编者注（2011 年 6 月 1 日）：为了配合 Vlatko Vedral 发表的关于熵和量子系统的论文，我们将在 30 天内免费提供这篇 1985 年 7 月文章的文本。他是我们的2011 年 6 月封面故事的作者，并在博客中介绍了他的最新研究，其中讨论了这篇 1985 年文章中介绍的研究。
计算，无论是通过电子机械、算盘还是大脑等生物系统执行，都是一个物理过程。它也受到适用于其他物理过程的相同问题的约束：执行特定计算必须消耗多少能量？需要多长时间？计算设备必须有多大？换句话说，计算过程的物理极限是什么？
到目前为止，提出这些问题比回答它们更容易。在我们发现的极限范围内，它们与现代技术的实际极限相去甚远。因此，我们不能自称是在指导技术专家或工程师。我们所做的实际上更 фундаментальный. 我们正在寻找必须控制所有信息处理的通用规律，无论它是如何实现的。我们发现的任何限制都必须完全基于 фундаментальные физические принципы，而不是基于我们目前可能正在使用的任何技术。
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这种 фундаментальный 检查是有先例的。在 20 世纪 40 年代，贝尔电话实验室的克劳德·E·香农发现，通过噪声信道传输的信息量是有限制的；这些限制适用于消息如何编码为信号，而与编码方式无关。香农的工作代表了现代信息科学的诞生。更早的时候，在 19 世纪中后期，物理学家试图确定蒸汽机效率的 фундаментальные физические пределы，从而创立了热力学科学。大约在 1960 年，我们中的一位（兰道尔）和 IBM 的约翰·斯旺森开始尝试将同类型的分析应用于计算过程。自 20 世纪 70 年代中期以来，其他机构越来越多的工作人员进入了这个领域。
在我们对计算物理极限的分析中，我们使用信息论的技术意义上的术语“信息”。在这个意义上，每当两个先前不同的情况变得无法区分时，信息就会被破坏。在没有摩擦的物理系统中，信息永远不会被破坏；每当信息被破坏时，都必须耗散一些能量（转化为热量）。例如，想象两种容易区分的物理情况，例如橡胶球离地面一米或两米。如果球被扔下，它会弹跳。如果没有摩擦并且球是完全弹性的，观察者将始终能够分辨出球最初所处的状态（即，它的初始高度是多少），因为从两米高度掉落的球将比从一米高度掉落的球弹得更高。
但是，如果存在摩擦，球每次弹跳都会耗散少量能量，直到最终停止弹跳并静止在地面上。然后，将不可能确定球的初始状态是什么；从两米高度掉落的球将与从一米高度掉落的球相同。信息将因能量耗散而丢失。
这是信息破坏的另一个例子：表达式 2 + 2 比表达式 = 4 包含更多信息。如果我们只知道我们添加了两个数字得到 4，那么我们不知道我们添加的是 1 + 3、2 + 2、0 + 4 还是其他数字对。由于输出隐含在输入中，因此任何计算都不会生成信息
事实上，当前执行的计算依赖于许多破坏信息的操作。所谓的与门是一种具有两条输入线（每条输入线可以设置为 1 或 0）和一个输出的设备，其值取决于输入的值。如果两个输入都为 1，则输出将为 1。如果其中一个输入为 0 或者两个输入都为 0，则输出也将为 0。任何时候门的输出为 0，我们都会丢失信息，因为我们不知道输入线处于三种可能状态中的哪一种（0 和 1、1 和 0 或 0 和 0）。事实上，任何输入线多于输出线的逻辑门都不可避免地会丢弃信息，因为我们无法从输出推断出输入。每当我们使用这种“逻辑上不可逆”的门时，我们都会将能量耗散到环境中。擦除内存位是计算中经常使用的另一个操作，从根本上来说也是耗散的；当我们擦除一位时，我们会丢失有关该位先前状态的所有信息。
不可逆逻辑门和擦除对于计算来说是必不可少的吗？如果是这样，我们执行的任何计算都必须耗散一些最小量的能量。
