尔表示，目前，使用信使 RNA 的疫苗（包括 Moderna、辉瑞和 BioNTech 生产的疫苗）“在老年人中看起来相当不错”。对两种候选疫苗的初步分析表明，它们的有效率可能超过 90%。
最后，还存在一个令人烦恼的问题，即感染后免疫力可能持续多久。对于某些病毒，例如引起水痘的带状疱疹病毒，免疫力可以持续数十年。对于其他病毒，例如包括 SARS-CoV-2 和普通感冒在内的冠状病毒家族，该病毒具有相对较高的突变率，这可能会保护新型毒株免受我们抗体的侵害。这种不确定性很难精确建模，因此许多建模者暂时假设，至少目前，那些已被感染的人具有免疫力。
西雅图弗雷德·哈钦森癌症中心的马特拉伊特生动地回忆起，当她去年四月开始与同事合作开发疫苗接种模型时，从零开始构建模型是多么困难。“有太多的不确定性，”她回忆道。研究人员共同开发了基于大约 440 种参数组合的算法，从传播到免疫力再到年龄组和死亡率。他们的计算机花了近 9,000 个小时运行方程式，他们的模型于 8 月作为预印本发表，结果表明，如果最初疫苗供应量很少，如果目标是减少死亡人数，则应优先考虑老年人。
但是，对于有效率至少为 60% 的疫苗，一旦有足够的疫苗覆盖至少一半人口，转向以 20 至 50 岁的健康个体以及儿童为目标，将最大限度地减少死亡人数。该模型还预测了不同疫苗覆盖率可以避免多少死亡。例如，如果 20% 的人口已经感染并具有免疫力，如果疫苗的有效率至少为 50%，那么只需为剩余人口的 35% 接种疫苗，死亡人数就可能减半。
在马特拉伊特及其同事的模型中，一旦 60% 的人口获得免疫力，就实现了群体免疫。“不同的模型给出不同的数字是完全正常的，”她说，并解释了为什么她的估计与世界卫生组织的 65% 的数字略有不同。
加州大学戴维斯分校的环境和资源经济学家迈克尔·斯普林伯恩说，该模型“在查看大量合理的案例方面做得非常出色”，他刚刚与加州大学戴维斯分校的同事杰克·巴克纳以及佐治亚州立大学的数学流行病学家杰拉尔多·乔维尔完成了他自己的模型。他们的研究以预印本形式发布，也表明了谨慎的初始目标定位在降低死亡人数方面的作用。
斯普林伯恩说，这些模型表明，即使是部分有效的疫苗只提供给部分人口，“也可以在减少感染和降低死亡人数方面取得很大进展。”
李慧敏使用她于 2003 年首次开发的软件（与美国疾病预防控制中心合作开发，用于在自然灾害和大流行期间分配物资）创建的建模分析了在感染率不同且疫苗供应最初稀缺的地区如何控制疾病。在春季遭受重创的纽约市，她的模型预测，大约需要 60% 的人口获得免疫力才能控制住疫情。假设 20% 的人已经感染，那么大约需要 40% 的人接种疫苗。然而，在感染率较低的圣地亚哥，李慧敏的模型表明，需要 65% 的人通过感染或接种疫苗获得免疫力。在休斯顿，这个数字可能高达 73%，因为感染持续“缓慢蔓延”，而且该市拉丁裔和非裔美国人弱势群体庞大，他们承担了不成比例的风险。
李慧敏警告说，这些结果并不意味着你可以突然去休斯顿观看足球比赛或在纽约观看百老汇演出，但这确实意味着，在持续采取预防措施的情况下，在更多疫苗到来之前，病毒很可能会在她的模型中给出的百分比内得到控制。
虽然他们的结果各不相同，但大多数模型都认为某些因素至关重要，特别是年龄组，年龄组会改变感染、传播和死于病毒的风险。这并非总是可以预测的：例如，猪流感在一定程度上幸免于老年人，而 SARS-CoV-2 对 65 岁以上的人造成了严重影响。65 岁及以上的成年人占美国人口的 16%，但约占 新冠肺炎死亡人数的 80%。
此外，年龄间接影响传播模式。2009 年，耶鲁大学流行病学家艾莉森·加尔瓦尼和简·梅德洛克在《科学》杂志上发表了一个数学模型，表明除了老年人之外，针对儿童和年轻人接种流感疫苗可以将猪流感感染人数从 5900 万人减少到 4400 万人；对于季节性流感，8300 万人感染可能会骤降至 4400 万人。事实证明，儿童在流感传播中起着不成比例的作用，保护儿童就是保护整个社会。
这项研究以及其他类似的研究启发了美国疾病预防控制中心改变政策，优先为儿童接种疫苗。“这是我们思考疫苗方式的一次革命，”拉雷莫尔说。疫苗接种模型现在通常会考虑通过为最负责传播的人接种疫苗来间接保护最脆弱人群的力量。
年龄也以复杂的方式与不同地区的社会联系相互作用。例如，美国非裔美国人和拉丁裔社区受新冠肺炎的打击尤其严重，部分原因是多代人同住的现象普遍存在：老年人更容易接触到可能是感染最有可能携带者的年轻人。
