谁会想到上帝会成为一篇关于数学文章的合适主题？别担心，接下来的讨论仍然牢牢扎根于可理解的科学框架内。但是，上帝是否可以用数学证明这个问题非常有趣。事实上，几个世纪以来，一些数学家不断尝试证明神的存在。他们包括布莱斯·帕斯卡和勒内·笛卡尔（17世纪）、戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（18世纪）以及库尔特·哥德尔（20世纪），后者关于这个主题的著作最近在1987年才出版。最令人惊奇的是：在2013年首次发布的预印本研究中，一位算法证明向导检查了哥德尔的逻辑推理链——并发现它无疑是正确的。现在数学终于反驳了所有无神论者的主张吗？
正如您可能已经怀疑的那样，并没有。哥德尔确实能够证明，某种他定义为神圣的事物的存在，必然是从某些假设中推导出来的。但是，这些假设是否合理值得怀疑。例如，如果我假设所有的猫都是三色的，并且知道三色猫几乎总是雌性的，那么我可以得出结论：几乎所有的猫都是雌性的。即使逻辑推理是正确的，但这当然不成立。因为所有猫都是三色的这个假设是错误的。如果一个人对我们环境中可观察到的事物（例如猫）做出陈述，可以通过科学调查来验证它们。但如果是关于神圣存在的证明，事情就变得有点复杂了。
莱布尼茨、笛卡尔和哥德尔都依赖于上帝的本体论证明，他们通过逻辑推理从神圣存在的可能性中推导出其存在，而帕斯卡（1623-1662）则选择了略有不同的方法：他从今天可能被认为是博弈论的角度分析了这个问题，并发展了所谓的帕斯卡赌注。
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为了做到这一点，他考虑了两种可能性。第一，上帝存在。第二，上帝不存在。然后他考察了死后相信或不相信上帝的后果。如果存在神圣的存在，并且一个人相信它，那么他最终会进入天堂；否则就会下地狱。另一方面，如果没有上帝，那么什么也不会发生——无论你是否信教。帕斯卡认为，最好的策略是相信上帝。最好的情况是，你最终会进入天堂；最坏的情况是，什么也不会发生。另一方面，如果你不相信，那么在最坏的情况下，你可能会下地狱。
帕斯卡的思想是可以理解的——但它们指的是宗教著作中的场景，并不代表对至上存在者的存在证明。它们只是说，一个人应该基于机会主义加入信仰。
处理存在本质的本体论方法更具说服力，即使它们很可能不会改变无神论者的想法。神学家和哲学家坎特伯雷的安瑟尔姆（1033-1109）在上个千年初提出了他的想法。他将上帝描述为无法想象出比之更伟大的存在。但是，如果上帝不存在，那么人们可以想象出更伟大的事物：即，一个无法想象出比之更伟大的存在。但与上帝一样，这个存在也存在，并展现出终极伟大的属性。这当然是荒谬的：没有什么可以比一个人可以想象的最伟大的事物更伟大的。因此，上帝不存在的假设一定是错误的。
这个想法经过了几个世纪才被重新审视——由笛卡尔（1596-1650
）完成。据推测，他不了解安瑟尔姆的著作，但他为完美的神圣存在提供了几乎相同的论证。莱布尼茨（1646-1716）在几十年后继续这项工作，并发现了其中的缺陷：他认为，笛卡尔没有证明从三角形到上帝的某些实体的“完美属性”是相容的。莱布尼茨继续论证说，完美性无法得到适当的考察。因此，永远无法反驳完美属性在一个存在中结合的可能性。因此，神圣存在的可能性一定是真实的。因此，基于安瑟尔姆和笛卡尔的论证，必然得出上帝存在的结论。
然而，从数学的角度来看，这些思想实验只有通过哥德尔的努力才真正变得严肃起来。这并不太令人惊讶：这位科学家在25岁时就通过表明数学总是包含无法证明的真命题，从而颠覆了该学科。在这样做时，他使用了逻辑。同样的逻辑也使他能够证明上帝的存在。看看这12个步骤，它们由一组公理（Ax）、定理（Th）和定义（Df）组成。