正如我们中的一位（贝内特）在 1973 年表明的那样，它们并非必不可少。此结论后来在几个模型中得到了证明；其中最容易描述的模型是基于所谓的“可逆逻辑元件”，例如弗雷德金门，以麻省理工学院的爱德华·弗雷德金命名。弗雷德金门有三条输入线和三条输出线。一条线上的输入（称为控制通道）不变地通过门。如果控制通道设置为 0，则其他两条线上的输入也保持不变地通过。但是，如果控制线为 1，则其他两条线的输出会切换：一条线的输入变为另一条线的输出，反之亦然。弗雷德金门不会丢弃任何信息；始终可以从输出推断出输入。
弗雷德金已经证明，计算机中所需的任何逻辑设备都可以通过弗雷德金门的适当排列来实现。为了使计算工作，某些弗雷德金门的输入线必须预设为特定值。
弗雷德金门比它们被制成模拟的门具有更多的输出线。在计算过程中，会生成看似“垃圾位”的信息位，这些信息位没有明显的用途。如果我们想再次使用计算机，必须以某种方式清除这些位，但如果我们擦除它们，这将花费我们一直试图避免的所有能量耗散。
实际上，这些位有一个最重要的用途。一旦我们复制了计算结果，它将驻留在正常的输出位中，我们只需反向运行计算机即可。也就是说，我们将计算机正常运行产生的“垃圾位”和输出位作为“输入”输入到计算机的“后端”。这是可能的，因为计算机中的每个逻辑门本身都是可逆的。反向运行计算机不会丢弃任何信息，因此不需要耗散任何能量。最终，计算机将完全恢复到计算开始之前的状态。因此，可以完成一个“计算周期”，运行计算机，然后将其恢复到原始状态，而无需耗散任何能量。
到目前为止，我们讨论了一组逻辑运算，而不是物理设备。然而，不难想象一个充当弗雷德金门的物理设备。在这个设备中，信息通道由管道表示。一位信息由特定管道段中是否存在球表示；球的存在表示 1，球的缺失表示 0。
控制线由一个狭窄的管道段表示，该管道段沿长度方向一分为二。当球进入管道的裂开段时，它会推开管道的两半，从而启动一个切换装置。切换装置引导可能在其他两个管道中的任何输入球：当控制线中存在球时，任何进入输入管道的球都会自动重定向到另一个管道。为了确保当没有控制球时开关关闭，有弹簧将裂开管道的两半固定在一起。进入裂开管道的球在压缩弹簧时必须消耗能量，但这种能量不会丢失；当控制球离开裂开管道并且弹簧膨胀时，可以回收这种能量。
所有球都连接在一起，并通过一个机构向前推动，以便它们同步移动；否则，我们无法确保各种输入球和控制球同时到达逻辑门。从某种意义上说，计算的向前进展实际上是沿着单个自由度的运动，就像刚性连接到同一轴上的两个轮子的运动一样。计算完成后，我们向后推动所有球，撤消所有操作，并将计算机恢复到其初始状态。
如果整个组件浸没在理想的粘性流体中，那么作用在球上的摩擦力将与它们的速度成正比；将没有静摩擦。因此，如果我们满足于缓慢移动球，则摩擦力将非常弱。在任何机械系统中，必须消耗的能量以对抗摩擦力等于摩擦力与系统行进距离的乘积。（因此，游泳者在两点之间游得越快，他或她消耗的能量就越多，尽管无论游泳者是快还是慢，行进的距离都是相同的。）如果我们以低速通过弗雷德金门移动球，那么消耗的能量（力与距离的乘积）将非常小，因为摩擦力直接取决于球的速度。事实上，我们可以根据需要消耗尽可能少的能量，只需花费很长时间来执行操作即可。因此，为了执行任何给定的计算，不需要耗散最小量的能量。
如果机器运行非常缓慢，则该模型中损失给摩擦的能量将非常小。是否有可能设计一种更理想化的机器，可以在没有任何摩擦的情况下进行计算？或者摩擦对于计算过程是必不可少的吗？弗雷德金与托马索·托福利和麻省理工学院的其他人士一起证明，事实并非如此。
他们证明，可以通过相互发射理想的、无摩擦的台球来进行计算。在台球模型中，完美反射的“镜子”（重定向球运动的表面）以这样的方式排列，即球在桌子上的运动模拟信息位通过逻辑门的运动。与以前一样，计算机特定部分中球的存在表示 1，而球的缺失表示 0。如果两个球同时到达逻辑门，它们会碰撞，它们的路径会改变；它们的新路径表示门的输出。弗雷德金、托福利和其他人描述了与不同类型的逻辑门相对应的镜子排列，他们已经证明可以构建台球模型来模拟计算所需的任何逻辑元件。
为了开始计算，我们将台球发射到计算机中，无论我们希望输入 1 的位置。球必须同时进入机器。由于它们是完全弹性的，因此它们在碰撞时不会损失能量；它们将以我们在开始时给它们的相同动能从计算机中出来。
