关键概念
数学
几何学
心理学
介绍
果汁盒确实很方便——只需插入吸管即可享用！但是你有没有注意到，有些果汁盒看起来似乎没有其他果汁盒那么多果汁，即使它们有很多包装？
你可能会惊讶于设计一个果汁盒需要多少思考。每个制造商都仔细计算了盒子每一侧需要多大才能装一定量的果汁，以及改变盒子的尺寸如何影响其整体外观和包装。
研究果汁盒的几何学可以揭示一些果汁盒的包装比其他果汁盒更有效率。以及外观可能是具有欺骗性的！
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背景
几何学使用数学来描述和研究不同的点、线和形状。在几何学中，形状不同部分之间的关系可以用数学公式来描述。公式可以用来描述现实世界物体三个维度（长度、宽度和高度）之间的关系。这些信息可以帮助我们了解周围的物体。
像果汁盒或麦片盒这样的长方形盒子，在几何学中被称为长方体。 如果你测量一个长方体的高度、长度和宽度，你可以使用这些信息在一个公式中计算出该物体的体积和表面积。体积是一个物体在三维空间中所占据的空间大小（这大约告诉我们一个容器，比如一个果汁盒，可以容纳多少东西），而表面积是物体外表面积的总和（这大约告诉我们制作这个形状使用了多少材料）。
材料
• 公制尺
• 果汁盒，五种或更多不同品牌（每品牌一个盒子）
• 计算器
• 纸
• 笔或铅笔
准备
• 使用尺子，测量每个果汁盒的长度（从左到右有多长）、宽度（从前到后有多深）和高度。记录下每个盒子的这些尺寸（以厘米为单位）。不同盒子之间的尺寸是否非常相似，还是存在很大差异？ 步骤
• 对于每个果汁盒，计算表面积并写下来。长方体的表面积 = 2 X 长度 X 高度 + 2 X 宽度 X 高度 + 2 X 长度 X 宽度。（单位将是 cm2，或平方厘米。）不同盒子的表面积变化有多大？
• 对于每个果汁盒，计算体积并写下来。长方体的体积 = 长度 X 高度 X 宽度。（单位将是 cm3，或立方厘米）不同盒子计算出的体积变化有多大？
• 将每个盒子中的果汁体积与其计算出的体积进行比较。盒子中的果汁体积通常在果汁盒正面底部附近找到。使用以毫升 (mL) 为单位列出的体积，因为 1 mL 等于 1 cm3。你计算出的体积与每个盒子中果汁的实际体积有多接近？
• 对于每个果汁盒，计算表面积与体积的比率。你可以通过将其计算出的表面积除以它所装果汁的体积（同样以毫升为单位）来做到这一点。如果计算结果接近 1，则表面积和体积几乎相等。数字越高，每单位体积果汁使用的包装就越多；数字越低，每单位体积果汁使用的包装就越少。哪个盒子在其容纳的果汁体积下使用的包装最少？哪个盒子使用的最多？
• 总的来说，哪个果汁盒在其尺寸下容纳果汁的效率最高？哪一个的果汁体积最接近其计算出的体积，并且表面积与体积的比率最小？
• 附加题： 包装有各种形状和形式。尝试使用几何学原理制作几何模型，以比较其他形状包装的效率。例如，圆柱形冰淇淋桶与长方形冰淇淋桶相比如何？
• 附加题： 麦片容器大多是长方形的，但尺寸差异很大。你可以使用不同的麦片盒来研究几何学如何帮助减少包装材料的浪费。大盒麦片还是小盒麦片的包装浪费较少？购买仅为一份量的单次使用麦片盒还是大型、多份量麦片盒更好？ 观察和结果
与其他盒子相比，一些果汁盒中的实际果汁体积是否更接近计算出的体积？一些盒子的表面积与体积的比率是否比其他盒子小得多？
正如你可能从这项活动中看到的，容纳相同量果汁的不同果汁盒可能具有非常不同的尺寸。这会改变它们的表面积和它们可以容纳的总体积。许多果汁盒所装的实际果汁体积占盒子总计算体积的 95% 以上，尽管有些盒子所装的果汁可能占总计算体积的比例低于此。表面积与果汁体积的比率通常略高于 1，通常在 1.2 到 1.3 左右。这意味着每单位体积的果汁使用的包装略多。比率越高，每单位体积的果汁使用的包装就越多。
更多探索
“长方体计算器”，来自Calculator Soup
“酷数学儿童”，来自Coolmath.com
“果汁盒几何学”，来自科学伙伴
本活动由科学伙伴合作推出