摘自《X 的乐趣：从 1 到无穷大的数学导览》，作者：史蒂文·斯特罗加茨。版权所有 ©2012 史蒂文·斯特罗加茨。经霍顿·米夫林·哈考特许可转载。
每隔十年左右，就会出现一种新的数学教学方法，为家长们带来新的感觉，觉得自己不够格。回到 20 世纪 60 年代，我的父母因无力帮助我完成二年级的家庭作业而大惊失色。他们从未听说过 3 进制或维恩图。
现在风水轮流转。“爸爸，你能教我做这些乘法题吗？”我当然可以，我想，直到摇头开始。“不，爸爸，我们不是这样做的。那是老派的方法。你不知道格点法吗？不知道？那部分乘积呢？”
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这些令人感到惭愧的经历促使我从头开始重新审视乘法。一旦你开始思考它，它实际上是非常微妙的。
以术语为例。“七乘以三”是指“七加到自身三次”吗？还是“三加到自身七次”？在某些文化中，语言不那么模棱两可。我一位来自伯利兹的朋友过去常常这样背诵他的乘法表：“七个一是七，七个二是十四，七个三是二十一”，等等。这种措辞清楚地表明第一个数字是乘数；第二个数字是被乘数。这与莱昂内尔·里奇不朽的歌词“她一次、两次、三次是位女士”中的惯例相同。（“她是一位女士乘以三”永远不会成为热门歌曲。）
也许所有这些语义上的大惊小怪让你觉得很傻，因为数字相乘的顺序并不重要：7 × 3 = 3 × 7。这说的有道理，但这引出了我在这里想深入探讨的问题：乘法的交换律，a × b = b × a，真的那么明显吗？我记得小时候对此感到惊讶；也许你也是。
为了重温这种神奇的感觉，想象一下你不知道 7 × 3 等于多少。所以你试着按七个计数：7、14、21。现在把它反过来，改为按三个计数：3、6、9……你感觉到悬念在上升吗？到目前为止，这些数字中没有一个与七的列表中的数字匹配，但继续下去……12、15、18，然后，砰的一声，21！
我的意思是，如果你认为乘法等同于按某个数字重复计数（或者换句话说，等同于重复加法），那么交换律就不是那么透明。
但是，如果你以视觉方式理解乘法，它就会变得更加直观。将 7 × 3 想象为具有七行三列的矩形阵列中的点数。
如果你将阵列侧放，它就会变成三行七列，而且由于旋转图片不会改变点的数量，所以 7 × 3 = 3 × 7 肯定是正确的。
然而，奇怪的是，在许多现实世界的情况下，尤其是在涉及到钱的情况下，人们似乎忘记了交换律，或者没有意识到它适用。让我举两个例子。
假设你正在购买一条新牛仔裤。它们的价格是标价 50 美元的 20% 折扣，这听起来像是便宜货，但请记住，你还必须支付 8% 的销售税。店员在恭维你身材很棒之后，她开始扫描商品，然后停顿了一下，并用一种阴谋的语气低声说道：“嘿，让我帮你省点钱。我先收税，然后从总额中扣除 20%，这样你就可以获得更多的退款。好吗？”
但是，你觉得有点不对劲。“不，谢谢，”你说。“你可以先扣除 20% 的折扣，然后对销售价格应用税吗？那样的话，我交的税会少一些。”
哪种方式对你来说更划算？（假设两种方式都是合法的。）当面对这样的问题时，很多人都会以累加的方式来处理。他们会计算出两种情况下的税收和折扣，然后进行必要的加法或减法来找到最终价格。按照店员的方式，你会算出，你需要支付 4 美元的税（标价 50 美元的 8%）。这会使你的总额达到 54 美元。然后对 54 美元应用 20% 的折扣会使你获得 10.80 美元的退款，因此你最终支付 54 美元减去 10.80 美元，等于 43.20 美元。而在你的情况下，会首先应用 20% 的折扣，为你节省 10 美元的 50 美元标价。然后，对降至 40 美元的价格征收 8% 的税将是 3.20 美元，因此你最终仍将支付 43.20 美元。太神奇了！
但这仅仅是交换律在起作用。要了解原因，请以乘法而非累加的方式思考。先应用 8% 的税，然后应用 20% 的折扣，相当于将标价乘以 1.08，然后将结果乘以 0.80。交换税收和折扣的顺序会颠倒乘法，但由于 1.08 × 0.80 = 0.80 × 1.08，最终价格是相同的。
在更大的财务决策中也会出现类似的考虑。罗斯 401(k) 比传统的退休计划更好还是更差？更普遍地说，如果你有一笔钱要投资，而且你必须在某个时候对其纳税，那么最好是在投资期开始时缴纳税款，还是在结束时缴纳税款？
再次强调，交换律表明这都是一样的，其他所有因素都相等（可悲的是，它们通常不是这样）。如果在这两种情况下，你的钱都以相同的系数增长，并且以相同的税率征税，那么你是在前期还是在后期缴纳税款都无关紧要。
请不要将这个数学上的评论误解为财务建议。任何在现实生活中面临这些决策的人都需要意识到许多使情况复杂化的因素：你预计退休时会处于更高还是更低的税级？你会达到你的缴款限额吗？你认为政府会在你准备取出这笔钱时改变其关于免税提款的政策吗？撇开所有这些不谈（不要误会我的意思，这都很重要；我只是想在这里专注于一个更简单的数学问题），我的基本观点是，交换律与对此类决策的分析相关。
你可以在互联网上的个人理财网站上找到关于此的激烈辩论。即使在指出交换律的相关性之后，一些博主也不接受它。这太违反直觉了。
也许我们天生就怀疑交换律，因为在日常生活中，你先做什么通常很重要。你不能鱼和熊掌兼得。当脱下鞋袜时，你必须正确排序。
物理学家默里·盖尔曼在一天担心自己的未来时也有类似的认识。作为耶鲁大学的本科生，他非常想留在常春藤联盟读研究生。不幸的是，普林斯顿大学拒绝了他的申请。哈佛大学同意了，但似乎在为他提供所需的经济支持方面进展缓慢。他最好的选择，尽管他觉得这令人沮丧，是麻省理工学院。在盖尔曼看来，麻省理工学院是一个肮脏的技术学院，不符合他高雅的品味。尽管如此，他还是接受了这个提议。多年后，他会解释说，他当时曾考虑过自杀，但在他意识到就读麻省理工学院和自杀并不交换时，他放弃了自杀的念头。他总是可以在以后去麻省理工学院，如果必须的话，可以自杀，但反过来就不行。
盖尔曼可能已经对非交换性的重要性非常敏感。作为一名量子物理学家，他会敏锐地意识到，在最深层次上，自然不遵守交换律。这也是一件好事。因为交换律的失败才使世界变成现在的样子。这就是为什么物质是固体，以及为什么原子不会内爆。
具体来说，在量子力学发展的早期，维尔纳·海森堡和保罗·狄拉克发现，自然遵循一种奇怪的逻辑，其中 p × q ≠ q × p，其中 p 和 q 代表量子粒子的动量和位置。如果没有交换律的这种崩溃，就不会有海森堡不确定性原理，原子会崩溃，而且什么都不会存在。
这就是为什么你最好注意你的 p 和 q。并告诉你的孩子们也这样做。