想要预测受量子力学支配的系统行为的研究人员——例如原子中的电子，或穿梭于太空中的光子——通常会求助于薛定谔方程。奥地利物理学家埃尔温·薛定谔在1925年提出的这个方程，描述了亚原子粒子以及它们如何表现出波状性质，例如干涉。它包含了量子世界中所有看似奇怪和违反直觉的本质。
但薛定谔方程似乎并不局限于那个领域。在1月份发表于《皇家天文学会月刊》上的一篇论文中，加州理工学院的行星科学家康斯坦丁·巴蒂金声称，这个方程也可以用来理解自引力天体物理盘的出现和行为。也就是说，像土星和天王星的光环这样的天体，或者围绕年轻恒星并为行星系统形成提供原材料的尘埃和气体晕，甚至是碎片螺旋进入黑洞的吸积盘。
然而，这些东西根本没有“量子”特性。它们可以是任何东西，从小小的尘埃颗粒到小行星或行星大小的大块岩石。尽管如此，巴蒂金说，薛定谔方程提供了一种计算这种盘状结构将具有什么形状，以及它抵抗弯曲或变形的稳定性的便捷方法。“这是一种引人入胜的方法，综合了非常古老的技术，对一个具有挑战性的问题进行了全新的分析，”苏格兰圣安德鲁斯大学的天体物理学家邓肯·福根说，他没有参与这项研究。“薛定谔方程已经研究了近一个世纪，这种联系显然很方便。”
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从经典到量子
这个方程经常被认为是“量子性”的精髓，以至于很容易忘记它真正代表什么。在某种程度上，当被要求为法国物理学家路易·德布罗意的假设（量子粒子可以像波一样表现）提出一个数学公式时，薛定谔就像变魔术一样把它变了出来。薛定谔借鉴了他对经典力学的深刻知识，他的方程在许多方面类似于用于普通波的方程。一个不同之处在于，在量子力学中，“粒子波”的能量是量子化的：被限制在离散值，这些值是所谓的普朗克常数h的倍数，普朗克常数h是德国物理学家马克斯·普朗克在1900年首次提出的。
薛定谔方程与经典波的关系已经在一种称为非线性薛定谔方程的变体中揭示出来，该变体通常用于描述其他经典波系统——例如在光学甚至海浪中，它提供了一个数学图像，描绘了异常巨大且稳健的“流氓波”。
但是，正常的“量子”版本——线性薛定谔方程——以前从未在经典背景下出现过。巴蒂金说，它之所以出现在这里，是因为他设置自引力盘问题的方式创造了一个在问题中设置特定“尺度”的量，就像h在量子系统中那样。
环状物理学
无论是围绕年轻恒星还是超大质量黑洞，自引力碎片盘中许多相互作用的天体在数学上都很难描述。但是巴蒂金使用了一个简化的模型，其中盘的组成部分被涂抹和拉伸成细“线”，这些细“线”在整个盘中呈同心椭圆环状。由于这些线通过引力相互作用，它们可以在彼此之间交换轨道角动量，很像自行车齿轮轴承和车轴之间的运动传递。
这种方法使用了18世纪数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯和约瑟夫-路易斯·拉格朗日提出的思想。拉普拉斯是最早研究旋转的天体团块如何坍缩成盘状结构的人之一。1796年，他提出我们的太阳系是由围绕年轻太阳旋转的大片气体和尘埃云形成的。
巴蒂金和其他人以前也使用过这种“线”近似，但他决定研究极限情况，即环状线越来越细，直到它们合并成一个连续的盘。在那个极限中，他发现描述该系统的方程与薛定谔方程相同，盘本身由波函数的类似物描述，该波函数定义了量子粒子的可能位置分布。实际上，盘的形状就像一个量子粒子在腔体中弹跳的波函数，腔体的壁位于盘的内边缘和外边缘。
由此产生的盘具有一系列振动“模式”，很像音叉中的共振，可能会被小的扰动激发——想想一个行星形成的恒星盘被一颗路过的恒星轻推，或者一个黑洞吸积盘，其中物质不均匀地落入中心。巴蒂金推断出一个盘在何种条件下会响应而翘曲，或者相反，会像一个被自身相互引力紧紧抓住的刚体一样表现。他说，这归结为一个时间尺度问题。如果盘中轨道运行的天体的角动量从一个传递到另一个的速度比扰动持续时间快得多，则盘将保持刚性。“另一方面，如果自相互作用时间尺度与扰动时间尺度相比很长，则盘会翘曲，”他说。
“量子性”真的那么奇怪吗？
巴蒂金说，当他第一次看到薛定谔方程从他的理论分析中显现出来时，他惊呆了。“但回想起来，它似乎几乎是显而易见的，它必然会出现在这个问题中，”他补充道。
然而，这意味着薛定谔方程本身可以从18世纪以来已知的经典物理学中推导出来。它根本不依赖于“量子性”——尽管事实证明它适用于这种情况。
这并不像看起来那么奇怪。一方面，科学中充满了为一种现象设计的方程也适用于完全不同的现象的例子。例如，为描述某种化学反应而设计的方程已被应用于犯罪建模，最近，对磁铁的数学描述也被证明可以描述开心果园中树木的结实模式。
但是，量子物理学难道不涉及一种相当独特的奇异行为吗？并非如此。薛定谔方程与其说是描述量子粒子实际上在“做什么”，不如说是提供了一种预测在特定波状概率定律支配的系统中可能会观察到什么的方法。事实上，其他研究人员已经表明，量子理论的关键现象是从概率论的推广中产生的，原则上，这种推广也可能在18世纪，在没有任何微小粒子以这种方式表现的迹象之前就已被设计出来。
巴蒂金指出，他的方法的优点是简单。无需使用复杂的计算机模型（所谓的N体模拟）跟踪盘中每个粒子的所有运动，可以将盘视为一种光滑的薄片，它会随着时间推移而演变并像鼓皮一样振荡。巴蒂金说，这使其非常适合中心物体比盘大得多的系统，例如原行星盘和围绕超大质量黑洞运行的恒星环。然而，它不适用于银河系盘，例如形成我们银河系的螺旋星系。
但苏格兰皇家天文台的肯·赖斯（他没有参与这项工作）表示，在中心物体比盘大得多的情况下，主要的引力影响是中心物体。“那么，尚不完全清楚包括盘的自引力将如何影响演化，”他说。“我简单的猜测是它不会有太大的影响，但我可能是错的。” 这表明巴蒂金的形式主义的主要应用可能不是对广泛的系统进行建模，而是使窄范围的系统模型比N体模拟的计算成本低得多。
普林斯顿高等研究院的天体物理学家斯科特·特雷梅因（他也没有参与这项研究）也同意这些方程可能比更精确地描述自引力环的方程更容易求解。但他说，这种简化是以忽略引力的长程作用为代价的，因为在薛定谔版本中，只考虑了相邻“线”环之间的相互作用。“这是对系统的一种相当极端的简化，只适用于某些情况，”他说，“并且不会为专家提供关于这些盘的新见解。” 但他认为这种方法可能具有有用的教学价值，尤其是在表明薛定谔方程“不仅仅是量子力学的一些神奇结果，而是描述了各种物理系统”。
但圣安德鲁斯大学的福根认为，巴蒂金的方法可能特别适用于模拟被伴星扭曲的黑洞吸积盘。“关于具有‘撕裂’盘的双超大质量黑洞，有很多有趣的结果，这可能适用于这些结果，”他说。