在德国数学家格尔德·法尔廷斯于 1983 年证明了莫德尔猜想之后，他被授予菲尔兹奖，该奖项通常被描述为“数学界的诺贝尔奖”。该猜想描述了一个条件集，在该条件下，两个变量（例如 x2 + y4 = 4）的多项式方程保证只有有限数量的解可以写成分数形式。
法尔廷斯的证明解答了一个自 20 世纪初以来一直悬而未决的问题。此外，它为其他未解之谜打开了新的数学大门，研究人员至今仍在探索其中的许多问题。近年来，数学家在理解这些分支及其对更基础数学的意义方面取得了诱人的进展。
莫德尔猜想的证明涉及以下情况：假设两个变量的多项式方程定义了一条曲线。莫德尔猜想核心的问题是：曲线的亏格与定义该曲线的多项式方程存在的有理数解的数量之间是什么关系？亏格是与描述曲线的多项式方程中的最高指数相关的属性。它是一个不变属性，意味着即使对曲线应用某些运算或变换，它也保持不变。
支持科学新闻报道
如果您喜欢这篇文章，请考虑通过以下方式支持我们屡获殊荣的新闻报道 订阅。通过购买订阅，您正在帮助确保有关当今塑造我们世界的发现和想法的具有影响力的故事的未来。
莫德尔猜想核心问题的答案是，如果代数曲线的亏格为 2 或更大，则多项式方程将存在有限数量的有理数解。（此数量不包括仅是其他解的倍数的解。）对于亏格为零或亏格为一的曲线，可能存在无限多个有理数解。
“就在 100 多年前，莫德尔猜想这个亏格控制了这些曲线上有理点的有限性或无限性，”剑桥大学的数学家霍莉·克里格说。考虑一个点 (x, y)。如果 x 和 y 都是可以写成分数的数字，则 (x, y) 是一个有理点。例如，(1⁄3, 3) 是一个有理点，但 (√2, 3) 不是。克里格说，莫德尔的想法意味着“如果你的亏格足够大，你的曲线在某种程度上在几何上是复杂的”。她在 2024 年联合数学会议上就莫德尔猜想的历史以及随后的工作做了一个特邀讲座。
法尔廷斯的证明点燃了探索扩展莫德尔猜想的问题的新可能性。其中一个令人兴奋的问题——统一莫德尔-朗猜想——是在 1986 年提出的，同年法尔廷斯被授予菲尔兹奖。
克里格说，哈佛大学的巴里·马祖尔正式提出的统一莫德尔-朗猜想“在一系列论文中得到证明，最终在 2021 年达到顶峰”。四位数学家——加州理工学院的韦塞林·迪米特洛夫、加州大学洛杉矶分校的齐扬·高和瑞士巴塞尔大学的菲利普·哈贝格尔（他们是合作者）以及都柏林大学学院的拉斯·库恩（他独立工作）的工作导致了该猜想的证明。
对于统一莫德尔-朗猜想，数学家们一直在问：如果您将数学讨论范围扩大到包括更高维度的对象会发生什么？那么，关于数学对象的亏格与相关的有理点数量之间的关系，可以说什么呢？事实证明，答案是，与曲线或更高维对象（如曲面）相关的有理点的上限（意味着可能的最高数量）仅取决于该对象的亏格。对于曲面，亏格对应于曲面中的孔数。
然而，根据迪米特洛夫、高和哈贝格尔的说法，有一个重要的警告。“几何对象（曲线、曲面、三维流形等）[必须]包含在一个非常特殊的周围空间内，即所谓的阿贝尔簇，”他们在给大众科学的电子邮件中写道。“阿贝尔簇本身最终也由多项式方程定义，但它配备了群结构。阿贝尔簇具有许多令人惊讶的特性，它们甚至存在本身就是一个奇迹。”
克里格说，统一莫德尔-朗猜想的证明“不仅解决了一个已经开放 40 年的问题”。“它触及了数学中最基本问题的核心。”这些问题集中在寻找有理数解（可以写成分数的解）的多项式方程。此类问题通常被称为丢番图问题。
哈贝格尔说，莫德尔猜想“是几何学决定算术学意义的一种实例”。该团队对证明统一莫德尔-朗猜想的贡献表明“有理点数量本质上受几何学限制”，他说。因此，证明统一莫德尔-朗猜想并没有给数学家一个关于给定亏格将有多少有理数解的精确数字。但它确实告诉他们解决方案的最大可能数量。
2021 年的证明当然不是莫德尔猜想分支问题的最终篇章。“莫德尔最初猜想的美妙之处在于它开启了一个更广泛问题的世界，”马祖尔说。根据哈贝格尔的说法，“主要的未解决问题是证明有效的莫德尔”——原始猜想的一个分支。解决这个问题将意味着进入另一个数学领域，在该领域中可以精确地确定给定场景存在多少有理数解。
在证明统一莫德尔-朗猜想所给出的信息与实际解决有效的莫德尔问题之间存在着巨大的差距。哈贝格尔说，知道给定情况下有多少有理数解的界限“并没有真正帮助你”确定这些解是什么。
“假设你知道解的数量最多为一百万。如果你只找到两个解，你永远不会知道是否还有更多，”他说。如果数学家能够解决有效的莫德尔问题，那将使他们极大地接近能够使用计算机算法快速找到所有有理数解，而不是不得不一个一个地费力地搜索它们。