今晚，突破奖基金会将第二届年度数学突破奖授予加州大学伯克利分校的伊恩·阿戈尔，以表彰他在几何拓扑学领域的工作。他的工作完成了 30 多年前开始的该领域的一场革命。突破奖在生命科学、物理学和数学类别中分别颁发 300 万美元的奖金，是世界上奖金最高的科学奖项。
阿戈尔的领域——拓扑学，是数学的一个分支，它假设所有形状都是由油灰或弹性橡胶制成的。它研究当空间被挤压或拉伸时保持不变的属性，只要没有撕裂或粘合。你可以将拓扑属性视为空间的大尺度属性。另一方面，几何学着眼于更精细的属性，即那些取决于空间如何精确组合在一起的属性。拓扑学家长期以来对二维表面或 2 维流形的拓扑和几何如何相互作用有了相当完整的理解。三维流形则完全是另一回事。
理解 2 维流形和 3 维流形的一种有趣方法是想象一个甜甜圈。釉料——二维甜甜圈形状的表面——是 2 维流形。3 维流形是整个甜甜圈，包括馅料。我们在日常生活中始终与 3 维流形互动，但数学家也研究更抽象的 3 维流形，这些流形无法在现实世界中以视觉方式呈现。
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阿戈尔的工作是数学家威廉·瑟斯顿发起的一项研究计划的顶峰。1982 年，瑟斯顿发表了一篇具有里程碑意义的论文，阐述了如何构建和使用 3 维流形的所有关键问题以及一些可能的答案。这篇论文成为该领域研究的路线图，直到 2012 年，阿戈尔提供了答案，解答了瑟斯顿关于 3 维流形的最后几个主要遗留问题。
瑟斯顿工作中最引人注目的猜想被称为几何化猜想。（它现在是几何化定理，因为俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在 2000 年代初证明了它。他因其工作而闻名地拒绝了著名的菲尔兹奖和价值百万美元的千禧年大奖。）该定理指出，所有 3 维流形，无论它们在拓扑结构上多么复杂，都只有几种不同的几何描述。这些描述中的大多数允许数学家通过理解二维几何来理解三维几何，而二维几何在根本上更简单。但是，一种称为双曲几何的几何类型抵抗这种简化。阿戈尔的工作为研究人员提供了一种使用表面研究这些双曲 3 维流形的方法。
具体来说，阿戈尔证明了虚拟哈肯猜想和虚拟纤维化猜想。拓扑学家说，如果一个空间可以被具有该属性的空间“覆盖”，那么它就“虚拟地”具有该属性。“覆盖”在这里是一个技术术语，它与日常包装礼物的行为密切相关，但不完全相同。理解这个想法的一种方法是想象将花园软管盘绕在圆形卷轴上。在那个图中，我们可以说软管是圆的覆盖物，或者圆是虚拟软管。“虚拟”的力量在于，它允许你通过理解行为更好的覆盖物来理解被覆盖的对象。回到花园软管，圆和软管并不完全相同，但它们有一些相似之处，并且对软管的深刻而禅宗般的理解将有助于理解圆。
哈肯流形以德国数学家沃尔夫冈·哈肯的名字命名，可以通过迭代过程切割成更小的块。如果流形屈服于这种类型的分解，那么通过理解最后剩下的碎片就很容易理解它。虚拟哈肯猜想指出，许多不是哈肯的流形实际上是哈肯流形——换句话说，研究哈肯覆盖可以帮助研究人员理解潜伏在其下的流形。
虚拟纤维化猜想将几何学与动力学联系起来，动力学是对空间如何随时间变化的研究。如果你沿着线段拖动一个圆，你会得到一个圆柱体。然后你可以将顶部的圆粘合到底部以获得一个环面——数学上用来表示看起来像内胎的形状的术语。你可以将环面看作是一个图表，追踪圆在空间中随时间移动的情况。跳到一个维度，你可以通过沿着线段拖动一个表面并将顶部表面粘合到底部以获得一个称为表面束的 3 维流形来做类似的事情。虚拟纤维化猜想指出，很大一部分流形并不是真正的表面束，但考虑到“虚拟”一词的活动空间，它们也可能就是表面束。“3 维流形有很多不同的生命，”芝加哥大学数学家丹尼·卡莱加里说。它可以从几何、动力学、组合等方面进行描述。“你想协调不同的观点。”阿戈尔协调几种不同观点的研究是其获奖的基础。
尽管突破奖是个人奖项，但阿戈尔的成功说明了数学中合作的重要性。“我觉得我只配获得其中一小部分，因为我非常依赖其他人的工作，并且在很大程度上依赖于合作者和在我之前工作的人，”阿戈尔说。他的定理最直接地建立在麦吉尔大学数学家丹尼尔·怀斯的工作之上，他与阿戈尔分享了2013 年的奥斯瓦尔德·韦布伦几何奖。阿戈尔还依赖于杰里米·卡恩和弗拉德·马尔科维奇的工作，并且虚拟哈肯猜想的证明的一部分是由丹尼尔·格罗夫斯和杰森·曼宁共同撰写的；许多其他人在这一过程中做出了重要贡献。“我发现当你和别人交谈时，它会把你的思想置于不同的参考框架中，你会在其中做出直觉的飞跃，”阿戈尔说。“你处于口头模式，而不是沉思模式。”
高等研究院的理查德·泰勒是去年数学突破奖的获得者之一，他担任今年的评选委员会主席。“阿戈尔的工作体现了我们正在寻找的这两个要素，”泰勒说。“他显然处于巅峰状态，而且这不仅仅是一个结果。这不是一个定理的奖项。这是对做出了一系列贡献的人的奖励。”
阿戈尔对虚拟哈肯猜想的证明在某种程度上标志着一个时代的结束，但正如泰勒所说，“三维流形拓扑可能并未就此结束。”阿戈尔说，关于 3 维流形仍然有许多有趣的问题需要提出。“对我来说，主要计划之一是尝试将双曲几何中已完成的工作——几何化猜想和我们已经掌握的图景——与 3 维流形拓扑的其他领域联系起来。”还有计算复杂性的问题：如果有人给你一个 3 维流形，找到覆盖它的哈肯流形，然后将其分解成更小的块需要多长时间？此外，相对完整的 3 维流形图景可以帮助研究人员理解四维空间的令人兴奋的世界，就像表面帮助他们理解 3 维流形一样。
阿戈尔说，他希望利用他的 300 万美元奖金回馈数学界，也许是通过支持发展中国家的数学家，正如过去的获奖者所做的那样。他说，获得这个奖项是一种荣誉，但他进入数学领域并不是为了赢得奖项。“发现这个奖项从来没有像我想到我解决了虚拟哈肯问题的那一刻那么激动人心。”