编者按：本文最初发表于 1998 年 5 月版的《大众科学》。我们发布这篇文章是为了回应最近有关雷曼兄弟和美林证券的新闻。
早在厄尔尼诺现象驱动的风暴袭击美国太平洋沿岸的几个月前，金融界就已经在为异常天气做准备。从去年开始，投资者可以买卖一种合约，其价值完全取决于温度波动或雨、冰雹或雪的累积量。
例如，如果洛杉矶机场从 10 月到 4 月的降雨量在 17 到 27 英寸之间，这些天气衍生品可能会支付。它们是保险公司为保单持有人未来的索赔提供帮助，或农民防范作物损失的一种手段。或者，这些合约可能允许供暖油供应商应对比预期更温暖的冬季造成的现金短缺，方法是购买供暖度日下限——一种合约，如果温度未能像预期那样频繁地降至 65 度以下，该合约将对公司进行补偿。“我们是厄尔尼诺现象的忠实拥趸，因为它给我们带来了很多业务，”总部位于纽约市的 Worldwide Weather Trading 公司的董事总经理 Andrew Freeman 评论道，该公司编写有关雨、雪和温度的合约。
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天气衍生品标志着一个名为金融工程的学科日益普及的例证。这个高速计算和数学家、物理学家和经济学家复杂的数学建模领域可以帮助减轻全球企业运营中的变数。它需要定制证券的包装，以提供价格保险，防止日元或温度计下跌。市场崩溃或下一次季风的不确定性可以被定价，分成可销售的块状，并出售给愿意承担该风险的人——以换取费用或未来的付款流。“这项技术将有效地让您完全管理整个组织的风险，”康奈尔大学金融学教授罗伯特·A·贾罗 (Robert A. Jarrow) 说。
金融工具的工程设计是为了应对近几十年来日益互联的世界市场中的动荡而出现的：这是浮动汇率、石油危机、利率冲击和股市崩盘的结果。
新产品的创造性释放仍在继续，证券和衍生品的形式日益复杂——期权、期货和其他衍生自基础资产、金融指数、利率或货币汇率的合约。新的衍生品将帮助电力公司防范新近放松管制的市场中的价格和容量波动。信用衍生品让银行可以将贷款违约风险转移给其他方。甚至有人考虑过帮助企业应对 2000 年虫问题的证券。这种活跃的活动发生在声誉受损的背景下。
宝洁、吉布森贺卡和巴林银行等公司因惨败而累积的数十亿美元损失，使衍生品在大众心目中成为投机性风险增强器的形象，而不是新型保险。人们的担忧也集中在使用数学建模技术的完整性上，这些技术使衍生品交易成为可能。
尽管声誉受损，但金融工程在 10 月份还是收到了某种形式的情人节礼物。诺贝尔经济学奖（正式名称为瑞典银行经济学奖）授予了 Myron S. Scholes 和 Robert C. Merton，他们是期权定价模型的两位创建者，该模型帮助推动了衍生品市场活动的爆炸式增长。
期权代表在特定日期或之前以给定价格买卖股票或某些其他资产的权利（但不是义务）。另一种主要的衍生品类别，称为远期和期货，规定买方有义务在设定的价格和时间购买资产。掉期是另一种类型的衍生品，允许公司交换现金流——例如，浮动利率换固定利率支付。金融工程使用这些构建模块来创建定制工具，这些工具可以为退休人员提供投资的保证最低回报，或者允许公用事业公司通过合同安排而不是建造新工厂来满足其未来的电力需求。
创建复杂的金融工具需要准确的定价方法来确定构成其组成部分的衍生品的价格。建立期货合约的价格相对容易。当小麦成本上涨时，该商品期货合约的价格也会以相同的相对幅度上涨。因此，这种关系是线性的。对于期权，衍生品与基础资产之间没有如此简单的联系。因此，Scholes、Merton 及其已故同事 Fischer Black 的工作具有重要意义，一位经济学家称他们的努力为“不仅在金融领域，而且在所有经济学领域中最成功的理论”。
爱因斯坦与期权
在 20 世纪的大部分时间里，期权的适当估值一直困扰着经济学家。从 1900 年路易·巴舍利耶 (Louis Bachelier) 的开创性论文《投机理论》开始，他描述了一种为期权定价的方法。值得注意的是，他为此目的构想的公式的一个组成部分预见了一个模型，阿尔伯特·爱因斯坦后来在他的布朗运动理论中使用，即粒子在流体中的随机运动。然而，巴舍利耶的公式包含财务上不切实际的假设，例如股票价格的负值存在。
