在1977年发射“旅行者”号双子探测器之前，美国宇航局的工程师们面临一个难题：当探测器到达木星和土星时，如何使用大约一个灯泡的功率将彩色照片传回地球？
这是一项需要极度节约的任务：每张图像都必须转换为一系列24位二进制序列，称为“码字”，并通过无线电波发送到太空中，这些无线电波通过其波峰和波谷的位置来表示每个1或0。但是数据传输是有噪声的。工程师们知道，当码字向地球传输时，一些1会被扭曲成0，一些0会被扭曲成1。为了重建“旅行者”号的标志性照片，他们必须能够纠正代码。
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“旅行者”号探测器需要使用其序列足够独特，即使有一些位被破坏也能识别的码字。但是，使用不那么独特的码字可以在24位限制内提供更多的可能性，从而实现更快的数据传输。这些相互竞争的需求转化为一个几何问题，其中位对应于空间坐标，每个码字是24维空间中一个球体的中心点。如果球体重叠，则相关的码字将不再是唯一可识别的。为了优化可以传输然后纠正的数据量，问题变成了：球体在24维空间中可以堆积得多紧密？
“纠正这种嘈杂通信信道上的错误的问题正是球体堆积问题，”位于马萨诸塞州剑桥市的微软新英格兰研究院的数学家亨利·科恩说。
球体堆积问题几乎是所有数字通信和存储的基础，从手机到CD到互联网。但是，这些传输形式的最佳代码对应于在日常经验的三个维度之外的维度中球体的最密集堆积，而更高维度的问题已被证明是令人生畏的。更难以解决的是不同大小的球体或更尖锐的形状的密集堆积——与材料科学和工业制造相关的二维和三维问题。数学家们几个世纪以来一直在努力解决堆积问题，他们被这些问题的难度及其现实世界的应用所吸引，但是每种情况都引发了其特殊的难题。“这太荒谬了，”科恩说。“我们甚至不知道在平面上堆积五边形的最佳方法。”
现在，一种新的计算技术使许多几十年来一直停滞不前的重大案例取得了进展。法国波尔多大学的数学家克里斯汀·巴霍克和德国科隆大学的数学家弗兰克·瓦伦丁在2008年开发了这种工具，称为“半正定规划界限”，它借鉴了荷兰阿姆斯特丹大学的亚历山大·施赖弗的早期论文。该技术通过识别上限来粗略估计对象的最大密度堆积，随着边界的计算变得越来越详细，上限可以逐渐降低到精确解。该工具正在为堆积问题的基础几何提供新的见解，包括关于对称性是否是最大密度堆积中心特征的长期问题。
瓦伦丁是应用数学和计算机科学教授，他和他的同事最近使用半正定规划来降低二维空间中五边形的最大密度堆积和四维、五维、六维、七维和九维空间中球体的最大密度堆积的上限。“这是让我们超越我们以前拥有的分析技术的真正突破，”科恩说，他共同发现了那些维度中的先前最佳边界。
迄今为止取得的渐进式进展几乎没有实际应用，但研究人员表示，这可能预示着更大的飞跃。“现在，更多的是关于开发方法，”瓦伦丁说。
半正定规划改进了一种称为线性规划的技术，线性规划几十年来一直是上限发现方法的首选。利用线性规划，研究人员列出对象对之间可能的相关性的约束，例如两个球体的间距不能小于其半径的两倍的规则。然后，一种算法会搜索满足约束列表的最高密度，从而通过排除一系列密度来产生上限。在半正定规划中，该列表还可以包括对三元组、四元组或更大的对象集合的约束，从而提供更丰富的几何描述，从而产生更好的边界。
“最大的权衡是在边界的复杂性和我们期望它们接近真相的程度之间，”科恩解释说。
新工具已经使研究人员能够改进类似于“旅行者”号探测器使用的二进制代码的优化。在2012年5月和2013年11月发表在《IEEE 信息论汇刊》上的两篇论文中，两个小组改进了长度从18到28位的代码的界限。
但是，除了深空通信之外，那些长度的代码只有很少的应用。大多数现代数字传输都涉及更大的数据包，并且传输效率与数百或数千个空间维度中的球体堆积相对应。在这些情况下，普林斯顿大学教授萨尔瓦托雷·托尔夸托和弗兰克·斯蒂林格在2006年推测的最大密度堆积是稀疏的，球体仅填充了空间中千分之几的百分比。“在更高的维度中，没有证据表明最大密度堆积是什么，”托尔夸托说。“随着你增加空间的维度，事实上，无序最终会战胜有序，而最大密度堆积是一种随机排列，这是一种可能性。”
然而，无序排列很难在数学上定义并用作纠错码。自从美国数学家克劳德·香农在他1948年的经典论文（该论文是信息论的基础）中揭示了该问题与数据传输的相关性以来，研究人员一直在努力寻找高维空间中球体的密集、对称的晶格。瓦伦丁和外部研究人员表示，半正定规划界限可能是在确定可能实现的大致密度方面有所帮助的方法。
该工具还有助于解决更广义的堆积问题。瓦伦丁和他的同事最近应用他们的算法，找到了一些关于两种不同大小的球体的最大密度堆积的首次上限，这是一个与许多晶体的研究以及某些消息比其他消息更重要的代码相关的问题。他们还表明，五边形不能填充超过二维空间的98％。
