所有自然数不是快乐数就是悲伤数。有些也是自恋数

数字有很多不同的类型，您可能还记得在学校学到的一些：自然数、有理数、无理数、虚数、可计算数和不可计算数。然而，今天，我们将要谈论一些令人愉快的事情，即“快乐数”。是的，它们确实出现在数学中，而且这真的是它们的专业名称。

快乐数没有任何实际应用，但它们确实具有惊人的特性，这就是它们在业余数学家中如此受欢迎的原因。例如，所有自然数都可以分为“快乐”数或“悲伤”数。“快乐”的概括导致了“自恋数”，它们非常专注于自身。

快乐数的概念最初是谁提出的尚不清楚。 它们在 20 世纪 60 年代由英国数学家雷金纳德·艾伦比普及开来：取任意自然数，例如 13，将其数字平方（1² = 1；3² = 9）并将它们相加（1 + 9 = 10）。然后对结果数字重复此快乐计算（1² + 0² = 1）。如果第二次运算的总和为 1，则您已达到“不动点”。也就是说，每次进一步执行相同的过程都将始终产生结果 1。通过重复快乐计算最终产生 1 的数字称为快乐数。

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因此，人们不得不称所有其他数字为悲伤数。令人兴奋的是，当您应用快乐计算时，悲伤数也遵循固定的模式。例如，让我们从 4 开始：4² = 16，16 将产生 37（1² = 1 和 6² = 36 的和）。如果我们保持这种模式，我们将得到 16 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4。因为我们从 4 开始快乐计算，所以数字序列重新开始。因此，如果一个数字的重复快乐计算产生值 4、16、37、58、89、145、42 或 20，则该数字注定是悲伤的。艾伦比立即想知道自然数是否都可以分为快乐数（最终结果为 1）或悲伤数（以 4 开头的循环的一部分）——或者快乐计算是否还有其他终点。

有一种快速的方法可以找出答案。为此，您首先需要检查一个数字的平方数字之和可以变得有多大。假设您有一个一位数，例如 9。它的平方 81 大于它本身。对于两位数（例如 99）也是如此：9² + 9² = 162。但是，对于三位数或更多位数的数字，情况并非如此。即使对于 999，其数字平方之和也小于数字本身，即 243。这意味着如果您对一个三位数重复执行快乐计算，您将只会得到三位数值。另一方面，如果您从四位数开始，则第一步的快乐计算将导致三位数结果。

悲伤数算法

要证明每个自然数要么是快乐数，要么是悲伤数，您必须遍历所有三位数。这项任务很繁琐，但并不特别复杂。例如，您可以创建一个简短的算法来辅助以下步骤的过程

1. 为 i、j 和 k 选择一个从 0 到 9 的值。
2. 计算 z = i² + j² + k²。
3. 如果 z = 1，则三位数 ijk 是快乐数。
4. 如果 z = 4、16、37、58、89、145、42 或 20，则 ijk 是悲伤数。
5. 如果两种情况都不是真的，则使用“向下取整函数”Floor(x) 设置 i、j 和 k 的新值，该函数将每个十进制数分配给其向下取整的整数值 (Floor(1.6) = 1)：i = Floor(^z⁄₁₀₀)，j = Floor(^{a – 100 x i}⁄₁₀)，k = a – i x 100 – j x 10。使用 i、j 和 k 的这些新值，从步骤 2 继续该算法。

对 i、j 和 k 的所有一位数值重复此算法，结果将始终是快乐数或悲伤数。换句话说，所有三位数要么是快乐数，要么是悲伤数——所有四位数也是如此，因为它们的平方数字之和（快乐计算的第一步）将产生一个三位数。

这个论点可以一直延续到更大的自然数。结果是，每个自然数要么是快乐数，要么是悲伤数。当重复使用快乐计算时，没有哪个值可以逃脱这些命运。

但专家们对这个结果并不满意。例如，数学家们还想知道，快乐数的百分比是多少？它们是否像素数一样随着大小的增加而变得稀有，或者它们是否总是以大致相同的频率出现？

首先，快乐数有无限个。毕竟，10 的每个幂，10^x, 都必然对应一个快乐数。

但是它们的密度 ρ 呢，即快乐数与所有自然数的比率？在前 10 个自然数中，有三个快乐数（ρ = 0.3）。在前 100 个中，有 20 个（ρ = 0.2）。在前 1,000 个自然数中，有 143 个快乐数（ρ = 0.143）。甚至在在线整数序列百科全书 (OEIS) 中 也有一个条目专门处理快乐数在 0 到 10ⁿ 区间内的频率。因此，如果您计算不同 n 次幂的密度，您将得到以下图片