包括诺贝尔奖获得者保罗·萨缪尔森 (Paul Samuelson) 在内的其他学术思想家也试图解决这个问题。他们在计算风险溢价这一困难的努力中失败了：期权价格的折扣，以补偿投资者对风险的厌恶和股票在市场中的不确定性变动。
Black、Scholes 和 Merton 分享的见解是，不需要估计风险溢价，因为它包含在报价股票价格中，这是期权公式中的关键输入。市场导致风险较高的股票的交易价格低于其预期的未来价值，而风险较低的股票的交易价格则更高，这种差异充当了固有风险的折扣。
Black 和 Scholes 在 Merton 的帮助下，通过构建一个假设的投资组合，其中股票价格的变化被股票期权价值的抵消性变化所抵消——这种策略称为对冲，从而提出了他们的期权定价公式。这是一个简化的示例：看跌期权将赋予所有者在三个月内以 100 美元或以下的价格出售股票的权利。当股票下跌 1 美元时（因为可以使用期权的条件变得更有可能），期权的价值可能会增加 50 美分；当股票上涨 1 美元时，期权的价值可能会减少 50 美分。
为了对冲股价变化带来的风险，投资者可以每拥有一股股票购买两份期权；那么利润将抵消损失。对冲创建了一个无风险投资组合，其回报与国库券的回报相同。随着股价随时间变化，投资者必须改变投资组合的构成——股票数量与期权数量的比率——以确保持有头寸保持无风险。
事实上，Black-Scholes 公式是从偏微分方程中推导出来的，该方程表明，期权的公允价格是在这种对冲投资组合中带来无风险回报的价格。Black、Scholes 和 Merton 概述的对冲策略的变体已被证明对金融中心银行和一系列其他机构非常宝贵，它们可以使用这些策略来保护投资组合免受市场波动的影响——例如，确保免受股票大幅下跌的影响。
基本的期权定价方法也可以扩展到创建其他工具，其中一些工具带有像“cliquets”或“shouts”这样的奇怪名称。这些色彩缤纷的金融工具提供了灵活性，可以根据客户的特定风险状况塑造期权的收益，例如，对利率或汇率设置下限、上限或平均函数。
有了正确的期权，投资者可以押注或对冲任何类型的不确定性，从市场的波动性（上下波动）到灾难性天气的几率。出口商可以购买“回顾”货币期权，以在六个月期间获得最优惠的美元兑日元汇率，而不是在合约到期日面临汇率突然变化的风险。
在 20 世纪 70 年代初期，Black 和 Scholes 的原始论文难以找到出版商。当它在 1973 年在政治经济学杂志上发表时，它对金融市场的影响立竿见影。几个月内，他们的公式就被编程到计算器中。华尔街喜欢它，因为交易员只需输入几个变量，包括股票价格、国库券利率和期权的到期日，就可以轻松解出方程。唯一不易获得的变量是“市场波动率”——股票价格与其平均值的标准差。然而，这个数字可以从过去价格的涨跌中估算出来。同样，如果市场中当前的期权价格已知，交易员可以将该数字输入工作站并“反推出”波动率的数字，该数字可用于判断期权相对于市场中当前股票价格是被高估还是被低估。
购买期权的投资者基本上是在购买波动率——要么是为了投机，要么是为了防范市场动荡。市场波动越大，期权就越有价值。使用看涨期权（购买股票的期权）进行投机的投资者，如果股票未能达到买方可以行使购买权的價格，则最多只会损失购买成本，称为溢价。相反，如果股票飙升至行使价之上，则获利潜力是无限的。同样，使用期权进行对冲的投资者也预计未来会出现艰难时期，因此可能会购买保护措施以防范市场下跌。
华尔街的物理学家
尽管 Black-Scholes 方程背后的数学原理可以简化为袖珍计算器上的运算，但它是随机微积分，是 Bachelier 和 Einstein 工作的后代。这些方程绝不是大多数工商管理课程的标准内容。华尔街火箭科学家登场了：前物理学家、数学家、计算机科学家和计量经济学家，他们现在在华尔街金融巨头中扮演着重要角色。