普林斯顿大学的凝聚态物理学家约阿夫·卡卢斯说：“获得这些类型问题的上限极具挑战性。”三年前，卡卢斯和他的合作者证明，称为四面体的金字塔形物体不能填充超过空间99.99999999999999999999999974％。“显然，我们不期望堆积能达到那么高，”他说。“只是很难获得任何上限。”
瓦伦丁正在完善他的算法，希望最终将四面体的上限降低到更接近最佳密度的水平。（到目前为止，密歇根大学的莎伦·格洛策和她的同事在2010年发现的最大密度排列，填充了空间的85.63％。）该算法也将适用于各种其他形状。“最终目标是：你把你的形状给计算机，计算机给你一个关于你能把它堆积多密集的合理上限，”瓦伦丁说。
考虑到二维和三维堆积问题的复杂性，旅行者号探测器是如何使用24维码字传输照片的？幸运的是，对于美国宇航局来说，在已解决的少量堆积问题中，24维球体晶格是特例。“在24维空间中，有一个惊人的对称和密集的晶格，称为‘李奇晶格’，”托尔夸托说。这种球体的紧密排列是英国数学家约翰·里奇在20世纪60年代发现的，它为旅行者号探测器在数据传输期间提供了4,096个丰富的码字。但是，李奇晶格不仅仅表示24维空间中球体的最大密度堆积。它属于一类新的几何结构，这些结构是各种方式相互作用的物体的首选排列方式，而不仅仅是像球体那样不能重叠的物体。这些“普遍最优”是“最有趣、最美丽、最重要的结构，”科恩说，他与麻省理工学院的数学副教授阿比纳夫·库玛一起研究它们。
普遍最优表现出某些奇迹般的特性，例如科恩称之为“不会卡住”的现象。考虑尝试在平面上找到圆的最大密度堆积。你可能会从在一张纸的中间画一个圆开始，并在其周围尽可能多地安装额外的圆。你很快就会发现六个圆在中心圆周围形成一个紧密的六边形。没有理由认为这种模式应该继续保持下去（例如，如果你画的是五边形，你只能画一圈邻居，然后就会出现尴尬的间隙），但事实证明，你可以按照六边形模式不断添加圆，而不会遇到麻烦。“一切都井然有序，”科恩说。
由蜜蜂建造的连续蜂巢平面所例证的这种二维六边形晶格的罕见特征，在24维空间中的李奇晶格和八维空间中称为E8晶格的结构中也存在。尽管无法可视化，但在数学上，这些晶格的构造同样简单。“一切都各就各位，”科恩解释说。“模式会以你期望的方式继续下去。你永远不会卡住。”
该特性与普遍最优性有关。在2009年发表于《数学年刊》上的论文中，Cohn和Kumar证明了8维和24维的上界，这些上界与E8和Leech格子的密度相差不到百分之一，这表明它们几乎肯定是各自维度中最密集的球体堆积。但这些格子似乎也普遍是最优的配置，不仅适用于球体，也适用于彼此施力的粒子，例如两个互相排斥的电子。Cohn表示，对于“粒子之间任何合理的排斥力”，粒子都会在2维中自组装成六边形格子，在8维中自组装成E8格子，在24维中自组装成Leech格子。这些排列不仅是最密集的，而且是“普遍”最优的。
也许正是由于这个原因，这些结构广泛地出现在数学和物理学中。“从组合数学和图论到几何学和代数几何等等，它们到处都有出现，”Kumar说。
E8在弦理论中发挥着作用，弦理论是一种假设的“万物理论”，它认为时空是10维的，电子和夸克等粒子是以不同频率振动的微小一维弦。在20世纪80年代，弦理论学家表明，一种被称为杂交弦理论的变体可以使用两个E8副本的对称性来构建。“我们可以从E8杂交弦理论出发，精确地生成我们所知的现实世界，”宾夕法尼亚大学的弦理论学家Burt Ovrut说。当以一种使世界看起来是三维的方式来简化E8理论时，它包含了“夸克、轻子、希格斯玻色子以及我们观察到的所有其他粒子”。
普遍最优性是一个年轻的概念，研究人员仍在探索其意义和结果。最近，Cohn和他的前实习生Jeechul Woo使用半定规划界限发现了新的普遍最优解，其中包括一些比预期对称性低得多的排列。“对称性无疑发挥着重要作用，”Kallus说，“但我认为Henry Cohn展示的有趣的事情之一是，存在一些普遍最优的配置，它们不具备这种对称性。”
数学家长期以来在处理堆积问题时都假设，正如任何旅行者所知，在堆积方面，有序通常胜过无序。对称性并非在高维度中（随机性占主导地位）或在一些新研究的低维度案例中都不是全部，这意味着科学家可能需要一些其他原则来理解堆积的潜在几何结构及其宏大的延伸——普遍最优性。
“目前，我认为我们没有一个根本的统一原则，”Kumar说。“我认为那里存在各种有趣的事情。我们正在寻找对称性的替代品。”
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