关于 Pi 的强大力量的疯狂主张创造了一个超凡的谜团

Pi (π) 可能是数学中最著名的数字。专家们不仅对其进行了广泛研究，而且它也吸引了业余爱好者：书籍、电影和歌曲都献给了这个数字。它之所以吸引人，部分原因可能是，即使它描述了圆这个最简单、最对称的几何物体之一，但它的十进制表示形式却没有任何对称性。pi 的十进制值没有尽头，永不重复。

人们研究数字 pi 已经有数千年历史了。因此，您可能会认为关于它的一切几乎都已经为人所知。但事实远非如此：圆仍然蕴藏着许多谜团。其中一个谜团围绕着反复将 pi 自乘会发生什么的问题：π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方是否有可能得到一个自然数？

将一个无理数多次乘方可能会得到一个小数点后没有数字的数，这个概念乍一看可能有些牵强。但也有其他例子。例如，(√2 的 √2 次方) 的 √2 次方可以简化为 √2^{√2 x √2}，因此结果为 √2² = 2。* 然而，要看出这种计算如何适用于 π 并不容易。

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一条推文挑战了数学界

2013 年 5 月 3 日，现任 Epic Games 首席数学家的丹·皮波尼在 Twitter（现为 X）上发布了一条帖子，要求人们证明π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方不是整数。这条消息引起了一些评论，但没有引起太多关注。

计算机科学家丹尼尔·斯皮瓦克很快看穿了皮波尼：“所以基本上，您是要求您的 Twitter 粉丝解决关于四次幂运算的重大未解问题之一？”他回复道。（四次幂运算是指重复执行的乘方。）实际上，即使是数学家也不知道当您将 π 连续乘方四次时会得到什么样的数字。

这难以置信吗？牛津大学数学家托马斯·布鲁姆也这么认为。他在 2021 年在 Twitter 上重新提出了这个问题。这次这个话题引起了更多兴趣：他的帖子被分享了 90 次，点赞超过 500 次。数学家和菲尔兹奖章获得者蒂莫西·高尔斯评论道：“哇！我的第一个想法是：‘为什么我们不能只计算到小数点后几位？’然后我就明白了。（但这适用于 pi^pi^pi。）”

老实说，那也是我的第一个想法。当我们能够简单地计算结果时，为什么要讨论这个问题呢？我实际上应该更清楚——事实上，我自己也写过关于大数的文章。即使 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方看起来无害，但它也是一个难以想象的巨大数字。

让我们做数学运算！

假设您想自己尝试计算。首先，您需要知道多次乘方运算是从右到左进行的。这意味着您首先计算 π 的 π 次方，大约为 36.46。

然后您将 π 乘方到 36.46... 次方，得到一个 18 位数的数字作为结果：1.34... x 10¹⁸。这个非常长的数字仅仅是三次乘方运算的结果。还缺少一次运算：π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方等于 π 的 1.34... x 10¹⁸ 次方。

结果将是巨大的——难以置信的巨大。这是一个拥有近 10¹⁸（十亿亿）位数字的数字。为了比较，在 2022 年，计算出的 pi 位数的记录为 62 x 10¹²。要计算 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方的整数结果，您将不得不确定多一百万倍的位数。而这仅仅是小数点前的数字。

我们实际上感兴趣的是小数点后的数字。毕竟，断言是 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方是一个整数——也就是说，它的小数点后没有数字。这意味着我们可以忽略计算中小数点前几乎 10¹⁸ 位数字。这可以简化计算。

您可以从一个更简单的例子开始。假设您想计算一个整数的重复乘方——例如，4 的 4 次方的 4 次方——并且只对最后两位数字感兴趣。您很快就会意识到 4 的 4 次方的 4 次方与 4²⁵⁶ 相同。

但是精确计算后者非常耗时，并且因为我们只对结果的最后两位数字感兴趣，所以您可以走捷径。首先，计算 4¹ = 4，然后将其乘以 4 得到 4² = 16。再次将其乘以 4，您得到 4³ = 64。重复此操作，您将得到结果：4⁴ = 256。现在简化来了：在下一步中，不必将整个三位数字结果乘以 4，只需查看最后两位数字（即 56）就足够了。毕竟，我们只对结果的最后两位数字感兴趣。这意味着 4⁵ = ...56 x 4 = ...224。在下一步中，您再次忽略百位数并继续：4⁶ = ...24 x 4 ...96，依此类推。如果您这样做 256 次，您将最终得到您要查找的数字的最后两位数字。

您可能已经猜到为什么这不适用于 π：圆周率是无理数，因此它有无限个小数位。因此，在乘方时，没有可以考虑的“最小数字”。

当然，您可以研究在计算中必须包含多少位小数的 π，才能在乘方后获得最精确的结果。通过这种方式，可能可以大致识别 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方是否可能取整数值。

澳大利亚数学家马特·帕克实际上在 YouTube 视频中做出了这种努力。如果您将 π 在小数点后五位截断，并将此数字乘方到 6 次方，则只有结果的前两位小数位是正确的。帕克无法精确计算出必须考虑多少位数字才能至少获得 π 的 1.34... x 10¹⁸ 次方（对应于 π 的 π 次方的 π 次方）的几个正确的小数位。但根据他的计算，帕克怀疑您至少需要指数的两倍（即 2 x 1.34... x 10¹⁸）的小数位数才能获得小数点后至少一位正确的数字。“简而言之，在可预见的未来，我们无法计算出这一点，”帕克在他的视频中总结了他的论点。

抽象数学来救援

幸运的是，数学也提供了其他方法来辨别一个数字是整数、无理数还是甚至是超越数。后者指的是不能表示为简单方程解的数字。例如，√2 不是超越数，因为 √2 是 x² = 2 的解。另一方面，π 是超越数。找出这一点通常很复杂。然而，已故的美国数学家斯蒂芬·霍尔·沙努尔在 20 世纪 60 年代提出了一个猜想，可以用来评估一个值是否是超越数（因此是无理数）。这个猜想本身非常抽象，需要高等数学。

一些专家已经使用沙努尔猜想来研究 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方。正如他们发现的那样，结果必须是超越数——因此不可能是一个整数。但沙努尔猜想仍然只是一个猜想；目前还没有人能够证明它。因此，关于该数字是超越数的结论仍然有待商榷。

最后，要解决 π 的四次乘方之谜，只有两种方法。“我们要么必须在数学方面变得更好并证明沙努尔猜想，”帕克在他的 YouTube 视频中说，“要么我们需要在计算方面变得更好。在那之前，我们不知道 π 的 π 次方的 π 次方的 π 次方是否是整数。”

本文最初发表在《明镜周刊》(Spektrum der Wissenschaft)上，经许可转载。

*编者注（2024 年 1 月 31 日）：此句子在发布后经过编辑，以更正括号的位置。