展望未来
国际数学联盟已宣布明年为2000年世界数学年。 为此，他们呼吁汇编一批将在21世纪研究的问题。 |
在任何科学领域中衡量真正的进步可能都很困难，但在数学领域中可能尤其如此。 在过去的一个世纪里，物理学的进步往往以新发现的粒子形式出现； 工程学方面，则以更复杂的设备形式出现； 天文学方面，则以更遥远的行星和恒星形式出现； 生物学方面，则以更稀有的基因形式出现； 化学方面，则以更有用的材料和药物形式出现。 但在数学中，没有明显的标记。 单个问题的重要性（或简单性）通常从一开始就不清楚。
因此，在千禧年之际，我们如何评判过去 100 年的数学进步？ 幸运的是，在 1900 年巴黎举行的国际数学家大会上，当时最伟大的数学家之一——大卫·希尔伯特——提出了 23 个问题，他认为他的同事们应该在 20 世纪解决这些问题。 事实上，希尔伯特的大部分问题现在都已得到解决。 但例外情况——以及那些未能达到预期的解决方案——仍然令人感兴趣。
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最令希尔伯特本人惊讶的可能是库尔特·哥德尔在 1930 年代对问题 1（连续统假设）和问题 2（关于算术公理是否一致）的解答。 他没有预料到连续统假设会很快得到解答，也可能没有预料到算术公理（实际上任何理论）都无法证明自身的一致性的结果。 在 1930 年退休时，他在他的出生地柯尼斯堡向德国科学家和医生协会发表了演讲，他在演讲中说：“我们必须知道。 我们必将知道”——这些话现在刻在他的哥廷根墓碑上。 但哥德尔所展示的恰恰是我们并非总是能够知道。
希尔伯特的一些问题非常简单，包括问题 3，这个问题几乎在他引起注意后就立即得到了解决。 1902 年，马克斯·德恩证明，底面和高度相等的两个四面体不一定具有相同的体积。 但另一些问题过于宽泛，可能永远无法完成。 例如，在问题 6 中，希尔伯特——他曾在另一个场合说过“物理学对物理学家来说正变得过于困难”——呼吁对“物理学公理进行数学处理”。 约翰·冯·诺伊曼和其他人为量子力学的公理化做出了贡献，但这个问题可能始终是开放式的。
图片来源：圣安德鲁斯大学 大卫·希尔伯特。 作为上个世纪之交在世的最伟大的数学家之一，希尔伯特向他的同事提出了 23 个问题，要求他们在 2000 年之前解决。 |
其他问题的解决速度比希尔伯特可能猜测的要快。 例如，问题 7 可以很容易地用两种方式陈述：如果 a 是一个代数值，b 是一个无理数值，那么 a b 是超越数吗？ 从几何角度来看，问题是，如果在等腰三角形中，底角与顶角之比是代数的但不是有理的，那么底边与侧边之比是否总是超越数。 希尔伯特指出，“尽管这个陈述很简单……，但我认为这个定理的证明非常困难。” 但到 1934 年，亚历山大·盖尔丰德证明答案是肯定的。 相比之下，问题 18，又称可追溯到开普勒时代的球体堆积问题，看起来很直接，但直到两年前才被解决。
也许最有趣的是那些尚未解决的希尔伯特问题。 其中最重要的可能是第 8 个问题，即证明黎曼猜想，该猜想与素数（只能被 1 和自身整除的数）的分布有关。 据说希尔伯特曾经说过，如果他能在 1000 年后从死里复活，他的第一个问题将是黎曼猜想（以格奥尔格·黎曼的名字命名）是否已被证明。 它的重要性部分来自于它引出的其他更普遍的问题——包括哥德巴赫猜想，即每个整数都可以表示为两个正素数之和，以及是否存在无限多对差为 2 的素数。 好消息是谣言四起，一些学者认为解决方案即将出现。
可能更接近实现的是谷山-志村猜想的证明，该猜想描述了希尔伯特在问题 16 中呼吁的代数曲线和曲面的拓扑结构。 第一步是迄今为止 20 世纪最著名的解决方案：安德鲁·怀尔斯 1995 年对费马最后定理的证明，该定理代表了谷山-志村猜想的一个特例。 在 7 月 9 日出版的科学杂志上，一篇报道称，克里斯托夫·布雷伊、布莱恩·康拉德、弗雷德·戴蒙德和理查德·泰勒（怀尔斯在解决费马问题时的合著者）已经证明了所有情况。 （希尔伯特在被问及为什么他没有尝试解决费马最后定理时评论说：“在开始之前，我应该投入三年的深入研究，但我没有那么多时间浪费在可能的失败上。”）
那么接下来会发生什么？ 对于潜在的解题者来说，一个可能有利可图的问题是费马最后定理的更广泛的推广，称为贝尔猜想，它从未列入希尔伯特的清单。 1997 年，达拉斯银行家安德鲁·贝尔首次宣布了该猜想，该猜想指出，如果 Ax + By = Cz，则 A、B 和 C 具有公因子（当 A、B 和 C 是整数且 x、y 和 z 大于 2 时）。 当时，他为证明或反例提供了 50,000 美元的奖金。 现在奖金已高达 75,000 美元。
希尔伯特清单的 21 世纪版本和其他候选问题正在审查中。 1992 年 5 月 6 日，国际数学联盟（当时在里约热内卢开会）宣布明年为 2000 年世界数学年。 为此，他们任命了一个委员会，由里约热内卢纯粹与应用数学研究所的雅各布·帕利斯领导，负责提出一系列希尔伯特式的未解决问题。 国际数学联盟还在协调明日数学的出版，其中收录了著名数学家关于下个世纪数学前景的文章。
这些新的挑战将如何与希尔伯特的挑战相提并论？ 也许我们还没有完全准备好将希尔伯特抛在身后。 在 1900 年的演讲中，他指出“一位法国老数学家说过：‘只有当你把它解释得足够清楚，以至于你可以向你在街上遇到的第一个人解释清楚时，才能认为一个数学理论是完整的。’” 按照这些标准，数学家们还有很长的路要走。