编者按：本文最初发表于《大众科学》1999年2月刊。我们发布这篇文章是为了回应最近有关雷曼兄弟和美林证券的新闻。
个人投资者和专业的股票及货币交易员比以往任何时候都更清楚，任何金融市场中报出的价格都经常以令人心跳加速的速度变化。当市场似乎加速且波动性飙升时，财富在突然的活跃中被创造和损失。例如，去年 9 月，法国电信设备制造商阿尔卡特公司的股票在一天内下跌了约 40%，并在接下来的几天内又下跌了 6%。但在逆转中，该股在第四天上涨了 10%。
本世纪大部分时间使用的经典金融模型预测，这种突如其来的事件永远不应发生。现代投资组合理论是金融学的基石，它试图在给定的风险水平下最大化回报。投资组合理论背后的数学原理以良性的忽视态度处理极端情况：它认为大的市场波动不太可能发生，或者不可能被考虑在内。诚然，投资组合理论可以解释市场上 95% 的时间发生的事情。但是，如果人们同意重大事件是剩余 5% 的一部分，那么它所呈现的图景并不能反映现实。一个不可避免的类比是一位在海上航行的水手。如果 95% 的时间天气温和，那么水手可以忽视台风的可能性吗？
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投资组合理论背后的降低风险的公式依赖于许多苛刻且最终没有根据的假设。首先，它们表明价格变化在统计上彼此独立：例如，今天的价格对当前价格和明天的价格之间的变化没有影响。因此，未来市场走势的预测变得不可能。第二个假设是，所有价格变化都以符合标准钟形曲线的模式分布。钟形形状的宽度（以其西格玛或标准差衡量）描绘了价格变化与均值的偏离程度；极端事件被认为极为罕见。实际上，台风被定义为不存在。
金融数据是否整齐地符合这些假设？当然，它们永远不会。股票或货币随时间变化的图表确实揭示了持续的小幅价格上涨和下跌的背景——但不如如果价格变化符合钟形曲线那样均匀。然而，这些模式仅构成图表的一个方面。大量突然的巨大变化——图表上的尖峰，像阿尔卡特股票一样向上和向下飙升——从更温和的扰动的背景中脱颖而出。此外，价格变动的幅度（包括大的和小的）可能在一年内保持大致恒定，然后突然波动性可能会在较长一段时间内增加。随着市场动荡加剧，大的价格跳跃变得更加普遍——它们在图表上成簇出现。
根据投资组合理论，这些巨大波动的概率将是百万分之一的百万分之一的百万分之一的百万分之一。（波动大于 10 个标准差。）但实际上，人们定期观察到尖峰——通常每个月都会出现——它们的概率约为百分之几。诚然，钟形曲线通常被描述为正态——或者更准确地说，是正态分布。但是，金融市场是否应该被描述为异常？当然不是——它们就是它们的样子，而有缺陷的是投资组合理论。
现代投资组合理论对那些过于强烈地相信它的人构成危险，并且对理论家来说是一个强大的挑战。尽管有时承认当前思维体系中的缺陷，但其追随者认为，没有其他假设可以通过数学建模来处理。这种论点引出了一个问题，即是否可以开发出对至少一些重大金融动荡特征的严格定量描述。悲观的答案是，大的市场波动是异常现象，是无法想象规律性的个别“天灾”。修正主义者通过缺乏任何指导原则的小修小补来纠正现代投资组合理论中值得怀疑的假设，并且没有充分改善情况。我自己的工作——进行了多年——采取了一个非常不同且绝对乐观的立场。
我声称，金融价格的变动可以用源自我在分形几何方面的工作的模型来解释。分形——或其后来的阐述，称为多重分形——并非旨在确定性地预测未来。但它们确实创造了更现实的市场风险图景。鉴于最近大型投资基金（称为对冲基金）面临的困境，不调查提供更准确风险估计的模型将是愚蠢的。
多重分形与市场
分形和多重分形已经存在广泛的数学基础。分形模式不仅出现在证券的价格变化中，而且出现在星系在整个宇宙中的分布、海岸线的形状以及无数计算机程序生成的装饰设计中。
分形是一种几何形状，可以分成若干部分，每个部分都是整体的缩小版本。在金融领域，这个概念不是一个无根的抽象概念，而是一个关于市场常识的理论重述——即，当市场图表被放大或缩小时，股票或货币的变动看起来都一样，以便它适合相同的时间和价格刻度。然后，观察者无法分辨哪些数据涉及每周、每天或每小时变化的价格。这种品质将图表定义为分形曲线，并提供了许多强大的数学和计算机分析工具。
更具体的关于部分与整体之间相似性的技术术语是自仿射性。此属性与分形中更广为人知的概念自相似性相关，在自相似性中，图片的每个特征都以相同的比例缩小或放大——任何订购过照片放大的人都熟悉此过程。然而，金融市场图表远非自相似。在图形的细节中，特征的高度大于宽度——就像股票的各个价格上涨和下跌的刻度一样——从整体到部分的转换必须比垂直轴更多地缩小水平轴。对于价格图表，这种转换必须比价格刻度（垂直轴）更多地缩小时间刻度（水平轴）。整体与其部分之间的几何关系被称为自仿射关系。