从同步加速器到交易室的转变并非总是如此顺利。“每当你聘请一位物理学家时，你总是希望他或她不会认为市场就像受不变的物理定律支配一样，”加拿大帝国商业银行世界市场投资银行董事总经理查尔斯·史密森 (Charles Smithson) 指出。“铀 238 总是衰变成铀 234。但物理学家必须记住，市场既会上涨也会下跌。”
最近，一些大学开设了“量化学校”课程，这些课程对工商管理硕士或其他硕士学生进行金融高等应用数学、伊藤引理的微妙之处以及随机微积分的其他基石方面的教育。否则，他们可能会在进入华尔街之前培训物理学家、工程师和数学家。“市场压力正在引导物理学家接受更多教育，以试图理解金融问题背后的动机和直觉，”麻省理工学院斯隆管理学院金融工程专业负责人 Andrew W. Lo 说。
作为学习的一部分，金融工程师培训生了解了数学建模在 Black、Scholes 和 Merton 的原始工作之外的进展。基本的 Black-Scholes 公式对市场的运作方式做出了不切实际的假设。它将固定利率作为输入，但利率当然会变化，这会影响期权的价值——尤其是债券期权。该公式还假设股票价格增长率的变化呈正态统计分布，即事件围绕均值聚集的钟形曲线。因此，它未能考虑到 1929 年或 1987 年股市崩盘等非常事件。Black、Scholes 和 Merton——以及大量的量化分析师——在随后的几年中一直在改进许多最初的想法。
Emanuel Derman 是高盛量化策略小组的负责人，他是一位从物理学家转向量化分析师的人，他在过去 13 年的工作是解决 Black-Scholes 方程的不完善之处。Derman 出生于南非开普敦，于 1973 年在哥伦比亚大学获得博士学位，论文是关于亚原子粒子之间的弱相互作用。他继续从事博士后研究，包括在宾夕法尼亚大学研究中微子散射，在牛津大学理论物理系研究魅力夸克产生。在 20 世纪 70 年代后期，Derman 决定离开学术界：“物理学是一项孤独的工作。这是一个真正的精英统治。在物理学中，你有时会觉得自己要么是 [理查德] 费曼，要么就一文不值。我喜欢物理学，但也许我没有我本可以达到的那么好。”
因此，在 1980 年，他去了新泽西州的贝尔实验室，在那里他从事一种专为金融量身定制的计算机语言的工作。1985 年，高盛聘请他开发利率建模方法。此后他一直在那里工作，除了在 Salomon Brothers 度过了一年。在高盛，他遇到了新近聘用的 Fischer Black，两人开始与另一位同事 William W. Toy 合作开发债券期权估值方法。Derman 记得 Black 是一个直言不讳的诚实人，有严谨的写作习惯，戴着卡西欧数据银行手表。“Black 的直觉比他的数学能力更强大，”Derman 说。“但他总是知道正确的答案是什么。”
物理学与金融学 Derman 最近关于股票价格预期波动率的大部分工作继续完善 1973 年的原始论文。Derman 断言，Black-Scholes 方程之于金融学，就如同牛顿力学之于物理学。“Black-Scholes 有点像是该领域赖以建立的基础。没有人知道接下来该做什么，除了扩展它。”但他担心，该领域可能永远无法成功地培养出自己的爱因斯坦——或者某种统一的金融万物理论。金融学不同于物理学，因为没有数学模型可以捕捉到导致市场重大扰动的众多不断变化的经济因素——例如，最近的亚洲崩盘。“在物理学中，你是在与上帝博弈；在金融学中，你是在与人博弈，”Derman 宣称。
在华尔街领域之外，物理概念和金融学之间的相似之处有时被学术界更字面地理解。英国伯明翰大学的 Kirill Ilinski 使用费曼的量子电动力学理论来建模市场动态，同时利用这些概念重新推导 Black-Scholes 方程。Ilinski 用所谓的套利场取代了控制带电粒子相互作用的电磁场，该套利场可以描述期权和股票价格的变化。（将股票和期权投资组合的价值调整一致的交易称为套利。）
