我们大多数人都认为数学的有效性是理所当然的——科学家可以设计公式来描述亚原子事件，工程师可以计算航天器的路径。我们接受最初由伽利略提出的观点，即数学是科学的语言，并期望其语法能够解释实验结果，甚至预测新的现象。然而，数学的力量简直令人震惊。例如，考虑一下苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦著名的方程组：这四个表达式不仅总结了19世纪60年代所有关于电磁学的知识，还在德国物理学家海因里希·赫兹探测到无线电波的二十年前就预见到了无线电波的存在。极少有语言如此有效，能够如此简洁而精确地表达大量材料。阿尔伯特·爱因斯坦曾思考：“数学作为人类思想的产物，独立于经验，但却如此出色地契合物理现实的客体，这怎么可能呢？”
作为一名理论天体物理学家，我每一步工作都会遇到诺贝尔奖得主物理学家尤金·维格纳在1960年所称的“数学令人费解的有效性”。无论我是在努力理解哪些前身系统产生了被称为 Ia 型超新星的恒星爆炸，还是在计算我们的太阳最终变成红巨星时地球的命运，我使用的工具和我开发的模型都是数学的。数学以其不可思议的方式捕捉自然世界，这在我的整个职业生涯中都让我着迷，大约在10年前，我决心更深入地研究这个问题。
这个谜团的核心在于数学家、物理学家、哲学家和认知科学家们几个世纪以来一直在争论的一个论点：数学是像爱因斯坦认为的那样，是一套被发明的工具吗？还是它实际上存在于某个抽象领域，人类仅仅是发现了它的真理？包括大卫·希尔伯特、格奥尔格·康托尔和以尼古拉·布尔巴基为名的团体在内的许多伟大的数学家都认同爱因斯坦的观点，这与一个被称为形式主义的思想流派有关。但其他杰出的思想家——其中包括戈弗雷·哈罗德·哈代、罗杰·彭罗斯和库尔特·哥德尔——则持有相反的观点，即柏拉图主义。
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关于数学本质的这场辩论至今仍在继续，似乎难以找到答案。我认为，仅仅简单地询问数学是被发明还是被发现的，我们就忽略了一个更复杂的答案的可能性：发明和发现都起着至关重要的作用。我假设它们共同解释了为什么数学如此有效。尽管消除发明和发现之间的二分法并不能完全解释数学令人费解的有效性，但问题是如此深刻，以至于即使朝着解决问题迈出部分步伐也是进步。
发明与发现
数学在两种截然不同的方式上具有令人费解的有效性，一种我认为是主动的，另一种是被动的。有时，科学家专门创建方法来量化现实世界的现象。例如，艾萨克·牛顿为了捕捉运动和变化，并将它们分解为无限小的逐帧序列，而提出了微积分。当然，这种主动的发明是有效的；毕竟，这些工具是按需定制的。然而，令人惊讶的是它们在某些情况下的惊人准确性。例如，以量子电动力学为例，它是为描述光和物质如何相互作用而开发的数学理论。当科学家用它来计算电子的磁矩时，理论值与最新的实验值（在2008年以适当单位测量为 1.00115965218073）在万亿分之几的范围内一致！
也许更令人惊讶的是，数学家有时会开发整个研究领域，而没有考虑到任何应用，但几十年甚至几个世纪后，物理学家发现这些分支可以解释他们的观察结果。这种被动有效性的例子比比皆是。例如，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦在19世纪初发展了群论，其唯一目的是确定多项式方程的可解性。广义地说，群是由对象集合（例如，整数）组成的代数结构，这些对象在某种运算（例如，加法）下结合在一起，并遵循特定的规则（其中包括诸如 0 之类的单位元素的存在，该元素与任何整数相加时，都会返回相同的整数）。在20世纪的物理学中，这个相当抽象的领域被证明是分类基本粒子（物质的组成部分）最有效的方法。在20世纪60年代，物理学家默里·盖尔-曼和尤瓦尔·内埃曼独立地表明，一个特定的群，称为 SU(3)，反映了亚原子粒子（称为强子）的行为——这种联系最终为原子核如何结合在一起的现代理论奠定了基础。
