为何美即是真：《对称史》
作者：伊恩·斯图尔特
基础图书出版社，2007年
伊恩·斯图尔特的书名（他已撰写超过60本书）当然取自约翰·济慈的《希腊古瓮颂》中那两句神秘的结尾行
“美即是真，真即是美”，——这就是你们在世上所知的一切，也是你们需要知道的一切。
但济慈到底是什么意思呢？ T. S. 艾略特称这两行为“毫无意义”，是“一首美丽的诗歌的严重瑕疵”。约翰·西蒙在一部电影评论的开头写道：“艺术的最大问题之一——或许是最大的问题——是真不是美，美不是真。 这也不是我们需要知道的一切。”斯图尔特是英国华威大学的杰出数学家，也是本杂志“数学娱乐”专栏的前作者，他关注的是济慈的这两行诗如何应用于数学。“只有欧几里得见过赤裸的美，”埃德娜·圣文森特·米莱写道。 对于数学家来说，伟大的定理和伟大的证明，例如欧几里得对素数无穷性的优雅证明，都具有伯特兰·罗素所描述的“冷峻而朴素的美”，类似于伟大的雕塑作品的美。
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斯图尔特的前10章以他一贯轻松的风格写成，构成了一部名副其实的数学史，重点是对称的概念。 当您对数学对象执行操作，使其在操作后看起来相同，您就发现了一种对称性。 一个简单的操作是旋转。 无论您如何转动网球，它都不会改变球的外观。 据说它具有旋转对称性。 大写字母“H”具有180度旋转对称性，因为它在倒置时保持不变。 它也具有镜像反射对称性，因为它在镜子中看起来相同。 纳粹标志具有90度旋转对称性，但缺乏镜像反射对称性，因为其镜像会向另一个方向旋转。
每种对称性都与一个“群”相关联。 斯图尔特通过考虑对等边三角形的操作，以简单的方式解释了群的概念。 将其沿任一方向旋转60度，它看起来都相同。 每个操作都有一个“逆”操作，可以取消该操作。 想象一下三角形的角标为A、B和C。 顺时针旋转60度会改变角的位置。 如果随后进行类似的反向旋转，则原始位置将恢复。 如果您对三角形不做任何操作，则称为“恒等”操作。 三角形的所有对称变换的集合构成了它的群。
斯图尔特的历史从巴比伦和希腊数学开始，以初中生可以理解的方式介绍了他们的基本概念。 随着历史的推进，数学逐渐变得更加技术性，尤其是在他讲到复数及其后代四元数和八元数时。 历史以索弗斯·李的发现结束，李群以他的名字命名，以及鲜为人知的德国数学家约瑟夫·基林的工作，他将李群进行了分类。 在这段历史部分中，斯图尔特巧妙地将数学与所涉及数学家生动的生活写照交织在一起。
直到本书的后半部分，斯图尔特才转向物理学，并解释了对称性和群论如何成为必要的工具。 关于阿尔伯特·爱因斯坦的一章是基本相对论和爱因斯坦生活细节的完美结合。 接下来是量子力学和粒子理论，其中有几页关于超弦，这是当今理论物理学中最热门的话题。 斯图尔特对弦理论持怀疑态度，该理论认为所有基本粒子都是微小得难以想象的振动能量丝，可以是开口的，也可以像橡皮筋一样闭合。 他没有提及最近出版的两本书（在2006年9月出版的《大众科学》杂志上评论过），这两本书对弦理论进行了严厉的抨击。 李·斯莫林的《物理学的困境》谴责弦理论“根本不是一个理论”，只是一堆古怪的猜测，以寻找一个可行的理论。 彼得·沃伊特的书名为《甚至不是错误的》，引自伟大的奥地利物理学家沃尔夫冈·泡利。 他曾将一个理论描述为如此糟糕，以至于“甚至不是错误的”。
弦理论是美丽的吗？ 它的推广者认为如此。 斯莫林和沃伊特认为，它最近被吸收到一个更丰富的猜想，称为M理论，已经将以前弦的美丽变成了像托勒密发明的本轮那样丑陋的数学结构，以解释行星绕地球运行的轨道。
我们又回到了济慈那句臭名昭著的诗句的谜团。 我认为约翰·西蒙是对的。 即使是美丽的数学证明也可能是错误的。 1879年，阿尔弗雷德·肯普爵士发表了四色地图定理的证明。 它非常优雅，以至于在10年内被认为是可靠的。 可惜，事实并非如此。 英国伟大的谜题制造者亨利·杜德尼发表了一个更简短，甚至更漂亮的错误证明。
在《新的双镜像宇宙》中，我写了关于原子涡旋理论。 这种19世纪流行的猜想与超弦有着惊人的相似之处。 它认为原子不是点状的，而是极其微小的能量环，以不同的频率振动。 它们是弥漫在以太中的微小漩涡，以太是一种刚性的、无摩擦的物质，当时被认为弥漫在整个空间中。 原子具有结和链的结构，它们的形状和振动产生了所有元素的性质。 一旦由全能的上帝创造出来，它们将永远存在。
在研究涡旋理论时，我遇到了许多著名物理学家的陈述，包括开尔文勋爵和詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，他们暗示涡旋理论太美了，不可能是真的。 关于该主题的论文激增，关于它的书籍也出版了。 苏格兰数学家彼得·泰特的涡旋原子工作导致了结理论的进步。 泰特预测，需要几代人才能发展出该理论的数学基础。 尽管涡旋理论看起来很美，但事实证明这是一条通往虚无的辉煌道路。
斯图尔特在他的书的结尾总结了两条格言。 第一条是：“在物理学中，美并不自动确保真理，但它有所帮助。” 第二条是：“在数学中，美必须是真实的——因为任何虚假的东西都是丑陋的。” 我同意第一句话，但不同意第二句话。 我们已经看到了肯普和杜德尼的可爱证明是如何存在缺陷的。 此外，对于一些简单陈述的定理，丑陋的证明可能是唯一可能的证明。
让我引用两个最近的例子。 四色地图定理的证明需要一份巨大的、密集的计算机打印输出，以至于只能通过其他计算机程序进行检查。 尽管在保罗·埃尔德什所说的“上帝之书”中可能记录了一个美丽的证明——他认为这本书包含了数学的所有定理及其最美丽的证明——但上帝之书中可能没有这样的证明。 安德鲁·怀尔斯对费马最后定理的证明也是如此。 它不是基于计算机的，但它太长太复杂，不能称之为美丽。 对于这个定理可能没有美丽的证明。 当然，数学家们总是可以希望并相信情况并非如此。
由于对称性是将斯图尔特令人钦佩的历史书页粘合在一起的胶水和胶带，因此刘易斯·卡罗尔不朽的无厘头歌谣《猎鲨记》中的一节诗可以作为本书的题词
你把它放在锯末里煮：你用胶水把它腌制
你用蝗虫和胶带把它凝结
仍然牢记一个主要目标——
保持其对称形状。