编者按：节选自爱德华·弗伦克尔的著作《爱与数学：隐藏现实的核心》，经许可使用。由珀尔修斯图书集团成员Basic Books出版。版权所有 © 2013。
我们都熟悉电场力和磁场力。电场力是使带电物体相互吸引或排斥的力，具体取决于它们的电荷是同号还是异号。例如，电子带负电荷，而质子带正电荷（数值相反）。它们之间的吸引力使电子围绕原子核旋转。电场力产生所谓的电场。我们都在闪电中见过它的作用，闪电是由温暖潮湿的空气在电场中移动引起的。
摄影：Shane Lear。NOAA照片库。
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磁场力具有不同的起源。它是磁铁或移动的带电粒子产生的力。磁铁有两个极：北极和南极。当我们把两个磁铁的异极相对放置时，它们会相互吸引，而同极则相互排斥。地球是一个巨大的磁铁，当我们使用指南针时，我们利用了地球施加的磁场力。任何磁铁都会产生磁场，正如我们在图片中清楚地看到的那样。
摄影：Dayna Mason。
在19世纪60年代，英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦发展了一套精美的电场和磁场数学理论。他用一组微分方程描述了它们，这些方程现在以他的名字命名。你可能会认为这些方程会很长且复杂，但实际上它们非常简单：只有四个方程，而且看起来出奇地对称。事实证明，如果我们考虑真空中的理论（即没有任何物质存在），并交换电场和磁场，方程组不会改变。换句话说，两个场的交换是方程的对称性。这被称为电磁对偶性。这意味着电场和磁场之间的关系是对称的：它们中的每一个都以完全相同的方式影响另一个。
现在，麦克斯韦的美丽方程描述了经典电磁学，因为该理论在远距离和低能量下运行良好。但在小距离和高能量下，这两个场的行为由量子电磁学理论描述。在量子理论中，这些场由基本粒子光子携带，光子与其他粒子相互作用。这个理论被称为量子场论。
为了避免混淆，我想强调“量子场论”一词有两种不同的含义：从广义上讲，它意味着用于描述基本粒子的行为和相互作用的一般数学语言；但它也可能指这种行为的特定模型——例如，量子电磁学在这个意义上是一种量子场论。我将主要在后一种意义上使用该术语。
在任何这样的理论（或模型）中，一些粒子（如电子和夸克）是物质的组成部分，而一些粒子（如光子）是力的载体。每个粒子都有各种特征：一些熟悉的特征，如质量和电荷，以及一些不太熟悉的特征，如“自旋”。然后，特定的量子场论是将它们组合在一起的配方。
实际上，“配方”这个词将我们指向一个有用的类比：将量子场论视为烹饪配方。那么我们烹饪的菜肴的成分就类似于粒子，而我们将它们混合在一起的方式就像粒子之间的相互作用。
例如，让我们看看俄罗斯汤罗宋汤的配方，这在我家乡一直很受欢迎。我妈妈做的最好吃（当然！）。这是它的样子（照片是我爸爸拍的）
显然，我必须对我妈妈的食谱保密。但这是一个我在网上找到的食谱
8 杯肉汤（牛肉或蔬菜）
1 磅带骨牛腱肉
1 个大洋葱
4 个大甜菜根，去皮
4 根胡萝卜，去皮
1 个大褐色土豆，去皮
2 杯切片卷心菜
3/4 杯切碎的新鲜莳萝
3 汤匙红酒醋
1 杯酸奶油
盐和胡椒
将这视为我们量子场论的“粒子含量”。对偶性在这种情况下意味着什么？它仅仅意味着将一些成分（“粒子”）与其他成分交换，从而使总含量保持不变。
以下是对偶性如何运作
甜菜根 → 胡萝卜
胡萝卜 → 甜菜根
洋葱 → 土豆
土豆 → 洋葱
盐 → 胡椒
胡椒 → 盐
所有其他成分在对偶性下保持不变；也就是说，
肉汤 → 肉汤
牛腱肉 → 牛腱肉
等等。
由于我们交换的成分量相同，因此结果将是相同的配方！这就是对偶性的含义。
另一方面，如果我们用土豆代替甜菜根，我们将得到不同的配方：一个有四个土豆和一个甜菜根的配方。我没有尝试过，但我猜味道会很糟糕。
从这个例子中应该清楚的是，配方的对称性是一种罕见的属性，我们可以从中了解一些关于这道菜的信息。我们可以将甜菜根与胡萝卜互换而不影响结果这一事实意味着我们的罗宋汤在这两者之间是平衡的。