结的研究提供了另一个美丽的被动有效性例子。数学上的结类似于日常的结，只是它们没有松散的端头。在19世纪60年代，开尔文勋爵希望将原子描述为以太的打结管。那个被误导的模型未能与现实联系起来，但数学家们在接下来的几十年里继续分析结，仅仅将其作为纯数学的一个深奥的分支。令人惊讶的是，结理论现在为弦理论和圈量子引力提供了重要的见解——我们目前最好地尝试阐明一种时空理论，该理论将量子力学与广义相对论相协调。同样，英国数学家哈代在数论方面的发现推动了密码学领域的发展，尽管哈代早些时候宣称“没有人发现数论有任何可用于战争的目的”。1854年，伯恩哈德·黎曼描述了非欧几何——平行线会聚或发散的奇特空间。半个多世纪后，爱因斯坦引用了这些几何学来构建他的广义相对论。
一种模式正在显现：人类通过从周围世界中抽象元素——形状、线条、集合、群等等——来发明数学概念，无论是为了某种特定目的还是仅仅为了乐趣。然后，他们继续发现这些概念之间的联系。由于这种发明和发现的过程是人为的——不同于柏拉图主义者所赞同的那种发现——我们的数学最终是基于我们的感知和我们可以想象的心理图像。例如，我们拥有一种称为次觉的与生俱来的天赋，可以立即识别数量，这无疑导致了数字概念的产生。我们非常擅长感知单个物体的边缘，以及区分直线和曲线以及不同形状，例如圆形和椭圆形——这些能力可能导致了算术和几何的发展。同样，人类反复经历的因果关系至少部分地促成了逻辑的创造，以及某些陈述暗示其他陈述的有效性的概念。
选择与进化
20世纪最伟大的数学家之一迈克尔·阿蒂亚提出了一个优雅的思想实验，揭示了感知如何影响我们接受哪些数学概念——即使是像数字这样看似基本的概念。德国数学家利奥波德·克罗内克曾著名地宣称：“上帝创造了自然数，其余一切都是人类的工作。”但想象一下，如果我们世界中的智能不是存在于人类身上，而是存在于一只奇异的、与世隔绝的水母身上，漂浮在太平洋深处。它经验中的一切都将是连续的，从周围水流的流动到其温度和压力的波动。在这样的环境中，缺乏单个物体或任何离散事物，数字的概念会产生吗？如果没有任何东西可以计数，数字会存在吗？
就像水母一样，我们采用了适用于我们世界的数学工具——这一事实无疑促成了数学被感知的有效性。科学家们并非随意选择分析方法，而是根据它们预测实验结果的程度来选择。当网球发球机射出球时，您可以使用自然数 1、2、3 等来描述球的通量。然而，当消防员使用软管时，他们必须调用其他概念，例如体积或重量，才能对水流进行有意义的描述。同样，当不同的亚原子粒子在粒子加速器中碰撞时，物理学家会转向能量和动量等度量，而不是最终的粒子数量，因为最终的粒子数量只会揭示有关原始粒子如何碰撞的部分信息，因为在这个过程中可能会产生额外的粒子。
随着时间的推移，只有最好的模型才能生存下来。失败的模型——例如法国哲学家勒内·笛卡尔试图用宇宙物质漩涡来描述行星运动——在其婴儿期就夭折了。相反，成功的模型会随着新信息的出现而进化。例如，对水星行星进动的非常精确的测量需要以爱因斯坦的广义相对论的形式彻底修改牛顿的引力理论。所有成功的数学概念都具有很长的保质期：球体表面积的公式今天仍然像阿基米德在公元前 250 年左右证明它时一样正确。因此，任何时代的科学家都可以搜索大量的形式体系，以找到最合适的方法。
