从洋葱圈到土星环，所有圆都具有一个奇妙的特性：它们的周长大约是直径的三倍。更精确地说（尽管仍然不完全精确），周长是直径的 3.14159 倍，即 圆周率 倍。
圆是如此基本的形状，以至于圆周率这个支配它们的数字，在数学世界中留下了它的印记。圆周率是一个无理数，这意味着它的十进制展开既不终止（如四分之一：0.25），也不重复（如三分之一：0.33333…）。对于这样一个完美对称——曾经被认为是神圣的——形状，圆竟然服从像圆周率这样无序、异常的数字，这似乎令人惊讶。宇宙为什么不为它最简单的形状选择像 3 这样的正常比率，让 圆周率爱好者 感到懊恼呢？
实际上，数学家们相信圆周率是正规的——无论是在通俗意义上还是在技术意义上。正如我们将看到的，正规数既是奇异的又是平凡的。如果圆周率是正规的，那就意味着这个常数包含的远不止莎士比亚的作品，而且它也可能解开为什么这样一个看似随机的数字存在于简单圆的中心这个谜团。
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正规数的十进制表示形式包含从 0 到 9 的每个数字的频率均等，并且包含从 00 到 99 的每个两位数序列的频率均等。对于三位数序列以及更长的序列，情况也是如此。从长远来看，十进制展开不会偏爱任何特定的数字或它们的模式。直观地说，如果您从一个正规数中随机选择一个数字，那么它有十分之一的概率是 7，也有十分之一的概率是 0。如果您选择两个连续的数字，那么它应该有百分之一的概率是 63 或任何其他两位数序列。
为了理解正规数有多么奇异，让我们想象一下，用正规数的数字来编码文本：01 代表 “a”，02 代表 “b”，依此类推，为每个字母和标点符号指定唯一的两位数。一个连续的数字串可以编码一个单词，例如 160905 转换为 “pie”。通过这种设置，正规数包含了所有已经写出或可能被写出的文本。在无限小数的遥远之处，你会找到碧昂丝的所有歌词、本文的精确副本、关于你明天会发生什么事情的详细描述、你曾经有过的每一次对话的逐字记录，以及，是的，莎士比亚的每一部作品。你还会找到这些文本的每一个变体，包括克劳狄斯只说猪拉丁语的哈姆雷特，以及关于你明天会发生什么事情的无数虚假叙述，所有这些都夹杂在大量的乱码之中。
文本越长，你可能需要搜索的小数点后的位数就越远。单词 “bard”，在我们的方案中编码为 02011804，在圆周率中超过 8200 万位数字之后首次出现。你必须深入难以想象的深度，才能偶然发现一首十四行诗，更不用说整部戏剧了。但是无限是不会耗尽空间的。
仅仅因为一个小数是无限且不循环的（即，无理数），并不意味着这个数字就一定会被归类为正规数。例如，考虑数字 0.01001000100001…，其中越来越多的零分隔开一。这个小数永远延续下去，永远不会陷入重复循环，但即使是简单的数字 “7” 和 “11” 也永远不会出现。
数学家们尚未能够证明圆周率是正规的。从技术上讲，一个数字可以包含所有文本，而无需像正规性要求的那样，每个字符串都以相同的频率出现。这种较弱的条件被称为析取性，我们也不知道圆周率是否具有析取性。事实上，任何单个数字都可能不会在圆周率中无限次出现。就我们所知，在万亿位数字之后，数字 5 可能永远不会在圆周率中再次出现。对数万亿位圆周率数字的统计测试确实与正规性相符，但是测试任何有限数量的数字永远不足以作为证明。
数学家们认为圆周率、欧拉数 (e)、二的平方根以及您最喜欢的其他大多数无理数都是正规的。然而，证明任何特定数字是正规的都非常困难。我们只知道少数几个具体的例子，最简单的是Champernowne 常数。要构造这个数字，您只需在小数点后按升序连接所有整数
.12345678910111213…
尽管 Champernowne 常数可能看起来很傻，但它是最早被证明为正规数的特定数字的例子之一，而且证明过程并不简单。
鉴于正规数的奇怪特性以及我们所知的具体例子如此之少，为什么我们会怀疑圆周率是正规的呢？这里有一个平凡（但也令人惊奇）的部分：几乎所有数字都是正规数。如果您闭上眼睛，在数轴上随机选择一个点，那么您选择一个正规数（因此也是一个编码了莎士比亚全部作品的数字）的概率，嗯，是 100%。通常我们认为 100% 的概率是“保证会发生”，但是当处理无限集合时，这种含义就失效了。当然，可能您碰巧选择了一个像 743 这样的整数或像 ⅘ 这样的分数，它们都不是正规数，但是正规数的密度如此彻底地使这些可能性相形见绌，以至于将概率称为 100% 是合适的。我们将暂且搁置细节，但是在无限附近，概率变得很奇怪。
所有这一切都类似于著名的思想实验，该实验表明，猴子在打字机上随机敲击最终会产生莎士比亚的全部作品。同样，你可能不得不等待亿万年，它们才能敲出《麦克白》的第一幕，但与无限相比，亿万年只是小菜一碟。当然，这个思想实验忽略了地球上的担忧，例如宇宙最终的死亡，或者给真猴子配备真键盘的猴子往往会在键盘上排泄，而不是尽职尽责地输入一连串随机字符。
这两个类比——在数轴上选择一个点，以及打字的猴子——都暗示了正规数的另一种表征：它们的行为类似于随机的数字字符串。如果您无限次地掷一个包含数字 0 到 9 的 10 面骰子并记录结果，您将产生一个正规数。大多数数字连续统都充满了这种静态噪声——混沌的正规数，它们只是偶然地不时包含连贯秩序的片段。我们习以为常的数字，例如 743 这样的整数和 ⅘ 这样的分数，是特殊的异常值。
我们以一个哲学问题开始：为什么简单而对称的圆受像圆周率这样无序的常数支配？对这个谜团的一种可能的解释是，它实际上根本不应该让我们感到惊讶。圆周率很可能是正规数，而在自然界中找到正规数就像在干草堆中找到干草一样不足为奇。