建模连通性需要绘制网格来表示我们如何生活以及彼此之间的移动。2008 年，一篇里程碑式的论文构建了一个网格，流行病学家至今仍在世界各地使用。它根据年龄将人群分为从出生到 70 岁及以上的不同群体。在这项研究中，超过 7,000 人记录了他们一天中的接触情况（近 98,000 次）。联系方式按地点（家庭、学校、工作、休闲）和性质（身体接触或非身体接触、短暂或持久）进行分类。该模型发现，当一种新的病原体开始在完全易感人群中传播时，5 至 19 岁的儿童往往感染率最高，这可能是因为他们与他人的接触更频繁且更具身体性。它还表明，一个社会的联系网格如何深刻地影响传播。
该模型在 2017 年在全球范围内扩展，包括 152 个国家/地区的联系率。“这是我们都在使用的模型，”马特拉伊特说，“因为它是我们用来识别人们如何相互联系的最佳工具。”她将联系网格纳入了她的模型。
例如，拉雷莫尔说，“如果孩子真的是社会构建的中心，那么如果你为孩子接种疫苗，你就会破坏传播网络，那么这将为我们提供一种完全不同的疫苗推出方式。”
最初的网格依赖于日记。今天，我们通过实时手机和在线活动收集数据的能力可能更强。
斯普林伯恩说，当今年春天社交疏远变得普遍时，它极大地改变了典型传播模型的输入。华盛顿大学健康指标与评估研究所的数据显示了社交疏远在减少传播方面的力量。斯普林伯恩在一封电子邮件中写道，先前研究中的联系网格“来自疫情之前”。“我们知道，在社交疏远的情况下，联系率非常不同，我们希望考虑到这一点。我们预计，随着感染人数的下降，社交疏远会减弱。人性：随着风险降低，降低风险的行为也会随之降低。”
这也需要建模。它将影响对疫苗推出和成功的预期。事实上，李慧敏认为，如果我们现在有 90% 的人遵守戴口罩和保持社交距离的规定，我们就可以在没有疫苗的情况下控制住病毒。
在斯普林伯恩、巴克纳和乔维尔的研究中，社交疏远是通过为必要行业和非必要行业的工作人员创建按年龄分层的类别来建模的。必要行业的工作人员（医护人员、杂货店工作人员和许多教师等）感染风险很高，因为他们无法保持社交距离。该模型发现，当优先为必要行业的工作人员接种疫苗时，死亡人数以及总的生命损失年限都会大幅减少。作者认为，如果目标是最大限度地减少死亡人数，则应首先优先为 40 至 59 岁之间的年龄较大的必要行业工作人员接种疫苗。
斯普林伯恩说，如果没有疫苗，2021 年前六个月可能会有大约 179,000 人死亡。他的团队的模型表明，只需逐步推出疫苗，每月为 10% 的人口接种疫苗，并在不优先考虑任何群体的情况下统一分发疫苗，死亡人数就可以降至约 88,000 人。但是，根据人们的年龄以及他们是否是必要行业的工作人员，以有针对性的方式分发疫苗可能会再挽救 7,000 至 37,000 人的生命，具体取决于具体情况。
除了日记和手机数据之外，还有其他方法可以梳理社会联系。人口普查和其他数据反映了年龄、职业和社会经济地位，李慧敏将它们纳入了她的模型。“邮政编码提供了大量信息，”她说。关于疾病流行和住院的公共卫生数据可以梳理出新冠肺炎患者患有的其他无关疾病，以及特定地区的脆弱性。即使是一个城市的住房信息，无论是摩天大楼还是独栋住宅，也可以提示人们居住的密集程度以及他们互动的可能性。输入此类数据可以实现对当地情况敏感的疫苗推出。李慧敏说，她需要对美国各地约 500 个代表性城市进行建模，才能准确覆盖全国。
尽管模型功能强大，但它们是不完善的指南。它们不可避免地与深刻而广泛的社会问题相交织。疫情对少数族裔和低收入人群造成了不成比例的伤害和死亡。因此，世界卫生组织新冠疫苗 SAGE 工作组成员、芬兰国家健康与福利研究所传染病控制和疫苗接种部门副主管汉娜·诺希内克表示，各个团体正在研究应该为疫苗分配提供框架的伦理原则。
在美国，国家科学、工程和医学院已经开始建模疫苗的公平分配。此外，还出现了另外两个重要的模型，一个与宾夕法尼亚大学医学院相关，另一个与约翰·霍普金斯大学相关。两者都以对伦理、公平、最大化利益、建立信任和更大的公共利益的关注为指导。
但在实践中，建立信任可能具有挑战性。例如，人们普遍承认，与白人相比，黑人的住院率和死亡率高得不成比例。然而，当伦理学家开始谈论优先为黑人接种疫苗时，这可能会被视为一种通过将他们推到队伍的最前面来对他们进行实验的意图。医学伦理学家、著作《医学种族隔离》的作者哈丽雅特·华盛顿说，如果非裔美国人对此感到担忧，这是对“非洲裔美国人在医疗领域遭受数百年虐待的漫长历史”的合乎逻辑的反应。
最终，伦理模型和数学模型都必须面对现实世界的实用性。哈佛大学流行病学家利普西奇说：“这很困难，因为数学本质上归结为功利主义的计算。”
尽管如此，拉雷莫尔说，这些模型将有助于指导我们度过不确定的早期。“疫苗的推出需要一段时间，”他说。“我们不能在疫苗宣布的那一刻就放松警惕。”
