这里有一个每个人都能解决的数学问题：1 − 1 等于多少？0。到目前为止还不错。如果我们再加一个 1，总和就会增加，但如果我们再减去一个 1，我们又回到了 0。假设我们永远这样做下去
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...
结果总和是多少？这个问题看起来很简单，甚至很傻，但它困扰了 18 世纪一些最伟大的数学家。悖论围绕着这个问题，因为关于总和的多种看似合理的论证得出了截然不同的结论。第一个深入研究这个问题的人认为它解释了上帝是如何创造宇宙的。它在现代术语中的解决说明，数学比有时所认为的更具人文性。
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猜猜您认为这个无穷级数等于多少。我给你多个选择
A. 0
B. 1
C. ½
D. 它不等于任何值
如果我们包含暗示性的括号，那么 0 的论证自然而然地就出现了
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ...
回想一下，在数学中，运算顺序规定我们先计算括号内的，然后再计算括号外的。每个 (1 − 1) 都抵消为 0，因此上面算出来是 0 + 0 + 0 +...，显然等于零。
然而，括号位置的轻微移动会产生不同的结果。如果我们把第一个 1 放在一边，那么第二项和第三项也会抵消，第四项和第五项也会抵消
1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + …
同样，所有的括号都加起来为 0，但我们在开头有一个额外的正 1，这表明整个表达式的和为 1。
意大利僧侣兼数学家路易吉·圭多·格兰迪于 1703 年首次研究了这个级数（无限多个数字的总和）。格兰迪，这个特定的级数现在以他的名字命名，他观察到，仅仅通过移动括号，他就可以使级数的和为 0 或 1。据数学史学家乔治·巴尼称，这种算术上的不一致性对格兰迪具有神学意义，他认为这表明无中生有是“完全合理的”。
级数的和既是 0 又是 1 似乎是自相矛盾的，但当然选项 C (½) 同样令人困惑。无限多个整数的和怎么可能得到一个分数呢？然而，最终格兰迪和 18 世纪许多著名的数学家都认为答案是 ½。格兰迪用一个寓言来论证这一点：想象一下，兄弟俩从父亲那里继承了一颗宝石，每个人都把它放在自己的博物馆里，隔年轮流保管。如果这种宝石来回传递的传统在他们的后代中延续下去，那么这两个家庭将各自拥有这颗宝石的 ½ 所有权。
作为证明，我不建议在下次数学考试中写宝石的故事。德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨同意格兰迪的结论，但他试图用概率推理来支持它。莱布尼茨认为，如果你在随机点停止求和级数，那么你在该点之前的和将以相等的概率为 0 或 1，因此将它们平均为 ½ 是有道理的。他认为结果是正确的，但承认他的论证更“形而上学而非数学”。
瑞士数学家莱昂哈德·欧拉采用了更复杂的方法来论证 ½，并在他 1760 年的论文 De seriebus divergentibus （翻译：“论发散级数”）中以相当防御性的段落回应了那些不同意的人。欧拉断言，“毫无疑问，事实上级数 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 等等和分数 ½ 是等价量，并且总是允许将一个替换为另一个而不会出错。” 所以很多聪明人都强烈支持选项 C。
像这样的无穷级数困扰着思想家，至少可以追溯到古希腊，芝诺的运动悖论就是如此。在一个著名的例子中，芝诺观察到，要走一条路，必须先走完一半，然后必须走完剩余距离的一半（总路径的 ¼），然后再走完剩余距离的一半（⅛），等等。可以永远细分下去，这表明我们每次走一条路，都会在有限的时间内完成无限多的动作——这是一个悖论。
虽然哲学家们在 2400 年后的今天仍在争论芝诺悖论的形而上学意义，但数学家们在 19 世纪后期确实朝着解决这些悖论和格兰迪级数的谜团迈出了重要一步。从微积分的基础中，出现了关于无穷级数何时求和为有限值的明确定义。找到答案首先要看部分和——将前两项相加，然后将前三项相加，然后将前四项相加，依此类推。如果这些中间和继续越来越接近一个固定值，那么我们就说该级数“收敛”到该值。让我们将此应用于芝诺悖论中的级数，该级数将路径的一半加上路径的四分之一加上路径的八分之一，依此类推。
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
前两项的和为 0.75，前三项的和为 0.875，前四项的和为 0.9375。如果我们对前 10 项求和，我们将得到 0.9990234375。部分和越来越接近 1，因此级数收敛于 1。虽然我们可以将路径视为无限多个距离，但微积分证实它最终仍然等于一条路径。
格兰迪级数的部分和在 0 和 1 之间振荡，永远不会趋近于一个单一值。因此，现代数学家会选择选项 D（格兰迪级数不求和为任何值）。
格兰迪级数的解决引发了一个社会学问题。为什么数学界接受部分和方法，而不接受莱布尼茨的概率论证或其他一些无穷级数求和的规定？虽然它们看起来和闻起来可能都一样，但无穷级数求和与加法不同。加法在移动括号时不会改变——例如，1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3——但许多级数，包括格兰迪级数，会改变。为了方便起见，数学家借用“求和”和“等于”等词语来讨论级数，但在幕后，当他们说芝诺级数“求和为 1”或“等于 1”时，他们真正的意思是部分和收敛于 1，仅此而已。
收敛的部分和定义并非任意。数学界出于充分的理由更喜欢它而不是其他替代方案。它减轻了困扰早期研究无穷和的数学家的许多悖论，并保留了有限加法所享有的许多良好性质。但是，收敛的其他定义也很有用。例如，Cesàro 求和方法不是询问部分和接近哪个数字，而是取前两个部分和的平均值，然后取前三个部分和的平均值，然后取前四个部分和的平均值，依此类推，并询问这些平均值接近什么。如果您将这种调整后的方法应用于像芝诺级数这样的收敛级数，它总是会给您相同的答案。但是，当应用于在标准定义下不收敛的级数时，有时会给出不同的答案。特别是，格兰迪级数的 Cesàro 和为 ½。
数学文献中出现了许多其他求和方法。实际上，我们无法物理地添加无限多的东西，因此求和方法只是提供了为无穷级数赋值的有原则的方法。部分和定义理所当然地成为默认状态，但偶尔有其他选择也会有所帮助。
奇怪的是，在大多数替代方法下，格兰迪级数的和都为 ½。因此，对我们开头问题的一种通俗回答可能是：格兰迪级数不求和为任何值，但如果它求和，它将求和为 ½。