现在人们可能会假设密度大约等于 14%。 但正如数学家贾斯汀·吉尔默在 2011 年的一篇预印本论文中证明的那样（该论文随后于 2013 年发表），快乐数没有明确定义的密度。他证明，它们的密度取决于所考虑的区间，并且不会收敛到固定极限。 尽管这个结果让很多人感到惊讶，但快乐数远非唯一没有固定、明确密度的数字。

例如，在所有以 1 开头的数字集合中也发现了这种行为。在前九个数字（1、2、3、4、5、6、7、8、9）中，只有一个以 1 开头（数字 1），这对应于 1⁄9 的密度。在前 19 个数字（1、2、...、10、11、12、...、19）中，有 11 个以 1 开头，密度为 11⁄19。在前 99 个数字中，仍然有 11 个以 1 开头，因此在此数字区间内的密度为 11⁄99 = 1⁄9 。在前 199 个数字中，有 110 个以 1 开头，因此密度为 110⁄199，依此类推。

密度在较高值和较低值之间波动，具体取决于您选择的区间。在这种情况下，无法给出整个自然数范围内密度的极限。快乐数也是如此。根据区间，它们的密度在低于 12% 到高于 18% 之间变化。

计算连续快乐数

数学家们关注的另一个问题是：可以有多少个连续的快乐数？前两个是 31 和 32。要找到前三个连续的快乐数，您必须查看四位数的值：1,880、1,881、1,882。

在 2006 年的一篇预印本论文中，数学家郝潘证明 存在任意数量的连续快乐数。（该论文随后于 2008 年发表。）关键是您可能必须搜索很长时间。在 7,839 可以找到一个包含四个连续数字的序列，在 44,488 可以找到一个包含五个数字的序列，在 7,899,999,999,999,959,999,999,996 可以找到一个包含六个数字的序列。

另一个谜题是考虑将快乐数变为 1 需要多少次快乐计算。 这个量可以用来定义一个数的整体快乐程度。迭代次数越少，数字越快乐。因此 1、10、100 等非常快乐，而 13 则略逊一筹。

哪个数是最不快乐但不是悲伤的数？在两位数中，它是 7。从 7 到 1 需要五次迭代。接下来是 356，您需要六次快乐计算才能得到它。

在那之后，事情变得疯狂起来。如果您想要一个更不快乐的数字，您最终会得到一个 977 位数的值：378899999...999。迭代九次的快乐数有 10⁹⁷⁷ 位数——而且从外观上看，迭代次数没有限制。可以为任意数字 n 找到一个快乐数，它仅在重复 n 次快乐计算后才产生 1。因此，不快乐的程度没有限制。

当人们概括快乐数的概念时，事情变得非常令人兴奋。除了对数字平方求和之外，您还可以加上三次方。在这种情况下，自然数不再分为两个阵营，而是分为九个阵营。迭代要么在 1 处结束（“快乐立方体”），要么在其他四个不动点之一处结束（153、370、371、407），要么在四个循环之一中结束：55 → 250 → 133 → 55；160 → 217 → 352 → 160；136 → 244 → 136；或 919 → 1,459 → 919。

回归自身的数字

这种概括引出了数论中的另一个概念。当一个数字由 n 位数字组成时，您可以计算其数字的 n 次幂之和。例如，对于 243，结果是：2³ + 4³ + 3³ = 8 + 64 + 27 = 99。对于某些数字，此计算的结果会使其自身回归。例如 153，因为 1³ + 5³ + 3³ = 153。这样的数字称为自恋数。

所有个位数都是自恋数。事实上，自恋数总共只有 89 个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、153、370、371、407、1,634、8,208、9,474、54,748、92,727、93,084、548,834，...，最大的是 115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401。

可以证明，通过估算，没有比这更大的自恋数。假设一个数字有 n 位数字。如果所有数字的值都为 9，则数字的 n 次幂之和的最大大小为：n x 9ⁿ。但是，当 n 超过一定大小时，此结果始终小于由 n 位数字组成的最小数字 (10^n–1)。因此，这样的数字不可能成为自恋数。

过渡发生在 60 位数时：虽然 60 x 9⁶⁰= 1.08 x 10⁵⁹ 并且因此大于 10⁵⁹，但 61 x 9⁶¹= 0.99 x 10⁶⁰ 并且小于 10⁶⁰。对于所有 n > 60 都是如此。因此，不可能存在由超过 60 位数字组成的自恋数。通过遍历从 0 到 60 位数字的所有数字，可以测试它们的自恋性。事实证明，只有 89 个。

由于自恋数的数量有限，因此与快乐数相比，它们持有的未解决问题要少得多。但是这两个类别都非常适合有趣的消遣。

本文最初发表于 Spektrum der Wissenschaft 并经许可转载。