Ilinski 的理论展示了量子电动力学如何建模 Black、Scholes 和 Merton 的对冲策略，其中市场动态决定了股票的任何收益都将被期权价值的下降所抵消，从而产生无风险回报。Ilinski 将其等同于“虚粒子”或光子的吸收，这些粒子抑制了两个电子之间的相互作用力。他继续展示了他的套利场模型如何阐明原始 Black-Scholes 方程未曾设想的盈利机会。
Ilinski 是新兴学科经济物理学的成员，该学科的第一次会议于去年 7 月在布达佩斯举行。然而，物理学和金融学之间的字面相似性几乎没有获得追随者。“它不符合科学和胡说八道之间非常简单的分界规则，”资深衍生品交易员兼法国投资银行 Paribas 的高级顾问 Nassim Taleb 指出。Ilinski 认识到他的工作的争议性。“有些人接受我的工作，有些人说我疯了。所以存在意见分歧，”他挖苦地说。
无论是引用理查德·费曼还是 Fischer Black，使用数学模型来评估和对冲证券都是一种估计练习。“模型风险”一词描述了不同的模型如何为衍生品产生差异很大的价格，以及当这些价格与金融工具在市场上可以买卖的价格不同时，这些价格如何造成巨大损失。
模型风险有多种形式。模型的复杂性可能导致衍生品估值错误。模型所依据的不准确假设也可能导致估值错误——例如，在汇率危机期间未能考虑利率的波动性。许多模型无法很好地应对市场变量之间关系的突然变化，例如美元和印尼盾之间正常交易范围的变化。“模型或您使用模型的方式只是不再能捕捉到正在发生的事情，”纽约市 Capital Market Risk Advisors 公司的负责人 Tanya Styblo Beder 说，该公司评估模型的完整性。“情况发生了变化。这就像你驾驶着一辆自行车在一条非常陡峭的山路上滑行，然后你发现自己在一辆没有刹车的拖拉机拖车里。”
金融工程定制的产品不在公共交易所交易，因此依赖于模型产生的估值，有时很难将模型的定价与市场中的其他工具进行比较。当到出售时，市场提供的价格可能与模型的估计值有很大差异。在某些情况下，交易员可能会利用另一个交易员模型中所谓的定价错误来出售被高估的期权，这种做法称为模型套利。
“存在不加仔细质疑就接受模型的危险，”摩根士丹利负责开发和测试固定收益证券模型的前数学家 Joseph A. Langsam 说。摩根士丹利和其他公司采用了各种测试方法，例如确定他们的模型对已知价格的衍生品的估值效果如何。
据 Capital Market Risk Advisors 称，在过去十年中发生的 237.7 亿美元的衍生品损失中，与建模相关的问题约占 20%。然而，去年，模型风险几乎占 26.5 亿美元损失的 40%。1997 年的统计包括国民西敏寺银行损失 1.23 亿美元，瑞士联合银行损失 2.4 亿美元。
行业贸易杂志Derivatives Strategy在 2 月份赞助的一次会议上举行了一场名为“首先杀死所有模型”的圆桌讨论。一些与会者质疑，最复杂的数学模型是否可以与交易员对市场动态的技能和直觉相媲美。“随着模型变得越来越复杂，人们会使用它们，并且它们在这方面很危险，因为他们会以损害其经济健康的方式使用它们，”纽约市法国兴业银行/FIMAT 衍生品交易部门负责人 Stanley R. Jonas 说。伦敦商学院的 Jens Carsten Jackwerth 和加州大学伯克利分校的 Mark E. Rubinstein 进行的一项未发表的研究表明，交易员自己关于推断未来股票指数波动率的经验法则比许多主要的建模方法做得更好。
会议上的一位建模师——高盛的 Derman——为他的行业辩护。“用六十年代毛泽东的话来说：让 1000 个模型绽放，”他宣称。他将模型比作 gedanken（思想）实验，这些实验是非经验性的，但可以帮助物理学家更清晰地思考世界：“爱因斯坦会思考坐在以光速移动的波浪边缘会是什么感觉，以及他会看到什么。我认为我们正在做类似的事情。我们有点像在研究虚构的世界，并试图从中获得一些价值，看看哪个世界最接近我们自己的世界。”Derman 承认每个模型都是不完善的：“你需要考虑如何解释模型与现实世界之间的不匹配。”
金融氢弹