让我们回到量子电磁学。说这个理论中存在对偶性意味着存在一种交换粒子的方法，使我们最终得到相同的理论。在电磁对偶性下，我们希望所有“带电的东西”都变成“带磁的东西”，反之亦然。因此，例如，电子（我们汤中的甜菜根的类似物）带有电荷，因此它应该与带有磁荷的粒子（胡萝卜的类似物）交换。
这种粒子的存在与我们的日常经验相矛盾：磁铁总是具有两极，并且它们无法分离！如果我们把磁铁分成两块，每一块也会有两个极。
尽管如此，物理学家已经从理论上推测了带磁荷的基本粒子磁单极子的存在；第一个提出这个理论的是量子物理学的创始人之一保罗·狄拉克，在1931年。他表明，如果我们允许在单极子的位置发生一些有趣的磁场变化（数学家称之为磁场的“奇点”），那么它将带有磁荷。
唉，磁单极子尚未在实验中被发现，因此我们尚不知道它们是否自然存在。如果它们不存在，那么精确的电磁对偶性在量子层面就不存在于自然界中。
关于情况是否如此，目前还没有定论。无论如何，我们可以尝试构建一个足够接近自然界并表现出电磁对偶性的量子场论。回到我们的厨房类比，我们可以尝试“烹饪”出具有对偶性的新理论。我们可以改变我们已知配方中的成分及其数量，去掉一些成分，加入一些额外的成分，等等。这种“实验性烹饪”可能会导致不同的结果。我们可能不一定想“吃”这些想象中的菜肴。但是，无论是否可食用，研究它们在我们梦想中的厨房中的特性可能都是值得的——它们可能会给我们一些关于可食用的菜肴（也就是说，可以描述我们宇宙的模型）的线索。
这种反复试验的“模型构建”是量子物理学几十年来取得进展的途径（就像烹饪艺术一样）。对称性是在创建这些模型中使用的强大指导原则。模型越对称，就越容易分析。
在这一点上，重要的是要注意到基本粒子有两种：费米子和玻色子。前者是物质的组成部分（电子、夸克等），后者是力的载体粒子（如光子）。最近在日内瓦大型强子对撞机发现的难以捉摸的希格斯粒子也是玻色子。
这两种类型的粒子之间存在根本区别：两个费米子不能同时处于相同的“状态”，而任意数量的玻色子都可以。由于它们的行为如此截然不同，长期以来，物理学家认为量子场论的任何对称性都必须保留费米子和玻色子扇区之间的区别——自然界禁止将它们混合在一起。但在 20 世纪 70 年代中期，几位物理学家提出了一个看似疯狂的想法：一种新型的对称性是可能的，它可以交换玻色子和费米子。它被命名为超对称性。
正如量子力学的创始人之一尼尔斯·玻尔对沃尔夫冈·泡利所说的那样，“我们都同意你的理论是疯狂的。我们之间的分歧在于它是否疯狂到有可能正确的程度。”
就超对称性而言，我们仍然不知道它是否在自然界中实现，但这个想法已经变得流行起来。原因是，当引入超对称性时，传统量子场论中困扰的许多问题都得到了消除。超对称理论通常更优雅且更易于分析。
量子电磁学不是超对称的，但它具有超对称扩展。我们投入更多的粒子，包括玻色子和费米子，从而使得到的理论表现出超对称性。
特别是，物理学家研究了具有最大可能超对称量的电磁学扩展。他们表明，在这个扩展理论中，电磁对偶性确实实现了。
总而言之，我们不知道量子电磁对偶性的形式是否真实存在于现实世界中。但我们确实知道，在理想化的超对称理论扩展中，电磁对偶性是显而易见的。
关于这种对偶性，我们还有一个重要的方面尚未讨论。量子电磁场论有一个参数：电子的电荷。它是负的，所以我们将其写为 -e，其中 e = 1.602 · 10-19 库仑。它非常小。电磁学的最大超对称扩展具有类似的参数，我们也将其表示为 e。如果我们执行电磁对偶性并将所有带电的东西换成所有带磁的东西，我们将得到一个理论，其中电子的电荷将不是 e，而是它的倒数，1/e。
如果 e 很小，那么 1/e 就很大。因此，如果我们从具有小电子电荷的理论开始（就像我们世界中的情况一样），那么对偶理论将具有大的电子电荷。
这非常令人惊讶！用我们的汤类比来说，假设 e 是汤的温度。那么对偶性意味着交换胡萝卜和甜菜根等成分会突然将冷罗宋汤变成热罗宋汤。
e 的这种倒置实际上是电磁对偶性的一个关键方面，它具有深远的影响。量子场论的建立方式是，我们只有在参数（如 e）的值较小时才能很好地掌握该理论。我们甚至先验地不知道该理论在参数值较大时是否成立。电磁对偶性告诉我们，它不仅有意义，而且实际上等同于参数值较小的理论。这意味着我们有机会描述所有参数值的理论。这就是为什么这种对偶性被认为是量子物理学的圣杯。