库尔特·哥德尔的形式证明。 来源：Spektrum der Wissenschaft（局部）
乍一看，它们似乎很神秘，但人们可以逐步了解它们，从而理解哥德尔的思维。他从一个公理开始——换句话说，一个假设：如果 φ 具有属性 P，并且从 φ 总是推出 ψ，那么 ψ 也具有属性 P。为简单起见，我们可以假设 P 代表“正面的”。例如：如果一种水果是美味的（一种正面属性），那么吃它也是有趣的。因此，吃它的乐趣也是一种正面属性。
第二个公理进一步为 P 设定了一个框架。如果某事物的反面是正面的，那么“某事物”一定是负面的。因此，哥德尔将世界划分为黑白两色：要么是好的，要么是坏的。例如，如果健康是好的，那么疾病必然是坏的。
有了这两个前提，哥德尔可以推导出他的第一个定理：如果 φ 是一个正面属性，那么存在一个具有属性 φ 的 x 的可能性。也就是说，正面事物有可能存在。
现在，这位数学家第一次转向对神圣存在的定义：x 是神圣的，如果它拥有所有正面属性 φ。第二个公理确保以这种方式定义的上帝不可能具有负面特征（否则就会产生矛盾）。
第三个公理指出，神性是一种正面特征。这一点实际上是无可辩驳的，因为神性结合了所有正面特征。
第二个定理现在变得更加具体：通过结合第三个公理（神性是正面的）和第一个定理（存在某种正面事物存在的可能性），一个存在物 x 可能是神圣的。
哥德尔现在的目标是在接下来的步骤中证明，在已经制定的框架内，上帝必然存在。为此，他在第二个定义中引入了对象 x 的“本质” φ，这是一种决定所有其他特征的特征属性。一个说明性的例子是“小狗般的”，如果某事物具有这种属性，那么它必然是可爱的、毛茸茸的和笨拙的。
第四个公理乍一看似乎不太令人兴奋。它只是简单地声明，如果某事物是正面的，那么它永远是正面的——无论时间、情况或地点如何。例如，小狗般的和味道好总是正面的，无论是在白天还是晚上，在德国海德堡还是在阿根廷布宜诺斯艾利斯。
哥德尔现在可以 формулировать 第三个定理：如果一个存在物 x 是神圣的，那么神性是它的本质属性。这是有道理的，因为如果某事物是神圣的，它就拥有所有正面特征——因此 x 的属性是固定的。
下一步关系到特定存在的存在。如果在某处至少存在一个存在物 y 具有属性 φ，而 φ 是 x 的本质属性，那么 x 也存在。也就是说，如果有什么东西是小狗般的，那么小狗也一定存在。
根据第五个公理，存在是一种正面属性。我认为大多数人都会同意这一点。
由此，人们现在可以得出结论，上帝存在，因为这个存在拥有每一个正面属性，而存在是正面的。
事实证明，哥德尔的逻辑推论都是正确的——甚至计算机也能够证明这一点。然而，这些推论也受到了批评。除了当然可以质疑的公理（为什么世界应该被划分为“善”和“恶”？）之外，哥德尔没有更详细地说明什么是正面属性。
确实，通过定义和公理，人们可以用数学方法描述集合 P
如果一个属性属于该集合，则其否定不包括在内。该集合是自包含的。
集合的本质仅具有集合的特征这一事实本身就是集合的一个元素。集合始终具有相同的元素——独立于情况。在这种情况下，情况是包含该集合的数学模型。
存在是集合的一部分。
如果 φ 是集合的一部分，那么将 φ 作为集合本质的属性也包含在集合中。
但是，所有这些都不能确保这个集合是唯一的。可能存在多个满足要求的集合。例如，正如逻辑学家所表明的那样，可以构建一些案例，在这些案例中，根据哥德尔的定义，存在超过 700 个本质不同的神圣实体。
这并不能解决一个（或多个）神圣存在最终存在的问题。数学是否真的是回答这个问题的正确方法本身就值得怀疑——即使思考它本身就非常令人兴奋。
本文最初发表于《Spektrum der Wissenschaft》，并经许可转载。