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核心概念
几何学
数学
形状
维度
体积
介绍
大人有没有抓住您偷吃糖果，然后问：“你吃了多少糖果？”与其说“我不知道”，并可能受到责骂，您难道不想回答“我精确地吃了 10.7 立方厘米的糖果”吗？ 在这项活动中，您将研究哪个数学公式最能准确估算 M&M 豆的体积。弄清楚这一点，下次当您被发现偷吃糖果时，您可能会给人留下更好的印象。
背景
几何学使用数学来描述和研究不同的点、线和形状。几何学中使用公式来描述形状，公式只是一种计算不同属性（例如大小、面积或体积）的数学方法。体积是三维形状（如立方体和球体）的属性，它考虑了形状在三个不同方向上占据的空间。
在现实世界中使用几何公式的挑战在于，这些数学公式通常描述的是“完美”或“理想”的形状。球体是一种“理想”的三维形状，在所有三个方向上都是完全圆形的。例如，即使网球的形状是球形的，但它也不是一个完美的球体（想想标记其表面的线条）。大多数现实世界的物体都不是简单的形状，需要复杂的几何计算。然而，现实世界形状的属性可以用几何公式来近似或估计。这被称为“建立几何模型”。建立良好几何模型的最重要部分是选择最能描述物体的公式。使用该公式，您可以几何建模各种不规则物体，例如汽车、飞机、玩具和 M&M 豆。
材料
• 两张纸
• 桌子或台面
• 粘土或橡皮泥。使用少量您不介意弄脏的量。
• 带毫升刻度的公制量杯
• 水
• 110 颗 M&M 豆。一个七盎司（198 克）的袋子大约装有 210 颗 M&M 豆。
• 带厘米刻度的尺子
• 笔或铅笔
• 一台连接互联网的电脑
准备工作
• 在干净的桌子或台面上放一张纸。
• 在纸上，放少量粘土或橡皮泥。将其压平并拉伸成一条约 20 厘米 (cm) 长、3 厘米宽的线。这条线应该只有几厘米高。您将在这条线上测量 M&M 豆。
• 粘土或橡皮泥可能会被 M&M 豆的染色涂层弄脏，因此请使用您不介意弄脏的部分。
• 在公制量杯中倒入 100 毫升 (ml) 的水。如果您打算在本活动完成后吃掉一些湿 M&M 豆，请记住在装水之前仔细清洁量杯。
步骤
• 将 10 颗 M&M 豆平放，首尾相连，放在粘土上。确保这条线是直的和扁平的，并且每颗 M&M 豆都与下一颗豆接触，中间没有缝隙。您可以将它们戳入粘土中，以保持它们排列整齐。
• 测量 M&M 豆线的长度（以厘米为单位），然后将此数字除以 10。这给出了单颗 M&M 糖果的长直径。一颗 M&M 糖果的长直径是多少？写下这个测量值。
• 将长直径除以 2。这给出了单颗 M&M 糖果的长半径。一颗 M&M 糖果的长半径是多少？写下这个测量值。
• 从粘土上取下 M&M 豆。
• 现在将 10 颗 M&M 豆侧放排列，以便您测量短边。同样，使用粘土将它们固定成整齐的一行，其中每颗 M&M 豆都与下一颗豆接触。
• 测量 M&M 豆线的长度，然后将此数字除以 10。这给出了单颗 M&M 糖果的短直径。一颗 M&M 糖果的短直径是多少？写下这个测量值。
• 将短直径除以 2。这给出了单颗 M&M 糖果的短半径。一颗 M&M 糖果的短半径是多少？写下这个测量值。
• 现在您可以使用排水法测试来测量 M&M 豆的实际体积了。确保公制量杯中正好有 100 毫升的水（通过查看弯月面的底部来检查）。
• 将 100 颗 M&M 豆倒入装有水的玻璃杯中。（如果您想稍后吃掉湿漉漉的 M&M 豆，请在此阶段使用新鲜的 M&M 豆，因为您之前使用的那些豆可能沾有粘土。）玻璃杯中新的水位是多少？写下这个测量值。
• 从新的水位中减去 100 毫升。将此数字除以 100。这是单颗 M&M 豆的实际体积，单位为毫升（与立方厘米相同）。一颗 M&M 豆的体积是多少？写下这个测量值。
