公元前5世纪的某个时候，希腊哲学家希帕索斯，一个秘密的毕达哥拉斯兄弟会的成员，离开了他在意大利南部的家，登上了一艘远洋航行的船。我们不知道希帕索斯旅行的原因或他要去哪里，但我们确实知道他没有到达目的地。根据传说，一旦船只远离海岸，这位可怜的哲学家就被他的毕达哥拉斯兄弟们袭击并扔进了海里。
毕达哥拉斯学派有充分的理由对他们的兄弟下手。追随他们的创始人毕达哥拉斯的教义，他们热烈地相信世界上的一切都可以用整数及其比率来描述。但希帕索斯证明了正方形的对角线与其边长是不可通约的，或者，正如我们今天所说，根号2（对角线相对于边长的长度）是无理数。这意味着无论边长被分割多少次，对角线被分割多少次，最终的大小永远不会相等。
希帕索斯的发现改变了西方数学的进程。首先，它表明正方形的边长和对角线的比例不能用简单的比率来描述，这注定了毕达哥拉斯学派的失败。其次，它表明线不能被描述为一连串微小的点串在一起，否则这些点将作为所有大小的共同度量。希帕索斯证明，离散的数字和点永远无法完全捕捉由连续实体（如线和面）组成的世界。因此，唯一合适的数学科学是几何学——研究连续量之间关系的学科。
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在接下来的两千年里，希帕索斯的教训在很大程度上没有受到挑战，几何学占据了至高无上的地位。直到16和17世纪，荷兰（西蒙·斯蒂文）、英国（托马斯·哈里奥特、约翰·沃利斯）特别是意大利（博纳文图拉·卡瓦列里、埃万杰利斯塔·托里切利）的新一代数学家才开始探索离散点和连续量之间的严格分离。他们想知道，如果我们假设一条线是由无穷小组成的——由微小的，或无限小的点组成的，会发生什么？同样，一个平面是由并排放置的线组成的，一个立体是由堆叠在一起的面组成的？
他们很快发现，结果是惊人的。在这种有问题的假设的帮助下，他们能够轻松地计算几何曲线的长度及其斜率，几何图形的面积和立体的体积——这些结果如果使用传统的几何学，要么极其困难，要么根本不可能实现。到1700年，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨将这种方法变成了我们所知的强大算法“微积分”，它可以应用于从行星运动到弦的振动和炮弹的飞行等任何事物。
新的无穷小方法的先驱们非常清楚他们的方法建立在不稳定的逻辑基础上，但在大多数情况下他们并不在意。他们认为，只要他们的方法能够得出正确的结果，那么它就一定是根本上正确的。然而，其他人并不那么乐观。来自意大利的耶稣会士到英国的哲学家主教乔治·贝克莱的批评者指责无穷小破坏了数学甚至理性本身，并且不可避免地会导致严重的错误。于是争论愈演愈烈。
最终，在19世纪的最初几十年，法国数学家奥古斯丁-路易·柯西结束了这场争论。柯西意识到，新数学的问题在于它应该对应于物质现实。希帕索斯已经证明，这永远行不通。因此，在他的1821年出版的《分析教程》中，柯西在不借助线是由无穷小点组成的直观想法的情况下，重新构建了微积分。他严格地将“导数”和“积分”的核心概念定义为无穷级数的极限，没有参考曲线斜率或图形面积的唯物主义概念。
通过将微积分转变为严谨的数学系统，柯西结束了一场持续了两千多年的冲突。公元前5世纪，希帕索斯表明数学永远无法完全描述世界。公元19世纪，柯西表明数学不必如此：数学将在自身的基础上生存和发展，摆脱物质现实的束缚。现代数学由此诞生。