在1995年的电影《玩具总动员》中，干劲十足的太空动作人偶巴斯光年不知疲倦地念着他的口头禅：“飞向宇宙，浩瀚无垠！” 当然，这个笑话的根源在于人们理所当然地认为无穷大是不可逾越的绝对——不存在超越无穷大的事物。然而，这种假设并非完全站得住脚。正如德国数学家格奥尔格·康托尔在19世纪后期证明的那样，存在各种各样的无穷大——而且可以根据它们相对的大小进行分类。
自然逻辑
以所谓的自然数为例：1、2、3，以此类推。这些数字是无界的，因此，所有自然数的集合在大小上是无限的。但是它到底有多无限呢？康托尔用一个巧妙的论证表明，自然数虽然是无限多的，但实际上比另一类常见的数字——实数——要少。实数集包括所有可以表示为小数的数字，即使小数表示是无限长的。因此，pi (3.14159...) 是一个实数，27 也是实数（它既是自然数又是实数）。
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康托尔的论证使用了反证法的逻辑：他首先假设这两个集合的大小相同；接下来，他遵循一系列逻辑步骤，找到了一个可以推翻这一假设的缺陷。他推断，如果自然数和实数具有相同数量的成员，那么这两个集合就可以建立一一对应关系。也就是说，它们可以配对，以便每个集合中的每个元素在另一个集合中都有一个——且只有一个——“伙伴”。
这样想：即使在没有数字计数的情况下，也可以使用一一对应关系来衡量相对数量。想象一下两个大小未知的箱子，一个装苹果，一个装橙子。一次取出一个苹果和一个橙子，从而将这两个集合配对成苹果-橙子对。如果两个箱子的内容物同时清空，则这两个箱子包含相同数量的水果；如果一个箱子在另一个箱子之前耗尽，则剩余食物的箱子数量更多。
巧妙的数学
因此，康托尔首先假设自然数和实数之间存在这样的一一对应关系。因此，每个自然数n都有一个实数伙伴rn。然后，实数可以按照它们对应的自然数的顺序排列：r1、r2、r3，依此类推。
然后康托尔狡猾的一面就显现出来了。他创建了一个实数，称为p，其规则如下：使p的小数点后第n位数字与rn中相同小数位上的数字不同。一个简单的方法是：当有问题的数字是4时，选择3；否则，选择4。
为了演示，假设自然数1的实数伙伴是27（或27.00000...），2的伙伴是pi (3.14159...)，3的伙伴是乔治·W·布什总统在2000年获得的普选票份额 (0.47868...)。现在按照康托尔的构造创建p：p的小数点后第一位数字应该不等于r1 (27) 的小数点后第一位数字，即0。因此，选择4，p以 0.4.... 开头。（小数点前的数字可以是任何数字；这里为了简单起见使用 0。）然后选择p的小数点后第二位数字，使其不等于r2 (pi) 的小数点后第二位数字，即 4。选择 3，现在 p = 0.43.... 最后，选择p的小数点后第三位数字，使其不等于r3（布什总统的百分比）的相应小数位上的数字，即 8。再次写下 4，使 p = 0.434.... 因此，您得到
这种数学方法（称为对角化）在列表中无限延续下去，生成了一个实数 (p)，根据其构造规则，该实数与列表中的每个实数在至少一位小数位上都不同。因此，它不可能在列表上。
换句话说，对于自然数和实数的任何配对，都存在一个没有自然数伙伴的实数p——一个没有橙子的苹果。因此，实数与自然数之间的任何一一对应关系都失败了，这意味着实数的无穷大在某种程度上大于自然数的无穷大。