不变属性的存在并没有受到大多数统计学家的重视。但它们是像我这样的物理学家和数学家的挚爱，他们称之为不变性，并且最乐于使用呈现出有吸引力的不变性属性的模型。为了更好地理解我的意思，可以绘制一个简单的图表，该图表以连续的步骤插入从时间 0 到稍后时间 1 的价格变化。间隔本身是任意选择的；它们可以表示一秒、一小时、一天或一年。
该过程从价格开始，以直线趋势线表示（图示 1）。接下来，使用称为生成器的折线来创建与金融市场中报出的价格的上下振荡相对应的模式。生成器由沿着直线趋势线插入（插值）的三个部分组成。（少于三部分的生成器将无法模拟可以上下移动的价格。）在描绘了初始生成器之后，其三个部分通过三个较短的部分进行插值。重复这些步骤会重现生成器或价格曲线的形状，但在压缩比例下。水平轴（时间刻度）和垂直轴（价格刻度）都被挤压以适合生成器每个部分的水平和垂直边界。
永远插值
插图仅显示了第一阶段，尽管相同的过程仍在继续。理论上，它没有尽头，但在实践中，插值到小于交易交易之间的时间间隔是没有意义的，交易交易可能在不到一分钟的时间内发生。显然，每个部分的形状最终都大致像整体。也就是说，尺度不变性之所以存在，仅仅是因为它是内置的。新颖之处（和惊喜）在于这些自仿射分形曲线展现出丰富的结构——分形几何和混沌理论的基础。
一些选定的生成器产生所谓的单分形曲线，这些曲线展现出现代投资组合理论所包含的相对平静的市场景象。但平静仅在非常特殊的条件下盛行，而这些特殊条件仅由这些特殊的生成器满足。这种过度简化模型背后的假设是现代投资组合理论的核心错误之一。它很像一种海浪理论，禁止海浪的涌浪超过六英尺。
分形几何的美妙之处在于，它使模型足够通用，既可以重现表征投资组合理论平静市场的模式，也可以重现近几个月动荡的交易条件。刚刚描述的创建分形价格模型的方法可以改变，以显示市场活动如何加速和减速——波动性的本质。这种可变性是将前缀“multi-”添加到单词“fractal”的原因。
要从单分形创建多重分形，关键步骤是拉长或缩短水平时间轴，以便生成器的各个部分被拉伸或挤压。与此同时，垂直价格轴可能保持不变。在图示 2中，单分形生成器的第一部分逐渐缩短，这也为拉长第二部分提供了空间。在进行这些调整后，生成器变为多重分形（M1 到 M4）。市场活动在生成器的第一部分所代表的时间间隔内加速，而在与第二部分相对应的时间间隔内减速（图示 3）。
这种对生成器的改变可以产生给定时期内价格波动的完整模拟，使用前面描述的插值过程。每次生成器的第一部分进一步缩短——并进行连续插值的过程——它都会生成一个图表，该图表越来越类似于动荡市场的特征（图示 4）。
此处显示的单分形 (U) 图表（在任何缩短之前）对应于投资组合理论家的模型中假设的平静市场。沿着堆栈向下进行（M1 到 M4），每个图表都进一步偏离该模型，展现出与近期交易相似的急剧、尖锐的价格跳跃和持续的大幅波动。为了使这些动荡市场的模型实现必要的真实感，每个生成器的三个部分都被打乱了——插图中未显示此过程。它的工作原理如下：想象一个骰子，骰子的每一面都带有生成器各个部分的六个排列之一的图像。在每次插值之前，掷骰子，然后选择出现的排列。
公司财务主管、货币交易员或其他市场策略师应该从这一切中得出什么结论？现代投资组合理论描绘的图景与价格的实际变动之间的差异显而易见。价格不是连续变化的，并且在所有时间尺度上都剧烈波动。波动性——远非一个可以忽略或轻易补偿的静态实体——是金融市场中发生的事情的核心。过去，货币经理人接受了现代投资组合理论的连续性和受约束的价格变动，因为缺乏强大的替代方案。但是，货币经理人不再需要表面上接受当前的金融模型。
相反，多重分形可以用于“压力测试”投资组合。在这项技术中，多重分形背后的规则试图创建与控制实际市场的未知规则相同的可变性模式。多重分形准确地描述了生成器的形状与在真实市场数据图表上发现的价格上下波动的模式之间的关系。
在实践层面，这一发现表明，可以基于历史市场数据开发分形生成器。实际使用的模型不只是检查市场昨天或上周做了什么。实际上，它是对市场波动的更现实的描述，在多重分形交易时间中称为分数布朗运动。从该模型生成的生成器创建的图表可以模拟基于先前市场活动的替代情景。
这些技术并没有更接近于根据过去的记录预测特定日期的价格下跌或上涨。但它们提供了市场可能做什么的概率估计，并允许人们为不可避免的巨变做好准备。新的建模技术旨在将秩序之光投射到看似难以穿透的金融市场丛林中。他们还认识到水手的警告，正如最近的事件所表明的那样，值得注意：即使在最平静的海面上，风暴也可能就在地平线上。