在运行中，台球计算机会产生“垃圾位”，就像由弗雷德金门构建的计算机一样。在计算机得出答案后，我们将台球反射回计算机，撤消计算。它们将从机器中出来，位置与我们发送它们的位置完全相同，速度也相同。然后可以使用将它们发射到计算机中的机构来吸收它们的动能。我们将再次执行计算并将计算机恢复到其初始状态，而不会耗散能量。
台球计算机有一个主要缺陷：它对轻微错误极其敏感。如果球的目标稍微不正确，或者镜子倾斜的角度稍微错误，则球的轨迹会偏离方向。一个或多个球将偏离其预期路径，并且随着时间的推移，错误将结合起来使整个计算无效。即使可以制造出完全弹性和无摩擦的台球，构成它们的分子中的少量随机热运动也足以在几十次碰撞后引起错误。
当然，我们可以安装某种纠正装置，将任何偏离方向的台球返回到其所需的路径，但这样我们就会抹去有关球早期历史的信息。例如，我们可能会丢弃有关镜子倾斜不正确的程度的信息。丢弃信息，即使是为了纠正错误，也只能在存在摩擦和能量损失的系统中完成。因此，任何校正装置都必须耗散一些能量。
如果使用微观或亚微观粒子（例如电子）代替台球，则可以使台球计算机中固有的许多困难不那么极端。正如现在在洛斯阿拉莫斯国家实验室的 Wojciech H. Zurek 所指出的那样，量子定律可以将粒子限制在少数运动状态，从而消除粒子可能少量偏离方向的可能性。
尽管到目前为止的讨论主要基于经典动力学，但几位研究人员已经提出了其他基于量子力学原理的可逆计算机。这些计算机最初由阿贡国家实验室的保罗·贝尼奥夫提出，并由其他研究人员（特别是加州理工学院的理查德·P·费曼）改进，到目前为止仅以最抽象的术语进行了描述。本质上，这些计算机中的粒子将以这样的方式排列，即控制它们相互作用的量子力学规则将与描述各种可逆逻辑门的预测输出的规则完全类似。例如，假设粒子的自旋只能有两个可能的值：向上（对应于二进制 1）和向下（对应于 0）。粒子自旋之间的相互作用可以以这样的方式规定，即一个粒子的自旋值会根据附近粒子的自旋而变化；粒子的自旋将对应于逻辑门的输出之一。
到目前为止，本次讨论的重点是信息处理。计算机必须存储信息以及处理信息。存储和处理之间的相互作用最好用一种名为图灵机的设备来描述，该设备以艾伦·M·图灵的名字命名，他于 1936 年首次提出了这种机器。图灵机可以执行现代计算机可以执行的任何计算。我们中的一位（贝内特）已经证明，可以构建可逆图灵机：一种不丢弃信息且可以以用户希望的尽可能小的能量消耗运行的图灵机。
图灵机有几个组件。有一个磁带，分为离散的帧或段，每个帧或段都标有 0 或 1；这些位代表输入。“读/写头”沿着磁带移动。磁头有几个功能。它可以一次读取磁带的一位，它可以将一位打印到磁带上，并且可以将其位置向左或向右移动一个段。为了记住从一个周期到下一个周期它正在做什么，磁头机制有许多不同的“状态”；每个状态构成
在每个周期中，磁头读取它当前占据的段上的位；然后它在磁带上打印一个新位，更改其内部状态，并向左或向右移动一个段。它打印的位、它变为的状态以及它移动的方向由一组固定的转换规则确定。每个规则指定一组特定的操作。机器遵循哪个规则取决于磁头的状态以及它从磁带上读取的位的值。例如，一个规则可能是：“如果磁头处于状态A并且位于打印有 0 的磁带段上，它应该将该位更改为 1，将其状态更改为状态B，并向右移动一个段。”转换规则可能会指示机器不要更改其内部状态，不要在磁带上打印新位或停止其操作。并非所有图灵机都是可逆的，但可以构建可逆图灵机来执行任何可能的计算。
可逆图灵机模型比无摩擦台球计算机等机器具有优势。在台球计算机中，随机热运动会导致不可避免的错误。可逆图灵机模型实际上利用了随机热运动：它们的构造方式是，热运动本身，在非常微弱的驱动力的辅助下，将机器从一个状态移动到下一个状态。计算的进展类似于离子（带电粒子）悬浮在弱电场中的溶液中的运动。从短期来看，离子的运动似乎是随机的；它在一个方向上移动的可能性几乎与在另一个方向上移动的可能性相同。然而，施加的电场力赋予净运动一个优选方向：离子在一个方向上移动的可能性比在另一个方向上移动的可能性稍大。
