百吉饼、椒盐卷饼与诺贝尔物理学奖

上周二，瑞典皇家科学院宣布了今年诺贝尔物理学奖的获得者：一半授予了西雅图华盛顿大学的戴维·J·索利斯，另一半授予了普林斯顿大学的F·邓肯·M·霍尔丹和布朗大学的J·迈克尔·科斯特利茨，以表彰他们，用科学院的话说，“拓扑相变和物质拓扑相的理论发现”。他们的工作利用拓扑学领域的数学见解来描述和解释诸如超流性和超导性等在流体薄层中的性质。

为了说明这一点，诺贝尔委员会成员托尔斯·汉斯·汉森开玩笑说：“我带了午餐。”他打包了一份碳水化合物含量很高的午餐，包括肉桂卷、百吉饼和椒盐卷饼。他说，拓扑学家不会根据味道来区分这些糕点；相反，他们只会关心每种糕点上的孔洞数量：肉桂卷零个，百吉饼一个，椒盐卷饼两个。（在美国，椒盐卷饼有三个孔，但一些欧洲的型号更有效率。）拓扑学有时被称为“橡皮膜几何学”。对于拓扑学家来说，数学对象是由无限弹性的橡胶制成的。一个物体孔洞的数量是一个拓扑不变量，无论物体如何拉伸或挤压，只要不发生撕裂或粘合，这个性质都保持不变。

相比之下，基础几何学关注的是数学对象更精细的性质。虽然在拓扑学中，百吉饼和咖啡杯是相同的，都只有一个孔，但几何学可以区分它们。例如，百吉饼的形状相当均匀，而咖啡杯的曲线在杯子的不同部分看起来不同。

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几何性质是连续变化的：当您拉伸甜甜圈或咖啡杯时，其曲率会一点一点地变化。另一方面，拓扑性质通过突然的跳跃来改变状态。如果您将一个真正的百吉饼拉伸到足够程度，它最终会撕裂，产生一个没有孔洞的物体。永远不会出现半个孔的中间状态。一个非凡的定理，高斯-博内定理，将几何学和拓扑学结合在一起。它指出，虽然曲率可能在表面上分布不同，但任何两个具有相同孔洞数量的表面都具有相同的总曲率。随着时间的推移，数学家，特别是陈省身，将高斯-博内定理推广到更高维度的数学空间和其他类型的曲率，拓宽了在表面上求和以找到表面拓扑性质的潜在思想。

高斯-博内定理为拓扑学和物理学之间架起了一座桥梁。尽管诺贝尔奖获得者研究漂浮在超薄材料中的微小百吉饼和椒盐卷饼听起来很可爱，但事实并非如此。相反，高斯-博内定理是薄膜材料中电子能级相关物理性质的类比。数学思想是相同的，但他们的工作不是关于曲率和孔洞，而是关于波函数如何随薄膜中电子动量的函数变化。加上霍尔丹在单维磁性材料方面所做的工作，这就是科学院描述为“物质拓扑相”的获奖工作的一部分。

诺贝尔奖的另一半，因“拓扑相变”而颁发，也结合了拓扑学和物理学，但伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的物理学家爱德华多·弗拉德金说，“拓扑学以一种稍微不同的方式进入”。

这里相关的是拓扑性质通常不能局部确定的事实。一只坐在糕点上的蚂蚁无法通过环顾四周来判断它所栖息的是小圆面包、百吉饼还是椒盐卷饼。同样的想法也发生在拓扑相变中。在传统的相变过程中，比如液态到气态，测量一个区域的密度就可以告诉你它是液态还是气态。西雅图华盛顿大学的物理学家马塞尔·登·尼斯说，“你可以通过局部测量来判断你处于什么相，”他是索利斯获奖论文的合著者之一。

相比之下，拓扑相变涉及涡旋，这些涡旋出现在薄超导体、超流体或磁体的临界温度下。登·尼斯将这种现象比作日常拓扑学之谜：停车场。当你开车进入停车场时，“你基本上绕来绕去，不知不觉就到了上一层。”你绕着开的中间柱子是一个拓扑特征，类似于超流体中的涡旋。“除非你绕着它走，否则你不会知道它的存在，”他说。

弗拉德金说：“这是拓扑学概念首次与凝聚态物理学相关。”“这是大多数物理学家以前没有的工具。”

在过去的十年左右，人们对使用拓扑性质来理解和描述物理系统的兴趣激增。原因之一是纳米技术革命。真实材料正在赶上理论，使实验人员有机会观察到奇异的物理现象。另一个引起人们热情的原因是量子计算的潜在应用。量子计算目前主要仍是一种理论模型。如果实现，量子计算机将用量子力学的方式存储信息来取代现代计算机的零和一。量子计算中比特的类似物，量子比特，可以处于状态的叠加态，而不是处于固定状态。

由于拓扑性质即使在系统受到轻微扰动时也保持稳定，因此科学家们有兴趣寻找使用拓扑学在量子计算机中编码信息的方法。目前，这些物质的拓扑相需要巨大的磁场和非常接近绝对零度的温度才能实现，因此，正如弗拉德金所说，“你不会很快看到量子笔记本电脑。”无论量子笔记本电脑是否最终实现，来自拓扑学的思想已经渗透到物理学中，并继续推动对奇异物理性质的理论和实验研究。