• 现在您将使用不同的公式进行一些体积计算，以查看哪个公式最能计算 M&M 豆的体积。转到密西西比州立大学的无单位体积计算器页面。
• 点击“完整球体”链接。在“半径”框中，输入您测量的单颗 M&M 豆的长半径，然后点击“计算”。使用其长半径计算出的 M&M 豆体积是多少？写下这个测量值。
• 现在在“半径”框中，改为输入短半径。使用其短半径计算出的 M&M 豆体积是多少？写下这个测量值。
• 返回无单位体积计算器页面，点击“圆柱体”链接。在“外半径”框中，输入长半径；在“内半径”框中，输入零；在“高度”框中，输入短直径。使用圆柱体公式计算出的 M&M 豆体积是多少？写下这个测量值。
• 返回并点击“椭球体”链接。在“长轴”和“短轴”框中，输入长直径（两者都输入）。在“垂直轴”框中，输入短直径。使用椭球体公式计算出的 M&M 豆体积是多少？
• 每种不同的计算体积与您测量的实际体积相比如何？哪些体积偏大，哪些体积偏小？哪个计算结果最接近？您认为哪个公式最适合用于 M&M 糖果？
• 额外内容： 另一种查看数据的方法是计算每个计算结果与实际体积测量值之间的百分比差异。您可以通过将使用每个公式得到的答案除以实际体积来做到这一点。哪些公式给出的答案与实际体积最接近或最不相同（基于百分比差异）？
• 额外内容： 您可以使用相同的实验来找到计算任何其他体积的最佳公式。尝试将其用于鸡蛋、橄榄球、苹果、肥皂、其他类型的糖果或任何其他形状不规则的物体。只需确保您选择的物体可以安全地浸入水中！哪个公式最好？
• 额外内容：糖果的形状会影响许多糖果的堆积效果。对几种不同形状的糖果进行排水法测试，以确定单颗糖果的实际体积。然后，在一个量杯中装入一定量的每种类型的糖果，一次装一种类型（不加水）。将糖果占据的体积除以糖果的数量，以确定在考虑堆积的情况下，一颗糖果平均占据多少空间。与一颗糖果的实际体积相比，每种类型的糖果在量杯中占据多少空间（当考虑堆积时）？换句话说，哪种类型的糖果堆积效果最好？您认为它们的形状如何影响这一点？ 观察和结果
您是否发现椭球体公式给出的答案最接近您测量的单颗 M&M 糖果的实际体积？
使用排水法测试，您应该发现单颗 M&M 糖果的实际体积约为 0.60 至 0.65 立方厘米（毫升）。（将 100 颗 M&M 豆添加到 100 毫升水中应使水位上升到约 160 至 165 毫升。）当使用长半径的球体公式时，计算得出的体积（约 1.3 立方厘米）比 M&M 糖果的实际体积略大。如果您仔细观察，您会发现 M&M 豆的体积并非完全圆形，而是形状像一个在一侧被压扁的球体。如果它没有被“压扁”，则使用长半径的球体公式将是合适的。圆柱体公式也给出了一个体积（约 1 立方厘米），这个体积也偏大，因为它假设 M&M 豆的整个长度都与其短直径一样宽，但实际上它在边缘周围逐渐变细。使用短半径的球体公式给出的体积（约 0.2 立方厘米）远小于 M&M 豆的实际体积。椭球体公式应给出一个体积（约 0.6 立方厘米），该体积非常接近糖果的实际体积。M&M 豆确实具有椭球体形状，特别是称为扁球体的类型。
清理
• 如果粘土或橡皮泥的部分被 M&M 豆的涂层染色，您可以尝试将这些部分捏出来并扔进垃圾桶。
• 如果您想在本活动结束后吃掉湿漉漉的 M&M 豆，您可以这样做，但您不应吃掉与粘土或橡皮泥接触过的 M&M 豆。
更多探索 农业与生物工程系：工具：无单位体积计算器，来自密西西比州立大学
M&M 豆的独特形状引起科学家的兴趣，来自 NPR 的国家谈话节目的科学星期五
数学表格：面积、体积、表面积，来自 Math2.org
几何学，来自 MathIsFun.com
M&M 豆的几何学，来自科学伙伴
本活动由科学伙伴合作推出