起初，似乎难以想象，在一个运动方向在任何时候都几乎是随机的装置中，可以实现有目的的操作序列，例如计算。然而，这种操作风格在化学反应的微观世界中非常常见。在那里，布朗运动或随机热运动的试错行为足以使反应物分子接触，将它们定向和弯曲成它们反应所需的特定构象，并在反应后分离产物分子。所有化学反应原则上都是可逆的：完成正向反应的相同布朗运动有时会将产物分子聚集在一起，并将它们向后推过过渡。在平衡状态下，反向反应发生的可能性与正向反应发生的可能性相同。
为了保持反应朝正向移动，我们必须供应反应物分子并去除产物分子；实际上，我们必须提供一个小的驱动力。当驱动力非常小时，反应将采取几乎与正向步骤一样多的反向步骤，但平均而言，它将向前移动。为了提供驱动力，我们必须消耗能量，但就像我们在弗雷德金门的球和管道实现中一样，总能量可以小到我们希望的程度；如果我们愿意为操作花费很长时间，则不需要耗散最小量的能量。原因是耗散的总能量取决于正向步骤数除以反向步骤数的比率。（它实际上与该比率的对数成正比，但随着比率的增加或减少，其对数也会增加或减少。）反应向前移动得越慢，比率就越小。（游泳者速度快慢的类比再次有效：如果反应移动缓慢，则向前进行相同净反应步骤数所需的总能量更少。）
我们可以通过检查自然界中已经存在的布朗磁带复制机来了解布朗图灵机的工作原理：RNA 聚合酶，一种帮助构建构成基因的 DNA 的 RNA 副本的酶。DNA 的单链非常像图灵机的磁带。沿着链的每个位置，都有四种“碱基”之一：腺嘌呤、鸟嘌呤、胞嘧啶或胸腺嘧啶（缩写为A、G、C 和 I)。RNA 是一种类似的链状分子，其四种碱基，腺嘌呤、鸟嘌呤、胞嘧啶和尿嘧啶(A. G. C 和 U)与“互补”DNA 碱基结合。
RNA 聚合酶催化这种配对反应。DNA 螺旋通常被包含大量核苷三磷酸分子的溶液包围，每个分子由与糖和三个磷酸基团尾部连接的 RNA 碱基组成。RNA 聚合酶从溶液中选择与 DNA 链上即将复制的碱基互补的单个 RNA 碱基。然后，它将新碱基连接到正在生长的 RNA 链的末端，并将两个磷酸盐作为游离焦磷酸离子释放到周围的溶液中。然后，酶沿着 DNA 链向前移动一个刻度，为连接下一个 RNA 碱基做准备。结果是 RNA 链，它与 DNA 的模板链互补。如果没有 RNA 聚合酶，这组反应会发生得非常缓慢，并且几乎无法保证 RNA 和 DNA 分子是互补的。
这些反应是可逆的：有时酶会吸收游离的焦磷酸离子，将其与 RNA 链上的最后一个碱基结合，并将产生的核苷三磷酸分子释放到周围的溶液中，同时沿着 DNA 链向后移动一个刻度。在平衡状态下，正向步骤和反向步骤将以相同的频率发生；通常，其他代谢过程通过去除焦磷酸盐并提供四种核苷三磷酸盐来驱动反应向前进行。
在实验室中，RNA 聚合酶起作用的速度可以通过调整反应物的浓度来改变（正如加州大学伯克利分校的朱迪思·莱文和迈克尔·J·钱伯林所证明的那样）。随着浓度越来越接近平衡，酶的工作速度会变慢，并且耗散更少的能量来复制给定的 DNA 片段，因为正向步骤与反向步骤的比率更小。
尽管 RNA 聚合酶仅仅复制信息而不处理信息，但相对容易想象一个假设的化学图灵机如何工作。磁带是单个长主链分子，二进制 0 和 1 的两种类型的碱基周期性地附着在其上。一个小型的附加分子附着在链上一个位置的 0 或 1 基团上。这个附加分子的位置代表图灵机磁头的位置。有几种不同类型的“磁头分子”，每种类型代表不同的机器状态。
机器的转换规则由酶表示。每种酶都能够催化一种特定的反应。这些酶的工作方式最好通过一个例子来演示。
假设磁头分子是 A 型（表明机器处于状态A），并且附着在 0 碱基上。还假设以下转换规则适用：“当磁头处于状态A并读取 0 时，将 0 更改为 1，将状态更改为B，并向‘右’移动。”代表此规则的酶分子具有一个位点，该位点适合附着在 1 碱基上的 A 型磁头分子。它还具有一个适合 0 碱基的位点和一个适合B磁头的位点 [参见对面页面的插图）。