科学家不仅会精挑细选解决方案，他们还倾向于选择易于数学处理的问题。然而，存在着大量现象，对于这些现象，不可能进行准确的数学预测，有时甚至原则上也不可能。例如，在经济学中，许多变量——以大众的详细心理为例——不容易进行定量分析。任何理论的预测价值都取决于变量之间潜在关系的恒定性。我们的分析也未能完全捕捉到发展出混沌的系统，在混沌系统中，初始条件的微小变化可能会产生完全不同的最终结果，从而禁止任何长期预测。数学家们已经发展出统计学和概率论来处理这些缺点，但正如奥地利逻辑学家哥德尔著名地证明的那样，数学本身是有限的。
自然的对称性
这种对问题和解决方案的精心选择仅仅部分解释了数学在描述自然规律方面的成功。这些规律必须首先存在！对于数学家和物理学家来说幸运的是，普遍规律似乎支配着我们的宇宙：120 亿光年外的原子与地球上的原子的行为方式完全相同；遥远过去的宇宙中的光和今天的光具有相同的特征；塑造宇宙初始结构的相同引力也支配着今天的星系。数学家和物理学家发明了对称性的概念来描述这种对变化的免疫力。
物理定律似乎在空间和时间上都表现出对称性：它们不取决于我们从哪个角度、哪个角度或何时检查它们。它们对于所有观察者来说也是相同的，无论这些观察者是静止的、以恒定速度移动的还是加速的。因此，无论实验发生在中国、阿拉巴马州还是仙女座星系——也无论我们今天进行实验还是其他人在十亿年后进行实验，相同的定律都能解释我们的结果。如果宇宙不具备这些对称性，那么任何试图破译自然宏伟设计的尝试——任何建立在我们观察基础上的数学模型——都将注定失败，因为我们将不得不不断地在空间和时间的每个点重复实验。
甚至更微妙的对称性，称为规范对称性，在描述亚原子世界的定律中普遍存在。例如，由于量子领域的模糊性，给定的粒子可以是带负电的电子或电中性的中微子，或者是两者的混合物——直到我们测量出区分两者的电荷。事实证明，当我们将电子换成中微子或两者的任何混合物时，自然规律都采用相同的形式。其他基本粒子的互换也是如此。如果没有这种规范对称性，就很难提供宇宙基本运作的理论。如果没有局域性——宇宙中的物体直接只受其直接周围环境的影响，而不是受遥远现象的影响这一事实，我们也会同样陷入困境。由于局域性，我们可以尝试组装宇宙的数学模型，就像我们可能拼凑拼图游戏一样，从描述基本粒子之间最基本的作用力开始，然后在额外的知识基础上构建。
我们目前统一所有相互作用的最佳数学尝试呼吁另一种对称性，称为超对称性。在基于超对称性的宇宙中，每个已知的粒子都必须有一个尚未被发现的伙伴。如果这样的伙伴被发现（例如，一旦日内瓦附近 CERN 的大型强子对撞机达到其全部能量），那将是数学有效性的又一次胜利。
我从两个基本的、相互关联的问题开始：数学是被发明还是被发现的？是什么赋予了数学解释和预测能力？我相信我们知道第一个问题的答案。数学是发明和发现的复杂融合。概念通常是被发明的，即使它们之间所有正确的关系在被发现之前就已存在，人类仍然选择了研究哪些关系。第二个问题被证明更加复杂。毫无疑问，我们在数学上解决的主题的选择在数学被感知的有效性中发挥了重要作用。但是，如果没有普遍存在的特征可供发现，数学根本就行不通。您现在可能会问：为什么会存在普遍的自然规律？或者等效地问：为什么我们的宇宙受某些对称性和局域性支配？我真的不知道答案，只能指出，也许在一个没有这些属性的宇宙中，复杂性和生命永远不会出现，而我们也不会在这里提出这个问题。