衍生品的形象因广为人知的金融惨败而蒙上阴影，其中包括巴林银行和加利福尼亚州奥兰治县的破产，以及宝洁和吉布森贺卡的巨额亏损。投资银行家 Felix Rohatyn 曾被引述警告说，二十多岁的计算机奇才炮制“金融氢弹”的危险。一些企业和地方政府已将衍生品完全排除在其投资组合之外；甚至出现了对金融体系崩溃的担忧。
这些新工具的创造者从更广阔的角度看待损失。根据国际清算银行的数据，1995 年，期权、期货、远期和掉期合约所依据的所有股票、债券、货币和其他资产的名义价值或票面价值总计 56 万亿美元。未偿衍生品合约的市场价值本身仅占总体数字的几个百分点，但总额可能仍达数万亿美元。相比之下，1987 年至 1997 年间已知的衍生品损失仅为 238 亿美元。更普通的投资也可能损害投资者。当 1994 年利率飙升时，国债市场损失了 2300 亿美元。
衍生品之所以成为新闻，是因为像飞机失事一样，它们的损失可能会突然而引人注目。合约可能涉及巨大的杠杆作用。衍生品投资者可能仅投入基础资产价值的一小部分，例如股票或债券。资产价值的百分比小幅变化可能会导致衍生品价值的百分比大幅上涨或下跌。
为了管理拥有衍生品和其他证券的风险，金融机构求助于其他数学模型。这项工作的很大一部分根植于投资组合理论，这是一种统计测量和优化方法，哈里·马科维茨 (Harry M. Markowitz) 因其获得了 1990 年诺贝尔奖。马科维茨阐明了投资者如何通过分散投资于一系列并非都在市场变化时以相同方式表现的资产，从而在给定回报水平下最大限度地降低风险。
马科维茨的一个遗留物被称为风险价值。它提出了一套技术，可以为投资损失引出一个最坏情况的单一数字。风险价值计算从货币到衍生品的每个现有投资组合的最大损失概率。然后，它为公司的总体财务风险引出一个风险价值：在给定的统计置信区间内，未来 30 天内可能出现的最坏打击可能达到 8500 万美元。对投资组合的分析显示了风险集中的地方。加州大学欧文分校金融学教授 Philippe Jorion 进行了一项案例研究，该研究表明风险价值衡量标准如何向即使是不成熟的投资者发出警告信号。如果奥兰治县学校董事会成员知道存在 5% 的机会损失超过 10 亿美元，那么他们对投资于损失了 17 亿美元的县基金的反应可能会有所不同。
与其他建模技术一样，风险价值也引发了人们对其预测现实世界起伏的程度的怀疑。最广泛使用的测量技术在很大程度上依赖于历史市场数据，而这些数据未能捕捉到罕见但极端事件的严重程度。“如果你采用过去一年的数据，你可能会看到一个投资组合仅波动 10%。然后，如果你提前一个月，情况可能会变化 100%，”总部位于多伦多的风险管理软件公司 Algorithmics 的总裁 Ron S. Dembo 评论道。Algorithmics 和其他公司超越了最简单的风险价值方法，通过向银行提供软件，可以通过模拟大型市场波动的后果来“压力测试”投资组合。
一种建模技术可能会衍生出另一种，关于其内在价值的争论肯定会继续下去。但是，为不确定性定价的能力（金融工程的本质）已被证明在其他商业环境以及政府决策和国内金融中也具有价值。期权理论可以帮助指导资本投资。传统的投资分析可能表明，公用事业公司最好为大型燃煤电厂预算，该电厂可以为 10 到 15 年的增长提供容量。但这种方法会牺牲建造一系列小型燃油发电机的替代方案，如果需求增长慢于预期，后者是更好的选择。期权定价技术可以为慢增长路径提供的灵活性定价。
Black-Scholes 模型也被用于量化发展中国家通过为工人提供通识教育而不是针对特定技能的培训而获得的收益。它揭示了随着经济转型而快速改变劳动力技能的能力的价值可能超过提供基础广泛的教育的额外成本。期权定价甚至可以用于评估为受管理的医疗保健选择“计划外”医生的灵活性。“这对社会的影响不仅直接体现在金融市场中，而且还体现在能够使用这项技术来组织非金融公司以及人们如何组织他们的总体金融生活，”诺贝尔奖获得者 Merton 说。为未来的变数定价可能有助于实现另一位诺贝尔奖获得者的愿景：斯坦福大学的肯尼斯·J·阿罗 (Kenneth J. Arrow) 设想了世界上每种情况的证券——从破产到野餐被雨淋湿的任何风险都可以转移给其他人。