为了实现转换，酶分子首先接近磁带分子，位置恰好在A磁头所在碱基的“右侧”。然后，它从磁带上分离出磁头分子和磁头所附着的 0 碱基，并在它们的位置放置一个 1 碱基。接下来，它将B磁头附着到位于刚刚添加到磁带的 1 碱基右侧的碱基上。此时，转换完成。磁头的原始位点从 0 更改为 1，磁头分子现在是B型，并且它附着在位于先前磁头位置右侧一个刻度的碱基上。
在布朗图灵机运行期间，磁带必须浸没在包含许多酶分子以及额外的 0、1、A和B的溶液中。为了驱动反应向前进行，必须有其他反应来清除酶分子上分离的磁头和碱基。清除酶分子的反应物的浓度代表驱动图灵机前进的力。同样，我们可以根据需要消耗尽可能少的能量，只需非常缓慢地驱动机器前进即可。
酶促图灵机并非没有错误。有时可能会发生不由任何酶催化的反应；例如，0 碱基可能会自发地从主链分子上分离出来，并且可以在其位置附着一个 1 碱基。类似的错误确实发生在 RNA 合成过程中。
原则上，可以通过使用刚性、无摩擦的发条装置构建布朗图灵机来消除错误。发条图灵机比台球计算机涉及的理想化程度较低，但比酶促图灵机涉及的理想化程度更高。一方面，它的零件不需要像台球那样制造到完美的公差；零件松散地装配在一起，即使在存在大量热噪声的情况下，机器也可以运行。尽管如此，它的零件必须是完全刚性的并且没有静摩擦，这是在任何宏观物体中都找不到的特性。
由于机器的零件松散地装配在一起，因此它们不是通过摩擦力而是通过相邻零件中的凹槽或凹口固定到位。尽管机器的每个零件都可以自由地稍微晃动，就像磨损良好的木制拼图的碎片一样，但整个机器只能遵循一条“计算路径”。也就是说，机器的零件以这样的方式互锁，即在任何时候，机器只能进行两种大规模运动：对应于正向计算步骤的运动和对应于反向步骤的运动。
计算机进行这种转换只是其零件的随机热运动在微弱外力偏置下的偶然结果。它向后沿着计算路径进行的可能性几乎与向前进行的可能性相同，从而撤消最近的转换。一个小的外力驱动计算向前进行。这种力可以再次小到我们希望的程度，因此为了运行布朗发条图灵机，不需要耗散最小量的能量。
根据经典热力学，执行计算不需要最小量的能量。经典热力学分析是否与量子理论相冲突？毕竟，量子力学不确定性原理指出，我们对过程所需时间的不确定性与我们对过程涉及多少能量的不确定性之间必须存在反比关系。一些研究人员认为，在短时间内发生的任何切换过程都必须涉及最小的能量消耗。
事实上，不确定性原理并不要求快速切换事件有任何最小能量消耗。只有当我们试图测量事件发生的精确时间时，不确定性原理才适用。即使在量子力学中，极快的事件也可能在不损失任何能量的情况下发生。当我们记住贝尼奥夫和其他人已经开发出不耗散能量并遵守量子力学定律的可逆量子力学计算机模型时，我们对量子力学允许在没有任何最小能量消耗的情况下进行计算的信心得到了增强。
因此，不确定性原理似乎没有对计算过程施加 фундаментальный предел；经典热力学也没有。这是否意味着计算没有物理限制？远非如此。真正的限制与比我们在本文中提出的问题更难回答的问题有关。
例如， элементарный 逻辑运算是否需要一些最短时间？能够完成此类操作的最小可能装置是什么？由于尺寸和时间尺度通过光速连接，因此这两个问题很可能具有相关的答案。但是，在我们确定宇宙时间和长度尺度中是否存在某种最终的粒度之前，我们可能无法找到这些答案。
在另一个极端，我们可以使计算机内存有多大？为了这个目的，我们可以将宇宙中的多少粒子聚集在一起并保持在一起？计算机内存的最大可能大小限制了我们可以计算的精度。例如，它将限制我们可以计算 pi 的小数位数。真实计算机中不可避免的劣化过程提出了另一个可能相关的问题：劣化是否至少在原则上可以降低到任何期望的程度，或者它是否对我们可以投入到任何一次计算中的最长时间施加限制？也就是说，是否存在某些计算无法在计算机硬件衰变为无用之前完成？
这些问题实际上关系到对数学运算的物理执行的限制。物理定律是答案最终必须基于的定律，它们本身以这种数学运算的形式表达。因此，我们正在询问物理定律可以应用的最终形式，考虑到宇宙施加的约束，而定律本身描述了宇宙。